10.1.1 两角和与差的余弦分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练习针对高中数学“两角和与差的余弦”新授课，采用A/B/C三层设计，梯度覆盖基础公式应用、综合能力提升至拓展探究，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|两角和差余弦公式直接应用|选择、填空、解答题结合，基础计算与简单推理（如第1题公式正向运用）| |B层|公式与三角形、向量等综合应用|多选题与情境化问题（如第9题判断三角形形状），培养逻辑推理| |C层|新定义运算与多步推理|探究性解答题（如第16题定义运算求cosβ），发展创新意识|

10.1.1　两角和与差的余弦 A层 基础达标练 1.cos 15°-sin 15°=(　　) A. B.- C. D.- 2.若x∈[0,π],sin sin =cos cos ,则x的值是(　　) A. B. C. D. 3.已知α,β∈(0,),且cos(α+β)=,sin α=,则cos β=(　　) A.- B. C. D. 4.(多选题)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为,则以下结论正确的是(　　) A.cos α= B.cos β= C.cos(α+β)=0 D.cos(α-β)=0 5.cos 2 072°cos 212°+sin 2 072°sin 212°=　　　　.  6.已知向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),则|a-b|=　　　　.  7.已知sin α=,cos β=-,且α∈(,π),β∈(,π),求cos(α+β),cos(α-β)的值. B层 能力提升练 8.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为(　　) A. B. C. D. 9.在△ABC中,若cos Acos B>sin Asin B,则△ABC一定为(　　) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.直角三角形 10.(多选题)下列满足sin αsin β=cos αcos β的有(　　) A.α=β=90° B.α=18°,β=72° C.α=130°,β=-40° D.α=140°,β=40° 11.(多选题)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=- C.β-α= D.β-α=- 12.若cos(α-β)=,cos 2α=,且α,β均为锐角,α<β,则α+β=　　　.  13.已知cos(-α)=,则cos α+sin α的值为　　　　.  14.若x∈[,π],且sin x=,则2cos(x-)+2cos x的值为　　　　.  15.已知0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos()=.求: (1)cos α的值; (2)cos(α+)的值. C层 拓展探究练 16.定义运算=ad-bc.已知α,β都是锐角,且cos α==-,则cos β=　　　　.  17.已知sin α=,sin(α-β)=,且α,β∈(0,).求: (1)cos(2α-β)的值; (2)β的值. 参考答案 1.A　cos 15°-sin 15°=cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°=cos(45°+15°)=cos 60°=故选A. 2.D　∵cos cos -sin sin =0,∴cos=0,∴cos x=0.∵x∈[0,π],∴x=故选D. 3.C　因为α,β∈(0,),所以α+β∈(0,π),又因为cos(α+β)=,sin α=,所以cos α=,sin(α+β)=,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=故选C. 4.AD　因为角α的终边经过点, 则cos α=,sin α=,故A正确; 因为角β的终边经过点, 则cos β=-,sin β=,故B错误; 由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β==-,故C错误; 由cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β==0,故D正确.故选AD. 5　cos 2 072°cos 212°+sin 2 072°sin 212°=cos(2 072°-212°)=cos 1 860°=cos 60°= 6.1　由题知,|a|=1,|b|=1,a·b=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°= ∴|a-b|==1.故答案为1. 7.解 因为sin α=,α∈(,π),所以cos α=- 又cos β=-,β∈(,π),所以sin β= 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-(-)-=-, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-(-)+ 8.C　由题意可知 即解得 ∴tan αtan β=故选C. 9.B　由题可知cos Acos B>sin Asin B⇒cos Acos B-sin Asin B>0⇒cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C>0,则cos C<0,又因为在△ABC中,0<C<π,所以C为钝角,即△ABC为钝角三角形.故选B. 10.BC　由sin αsin β=cos αcos β,可得cos(α+β)=0,因此α+β=k·180°+90°,k∈Z,B,C项符合.故选BC. 11.AC　由已知得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β. 两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1, ∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误. ∵α,β,,∴sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α, ∴β-α=,∴C正确,D错误.故选AC. 12　因为0<α<,0<β<,α<β, 所以-<α-β<0.又cos(α-β)=, 所以sin(α-β)=-=- 又因为0<2α<π,cos 2α=, 所以sin 2α=, 所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)] =cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β) ==- 又0<α+β<π,故α+β=故答案为 13　因为cos(-α)=coscos α+sinsin α=cos α+sin α=,所以cos α+sin α= 14　因为x∈[,π],sin x=, 所以cos x=-,所以2cos(x-)+2cos x=2(cos xcos+sin xsin)+2cos x=2(-cos x+sin x)+2cos x=sin x+cos x= 15.解 (1)因为0<α<,所以+α< 因为cos(+α)=,所以sin(+α)=, 所以cos α=cos[(+α)-]=cos(+α)cos+sin(+α)sin (2)因为-<β<0,所以 因为cos()=,所以sin()=, 所以cos(α+)=cos[(+α)-()]=cos(+α)cos()+sin(+α)sin()= 16　因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π, 因为|sin αcos α　cos βsin β|=-, 所以sin αsin β-cos αcos β=-, 即-cos(α+β)=-,所以cos(α+β)= 所以sin(α+β)= 因为cos α=, 所以sin α=, cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α= 17.解 (1)∵α,β∈(0,),∴α-β∈(-), ∵sin α=,∴cos α= ∵sin(α-β)=, ∴cos(α-β)=, ∴cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)= (2)由(1)可得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=, 又∵β∈(0,),∴β= 7 学科网（北京）股份有限公司 $