第06讲 多边形（知识详解+11典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年浙教版数学八年级下册

第06讲 多边形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】多边形的定义及相关概念 1.多边形的定义 在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 2.多边形的命名 多边形的命名以边数来区分，如边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形。类似地，边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3) 。 3.多边形的相关概念 概念 图示 边 组成多边形的各条线段。 内角 多边形相邻两边组成的角。 外角 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角。 顶点 多边形每一个内角的顶点。 对角线 连结多边形不相邻两个顶点的线段。 4.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 【知识点02】四边形的内角和 问题提出 在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起(四个角的顶点重合)。你发现了什么？请把你的发现概括成一个命题。 问题探究： 如图，可以发现四边形四个角拼在一起形成一个周角，即四边形的内角和等于360°。你知道怎么证明这个命题吗？ 证明方法如下： 方法一 方法二 方法三 图示 辅助线 连结𝐵𝐷 。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 内任取一点𝑂，连结𝐴𝑂 ,𝐵𝑂,𝐶𝑂,𝐷𝑂 。 在边𝐵𝐶 上任取一点𝑂，连结𝐴𝑂,𝐷𝑂 。 四边形的内角和 180°×2=360° 180°×4−360°=360°  180°×3−180°=360°  问题结论： 四边形的内角和等于360°。四边形内角和定理 【知识点03】多边形的内角和 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180° (n≥3) 。 （正n边形(n≥3)的各内角都相等，都等于 ） 证明方法如下表(同样需要将多边形的内角转化为三角形的内角)： 推导过程 图示 方法 一 如图所示，从𝑛 边形的一个顶点引出(𝑛−3)条对角线，这(𝑛−3)条对角线把𝑛 边形分成(𝑛−2) 个三角形，每个三角形的内角和是180∘ ，所以𝑛 边形的内角和为(𝑛−2)×180∘  。 方法 二 如图所示，在𝑛边形内任取一点𝑃 ，连结𝑃𝐴，𝑃𝐴，⋯ ，𝑃𝐴，把𝑛边形分成𝑛 个三角形，这𝑛 个三角形的内角和为 𝑛×180°，再减去一个周角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 𝑛×180°−360°=(𝑛−2)×180°。 方法 三 如图所示，在𝑛边形的一边上任取一点𝑃 ，将点𝑃与各顶点相连，得(𝑛−1) 个三角形，𝑛边形内角和等于这(𝑛−1) 个三角形的内角和减去在点𝑃 处的一个平角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 (𝑛−1)×180°−180°=(𝑛−2)×180°。  【知识点04】多边形的外角和 公式 推导过程 图示 任何多边形的外角和为360°  由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以𝑛 边形的外角和（每一个顶点只取一个外角（不是所有外角的和））为 𝑛×180°−(𝑛−2)×180°=360°。  注意：正边形的各外角都相等，都等于 。 【题型一】多边形的概念与分类 例1．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【题型二】多边形截角后的边数问题 例2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 变式1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【题型三】多边形的周长 例3．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 变式1．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【题型四】多边形对角线的条数问题 例4．（2023八年级下·浙江·专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）    A．54 B．44 C．35 D．27 变式1．过正十二边形的一个顶点有______条对角线，一个正十二边形共有______条对角线 【题型五】对角线分成的三角形个数问题 例5．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（  　　） A．6 B．5 C．4 D．3 变式1．一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成个三角形．则这个多边形有______条边． 变式2．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 【题型六】多边形内角和问题 例6．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和为_______． 变式2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，求． 【题型七】多（少）算一个角问题 例7．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 变式1．一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是______． 变式2．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【题型八】多边形截角后的内角和问题 例8．（22-23八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 变式1．（2022·浙江丽水·模拟预测）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为 _____． 变式2．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【题型九】复杂图形的内角和 例9．如图，等于（    ） A． B． C． D． 变式1．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【题型十】多边形外角和的实际应用 例10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如果一个多边形的边数是5，则这个多边形的外角和是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）七边形的外角和是______度． 变式2．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？ 【题型十一】多边形内角和与外角和综合 例11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为__________． 变式2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 一、单选题 1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 2．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（　　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．不确定 3．下列多边形中，内角和等于的是（    ） A． B． C． D． 4．从多边形的一个顶点出发，可以作出5条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．八 B．七 C．六 D．五 5．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 6．下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过直线a外一点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列说法正确的是（    ） A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105° B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形 C．若，则点是线段的中点 D． 8．如图，在四边形中，，，将沿翻折，得到．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．六角螺母的底面是一个正六边形，这个正六边形的内角和是______． 12．某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少，则该正多边形的边数为_____ 13．如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是_____．（填序号）    14．凸边形内角与外角和的总和为，则等于______________；这个凸边形有______________条对角线． 15．如图，四边形中，P是、的平分线的交点，，，则___________． 三、解答题 16．画出下列多边形的全部对角线： 17．如图，求图形中的值． 18．画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 19．（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 20．如图，已知四边形ABCD． （1）BE、DF分别平分四边形的外角和． ①如图1，若BE与DF相交于点G，且，试探究与之间的等量关系，并证明； ②如图2，若，补全图形并判断BE、DF的位置关系，给出你的证明． （2）如图3，若，DE平分，BF平分的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明． 21．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 多边形（知识详解+11典例分析+习题巩固） 【知识点01】多边形的定义及相关概念 1.多边形的定义 在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。 2.多边形的命名 多边形的命名以边数来区分，如边数为3的多边形叫三角形，边数为4的多边形叫四边形。类似地，边数为5的多边形叫五边形……边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3) 。 3.多边形的相关概念 概念 图示 边 组成多边形的各条线段。 内角 多边形相邻两边组成的角。 外角 多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角。 顶点 多边形每一个内角的顶点。 对角线 连结多边形不相邻两个顶点的线段。 4.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。 【知识点02】四边形的内角和 问题提出 在纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起(四个角的顶点重合)。你发现了什么？请把你的发现概括成一个命题。 问题探究： 如图，可以发现四边形四个角拼在一起形成一个周角，即四边形的内角和等于360°。你知道怎么证明这个命题吗？ 证明方法如下： 方法一 方法二 方法三 图示 辅助线 连结𝐵𝐷 。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 内任取一点𝑂，连结𝐴𝑂 ,𝐵𝑂,𝐶𝑂,𝐷𝑂 。 在边𝐵𝐶 上任取一点𝑂，连结𝐴𝑂,𝐷𝑂 。 四边形的内角和 180°×2=360° 180°×4−360°=360°  180°×3−180°=360°  问题结论： 四边形的内角和等于360°。四边形内角和定理 【知识点03】多边形的内角和 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)×180° (n≥3) 。 （正n边形(n≥3)的各内角都相等，都等于 ） 证明方法如下表(同样需要将多边形的内角转化为三角形的内角)： 推导过程 图示 方法 一 如图所示，从𝑛 边形的一个顶点引出(𝑛−3)条对角线，这(𝑛−3)条对角线把𝑛 边形分成(𝑛−2) 个三角形，每个三角形的内角和是180∘ ，所以𝑛 边形的内角和为(𝑛−2)×180∘  。 方法 二 如图所示，在𝑛边形内任取一点𝑃 ，连结𝑃𝐴，𝑃𝐴，⋯ ，𝑃𝐴，把𝑛边形分成𝑛 个三角形，这𝑛 个三角形的内角和为 𝑛×180°，再减去一个周角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 𝑛×180°−360°=(𝑛−2)×180°。 方法 三 如图所示，在𝑛边形的一边上任取一点𝑃 ，将点𝑃与各顶点相连，得(𝑛−1) 个三角形，𝑛边形内角和等于这(𝑛−1) 个三角形的内角和减去在点𝑃 处的一个平角的度数，即得𝑛 边形的内角和为 (𝑛−1)×180°−180°=(𝑛−2)×180°。  【知识点04】多边形的外角和 公式 推导过程 图示 任何多边形的外角和为360°  由于每一个外角与和它相邻的内角互补，所以𝑛 边形的外角和（每一个顶点只取一个外角（不是所有外角的和））为 𝑛×180°−(𝑛−2)×180°=360°。  注意：正边形的各外角都相等，都等于 。 【题型一】多边形的概念与分类 例1．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 变式1．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 【题型二】多边形截角后的边数问题 例2．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 变式1．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形是几边形?请画出图形． 【答案】见解析 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】本题考查了多边形．分情况，画出图形即可． 【详解】解：如答图①，剩下的新图形是三角形；如答图②，剩下的新图形是四边形；如答图③，剩下的新图形是五边形． ． 【题型三】多边形的周长 例3．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【知识点】多边形的周长、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 变式1．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【答案】小 【知识点】三角形三边关系的应用、多边形的周长 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 【题型四】多边形对角线的条数问题 例4．（2023八年级下·浙江·专题练习）我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（　　）    A．54 B．44 C．35 D．27 【答案】C 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线…… 一个十边形共有条对角线，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为． 变式1．过正十二边形的一个顶点有______条对角线，一个正十二边形共有______条对角线 【答案】 9 54 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】从正十二边形的一个顶点与不相邻的顶点的连线得出一个顶点的对角线，由边形的对角线条数公式：，即可得出答案． 【详解】正十二边形的一个顶点有9个不相邻的顶点， 过正十二边形的一个顶点有9条对角线， 一个正十二边形的对角线共有：（条）． 故答案为：9，54． 【点睛】本题考查正多边形的对角线，掌握对角线的概念及公式是解决本题的关键． 【题型五】对角线分成的三角形个数问题 例5．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（  　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形． 变式1．一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成个三角形．则这个多边形有______条边． 【答案】7 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，即可求解得到答案． 【详解】解：设多边形有条边， 则， 解得：． 所以这个多边形有条边， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题关键． 变式2．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形? 【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2． 【详解】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF． 【点睛】此题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2． 【题型六】多边形内角和问题 例6．（24-25八年级下·浙江温州·月考）如图，某物质的化学分子式含有两个正六边形，其中一个正六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题 【分析】根据边形的内角和为，进行计算即可，掌握内角和的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：正六边形的内角和是； 故选B． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）杭州雷峰塔其基座的平面示意图可抽象成八边形，如图所示，则这个八边形的内角和为_______． 【答案】/1080度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，掌握边形的内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：这个八边形的内角和为， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，求． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式以及三角形内角和、角平分线的定义，根据三角形内角和、角平分线的定义，得出，结合正多边形的内角和公式，代入化简得出，即可作答． 【详解】∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ 【题型七】多（少）算一个角问题 例7．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 变式1．一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是______． 【答案】8/八 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可． 【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n， 则 ∵n为正整数， ∴当n=8，去掉的角的度数为， ∴多边形的边数为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度． 变式2．看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【知识点】多边形内角和问题、多（少）算一个角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 【题型八】多边形截角后的内角和问题 例8．（22-23八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】解：四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形， 新多边形的内角和将不变或增加或减少． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形．能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 变式1．（2022·浙江丽水·模拟预测）将一个四边形ABCD的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为 _____． 【答案】180°或360°或540° 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可． 【详解】解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°， 如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360°， 如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°． 综上所述，剩下图形的内角和为180°或360°或540°． 故答案为：180°或360°或540°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，画出图形，进行分类进行讨论是解题的关键． 变式2．（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 【题型九】复杂图形的内角和 例9．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 变式1．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【题型十】多边形外角和的实际应用 例10．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如果一个多边形的边数是5，则这个多边形的外角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的外角和定理，根据n边形内角和为求解即可得到答案； 【详解】解：∵多边形外角和为， ∴如果一个多边形的边数是5，则这个多边形的外角和是． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）七边形的外角和是______度． 【答案】360 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于360度即可求解． 【详解】解：七边形的外角和为． 故答案为：360． 变式2．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？ 【答案】360° 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】分别记的外角为，用即可得出答案． 【详解】 如图，当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是，由C市向A市行驶时转的角是，由A市向P市行驶时转的角是． 小汽车从P市出发，经B市、C 市、A市，又回到P市，共转． 【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【题型十一】多边形内角和与外角和综合 例11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，根据外角的定义，求出的度数，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵与相邻的外角是， ∴， ∵在四边形中，，， ∴的度数为； 故选B． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为__________． 【答案】5 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据内角和的计算公式和外角和为360度，设边数为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设边数为，由题意，得：， 解得：； 故答案为：5． 变式2．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 一、单选题 1．白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可得： A是七边形；B是八边形；C是九边形；D是五边形． 2．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（　　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．不确定 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和等于360°判定即可． 【详解】∵多边形的外角和等于360°， ∴这个多边形的边数不能确定． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键． 3．下列多边形中，内角和等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和为分别计算各选项中多边形的内角和，即可解答． 【详解】解：A、它是三角形，内角和为， B、它是四边形，内角和为， C、它是五边形，内角和为， D、它是六边形，内角和为． 故选：C 4．从多边形的一个顶点出发，可以作出5条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．八 B．七 C．六 D．五 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线性质，掌握从n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．从n边形的一个顶点出发，可以作条对角线，据此求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点出发可以作5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数是8. 故选：A． 5．一个凸多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个多边形对角线的条数是（　　） A．90 B．104 C．119 D．135 【答案】C 【分析】由多边形内角和定理与多边形的对角线的条数的公式，即可解决问题． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，除去的那个内角是x， 由题意得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个多边形对角线的条数是． 故选C． 【点睛】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，解决本题的关键是掌握多边形的内角和计算公式． 6．下列说法：①连接C，D两点的线段叫做C，D之间的距离；②，则C为中点；③n边形最多可以分成个三角形；④两点之间一条直线最短；⑤在同一平面内，过直线a外一点M且平行于直线a的直线只有一条，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的对角线，线段的性质，两点之间的距离以及平行线的判定与性质，能熟记知识点是解此题的关键． ①根据两点之间的距离的定义判断即可；②根据线段的中点的定义判断即可；③根据多边形的对角线的定义判断即可；④根据线段的性质判断即可；⑤根据平行线的判定方法判断即可． 【详解】解：连接、两点的线段的长度叫两点之间的距离，故①说法错误； 若，说明点位于线段上的任意点，故②说法错误； 过边形的一个顶点作对角线，可把这个边形分成个三角形，故③说法错误． 两点之间，线段最短，故④说法错误； 根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”可得，在同一平面内，过直线a外一点且平行于直线的直线只有一条，故⑤说法正确． 所以正确的个数有1个． 故选：A． 7．下列说法正确的是（    ） A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105° B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形 C．若，则点是线段的中点 D． 【答案】D 【分析】根据钟面角、多边形的对角线与边数、线段中点的定义、角度单位换算逐项判断即可得． 【详解】解：A、钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是，则此项错误，不符合题意； B、若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是十边形，则此项错误，不符合题意； C、若，但点不一定在同一条直线上，所以点不一定是线段的中点，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了钟面角、多边形的对角线与边数、线段中点的定义、角度单位换算，熟练掌握各概念和运算是解题关键． 8．如图，在四边形中，，，将沿翻折，得到．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，进而求出∠B的度数，进而即可求解． 【详解】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°， ∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°， ∵将△BMN沿MN翻折得△FMN， ∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°， ∴∠D=∠B＝180°−55°−40°＝85°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键． 9．如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”，“四边形的内角和是”，“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠知． ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．如图，四边形中，．若中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，掌握三角形和四边形的内角和是正确解答的关键． 先根据三角形内角和为求出，再根据四边形内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ． ∵在四边形中，， ． 故选：B． 二、填空题 11．六角螺母的底面是一个正六边形，这个正六边形的内角和是______． 【答案】/720度 【分析】根据边形的内角和为，进行计算即可，掌握内角和的计算公式，是解题的关键． 【详解】解：正六边形的内角和是； 故答案为：． 12．某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少，则该正多边形的边数为_____ 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设正多边形的边数为，根据“某正多边形的一个内角比每个外角的两倍少”计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设正对边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：． 13．如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是_____．（填序号）    【答案】① 【分析】根据多边形（三角形）的外角和为即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， 故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是， ∴， 故③④不正确， 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是解题的关键． 14．凸边形内角与外角和的总和为，则等于______________；这个凸边形有______________条对角线． 【答案】 8 20 【分析】本题主要考查了多边形内角和、多边形的对角线等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式与对角线条数公式是解题的关键． 设多边形的边数是n，根据多边形内角和公式得到，解得n即可；再根据多边形的对角线的条数公式得到对角线的条数即可． 【详解】解：设所求正n边形边数为n，则，解得；十边形的对角线共为条． 故答案为：8，20． 15．如图，四边形中，P是、的平分线的交点，，，则___________． 【答案】75 【分析】本题考查了多边形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 利用四边形的内角和推出，再根据角平分线的定义得到，最后利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形中，，， ∴， ∵和分别为、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：75． 三、解答题 16．画出下列多边形的全部对角线： 【答案】见解析 【分析】根据对角线的定义“连接任意两个不相邻的顶点的线段”即可画出对角线即可． 【详解】画图如下： 【点睛】本题考查多边形的对角线．掌握n边形对角线的概念是解题的关键． 17．如图，求图形中的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，一元一次方程的应用，直接根据四边形内角和是列方程计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形内角和是，且图中有一个角是直角， ∴， 解得：， ∴的值为． 18．画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可； （2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可； （2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键． 19．（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 【答案】（1）5；（2）；（3）35 【分析】本题主要考查多边形对角线条数问题，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据题意总结规律，得出答案． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意得出答案即可； （3）把代入解（2）中的代数求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意得五边形共有条对角线； （2）n边形共有条对角线； （3）把代入得：（条）， 即这个十边形的对角线条数为35条． 20．如图，已知四边形ABCD． （1）BE、DF分别平分四边形的外角和． ①如图1，若BE与DF相交于点G，且，试探究与之间的等量关系，并证明； ②如图2，若，补全图形并判断BE、DF的位置关系，给出你的证明． （2）如图3，若，DE平分，BF平分的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明． 【答案】（1）①，理由见解析；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； ②利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可； （2）延长BC交DF于H，易证，可得， 即. 【详解】解：（1）①理由如下： 如图1，连接BD， 在四边形ABCD中，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵BE、DF分别平分四边形的外角和， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②．理由如下： 如图2，延长BC交DF于H， 由（1）有，， ∵BE、DF分别平分四边形的外角和， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）．理由如下： 如图3，延长DE交BF于G， ∵，， ∴， ∵平分，平分外角， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 21．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)， (2)①见详解；②不正确，反例见详解 【分析】本题主要考查了新定义“等对角四边形”、四边形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，正确理解新定义“等对角四边形”是解题关键． （1）根据新定义“等对角四边形”，结合四边形内角和为求解即可； （2）①连接，证明为等腰三角形，即可获得答案；②结合“等对角四边形”的定义，举出反例即可． 【详解】（1）解：∵四边形为等对角四边形，， ∴， ∴； （2）①连接，如下图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②不正确，反例如下： 如图3，   ，，但. 1 学科网（北京）股份有限公司 $