第一单元圆锥的体积解决问题（专项训练）-2025-2026学年六年级数学下册高频易错题思维综合练（北师大版）

第一单元圆锥的体积解决问题专项训练一 一、解答题 1．在一个高是3dm，底面半径是2dm的圆锥形容器里装满水，再将这些水全部倒入一个圆柱形容器中，刚好装了圆柱形容器的。这个圆柱形容器的容积是多少立方分米？ 2．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 3．修一条8米宽的公路，要铺15厘米厚的碎石作为路基。一个圆锥形的碎石堆，底面周长是18.84米，高2米，能铺多少米长的路基？ 4．一堆煤堆成圆锥形，底面半径是4.2米，高是5米，如果每立方米的煤的质量约为1.4吨，这堆煤约有多少吨？（结果保留整数） 5．用底面半径和高分别是6厘米和15厘米的空心圆锥和圆柱各一个，组成竖放的容器（如下图，单位：厘米）。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细沙高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 6．如图，蒙古包由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成。这个蒙古包的容积大约是多少立方米？（蒙古包的厚度忽略不计） 7．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？（球体体积：） 8．将一块棱长10厘米的正方体木块削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 9．经过测试，要使一个陀螺旋转起来又稳又快，要满足？下列条件∶圆柱直径6厘米，高8厘米，圆锥的高是圆柱高的。算一算，这时这个陀螺的体积是多大？ 10．如图，一个圆锥的底面半径是5厘米，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积增加了60平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 11．现在我们常用的稻谷储粮罐都是锥底的，虽然比以前的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，请计算出它的体积。 12．如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱体鱼缸，里面放着一块体积为12.56立方分米，底面直径为4分米的圆锥体假山石。如果水管以每分钟16立方分米的流量向里面注水，至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？（结果保留整数） 13．在一个底面半径是4厘米，高是15厘米的圆柱形玻璃杯内装入10厘米高的水，然后放一个底面直径是8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到12厘米，这个铅锤的高是多少厘米？ 14．欢欢一家到餐馆吃饭，点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌子上说：“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌。”欢欢发现这是一个上下均为圆锥的沙漏（如图），两个圆锥的底面直径均是10厘米，高均是6厘米，沙漏上面的圆锥装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺。 （1）最迟多少秒钟后点的菜会全部上完？ （2）沙漏用完后，服务人员用一个与圆锥等底等高的圆柱形包装盒对沙漏进行包装，需要用多少平方厘米的包装盒？ 15．据统计，被称为“龙卷风”之乡的美国平均每年形成1000次左右的龙卷风，而根据国家气候中心1991年到2020年的统计数据，我国平均每年发生龙卷风38个，其中江苏和广东最多。某次龙卷风的高度约126米，顶部直径约80米，那么这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为多少立方米？ 16．在一个底面半径是10厘米的圆柱形杯子中装有水。水里浸没一个底面半径是5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从杯中取出后，杯里水面下降5毫米。铅锤高多少？ 17．冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如下图），它的底面半径是3厘米。装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？ 18．淇淇自制了一个污水过滤器进行污水过滤实验，如下图所示。将污水倒入上方的近似圆锥形容器内，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器（与近似圆锥形容器底面积相同）。 （1）这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入多少毫升的污水？ （2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米？（不考虑过滤掉的杂质体积） 19．施工人员正在修一条长40米、宽10米的笔直的路，修建过程中要用沙子铺路面。有一个圆锥形沙堆，底面直径为4米，高为1.5米，如下图。如果要用沙子在这条路上铺2厘米厚的路面，这堆沙子够用吗？（π取3.14） 20．小林先用橡皮泥捏成一个底面积是4平方厘米，高是6厘米的圆柱（如图），然后对它进行“等积变形”。 （1）如果把这个圆柱捏成一个长方体，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 （2）如果把这个圆柱捏成一个圆锥，那么相关数据可能是多少？请你画出草图，并标出关键数据。 21．一个近似于圆锥形的野营帐篷，底面周长是18.84米，高是30分米。 （1）帐篷的占地面积是多少？            （2）帐篷里的空间有多大？ 22．“长征火箭力拔山，神舟载人把梦圆，探月工程谱新篇。”长征八号系列运载火箭实现了数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的示意图，忽略整流罩本身的厚度，它的容积是多少？（π取3.14） 23．一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）。 （1）容器中水的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 24．为践行绿色文明，提高环保意识，某小学举办“变废为宝”手工创意大赛，一位同学制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）张老师打算在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 25．用铁皮制作一个无盖的圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是5分米。 （1）制作这个水桶需要多少平方分米的铁皮？（得数保留整数） （2）若水桶里盛有的水，水的体积是多少升？ （3）将一块底面半径1分米、高3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面会上升多少分米？ 参考答案 1．78.5立方分米 【分析】先根据圆锥体积＝底面积×高×，求出水的体积，再除以其占圆柱形容器容积的比例，得到圆柱形容器的容积，据此解答。 【解答】圆锥体积： （立方分米） （立方分米） 答：这个圆柱形容器的容积是78.5立方分米。 2． 30平方厘米 【分析】先依据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再根据水的体积不变，利用圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数值即可求出圆锥形容器的底面积。 【解答】 （立方厘米） （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。 3．15.7米 【分析】已知圆锥形碎石堆的底面周长是18.84米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出碎石堆的体积； 要把这个碎石堆铺在一条宽8米、厚15厘米的公路上，那么碎石堆的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的长＝体积÷宽÷高，据此求出能铺路基的长度。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】15厘米＝0.15米 圆锥的底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 碎石堆的体积： ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝18.84（立方米） 路基的长度： 18.84÷8÷0.15 ＝2.355÷0.15 ＝15.7（米） 答：能铺15.7米长的路基。 4．129吨 【分析】圆锥的体积等于乘底面积乘高，用圆锥的体积乘每立方米的煤的质量，就可以求出这堆煤的质量。 【解答】 （吨） 答：这堆煤约有129吨。 5．7厘米 【分析】若将这个容器倒立，沙子的总体积不变，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h和圆锥的体积公式：V＝πr2h，用3.14×62×2＋3.14×62×15×即可求出沙子的体积，然后用沙子的体积÷（3.14×62）即可求出倒立后沙子的高度。 【解答】3.14×62×2＋3.14×62×15× ＝3.14×36×2＋3.14×36×5 ＝113.04×2＋113.04×5 ＝226.08＋565.2 ＝791.28（立方厘米） 791.28÷（3.14×62） ＝791.28÷（3.14×36） ＝791.28÷113.04 ＝7（厘米） 答：细沙的高度是7厘米。 6．120.576平方米 【分析】圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此求出蒙古包两部分的容积，再把它们加起来即可解答。 【解答】8÷2＝4（米） ＝ ＝3.14×32＋3.14×6.4 ＝3.14×38.4 ＝120.576（平方米） 答：这个蒙古包的容积大约是120.576立方米。 7．8次 【分析】根据球体体积公式，半球形容器的体积：÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出两个容器的容积，用半球形容器的容积÷圆锥形容器的容积即可。 【解答】 （次） 答：至少要注水8次。 8． 262立方厘米 【分析】将一个棱长为10厘米的正方体木块削成最大的圆锥，则这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，再根据圆锥体积公式：V＝，将数据代入即可求解。 【解答】 ≈262（立方厘米） 答：这个圆锥的体积约是262立方厘米。 9．282.6立方厘米 【分析】陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式，即可求出陀螺的体积。 【解答】底面半径：6÷2＝3（厘米） 圆柱的体积：3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方厘米） 圆锥的高：8×＝6（厘米） 圆锥的体积：3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（立方厘米） 226.08＋56.52＝282.6（立方厘米） 答：这时这个陀螺的体积是282.6立方厘米。 10．157立方厘米 【分析】增加的面积为两个底为（5×2）厘米，高与圆锥的高相同的三角形面积，据此可以求出圆锥的高，圆锥的体积V＝πr2h，据此代入数据进行解答。 【解答】圆锥的高： 60÷2×2÷（5×2） ＝60÷10 ＝6（厘米） ×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝3.14×25×（6×） ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是157立方厘米。 11．5.652立方米 【分析】由图可知，新型储粮罐的体积＝底面直径为2米，高0.9米的圆锥体积＋底面直径为2米，高1.5米的圆锥体积＋底面直径为2米，高1米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【解答】2÷2＝1（米） 3.14×12×0.9×＋3.14×12×1＋3.14×12×1.5× ＝3.14×0.9×＋3.14＋3.14×1.5× ＝2.826×＋3.14＋4.71× ＝0.942＋3.14＋1.57 ＝4.082＋1.57 ＝5.652（立方米） 答：新型储粮罐的体积是5.652立方米。 12．21分钟 【分析】根据圆锥的体积V＝πr2h，先求出圆锥体假山石的高，要使假山石完全淹没，则水面的高为圆锥体假山石的高，圆柱的体积V＝πr2h，用圆柱的体积减假山石的体积，求出注入的水量，最后用水量除以每分钟注水量，可求出时间，用进一法保留近似数即可。 【解答】假山石的底面半径：4÷2＝2（分米） 假山石的高为： 12.56×3÷（3.14×22） ＝37.68÷（3.14×4） ＝37.68÷12.56 ＝3（分米） 将假山石完全淹没注入的水量：3.14×62×3－12.56 ＝3.14×36×3－12.56 ＝339.12－12.56 ＝326.56（立方分米） 注水时间：326.56÷16≈21（分钟） 答：至少需要21分钟才能将假山石完全淹没。 13．6厘米 【分析】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水面高度由10厘米上升到12厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤的体积； 水面上升部分是一个底面半径为4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积； 已知圆锥形铅锤的底面直径是8厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥形铅锤的底面积； 由圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。 【解答】圆锥形铅锤的体积： 3.14×42×（12－10） ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 圆锥形铅锤的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆锥形铅锤的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是6厘米。 14．（1）942秒 （2）533.8平方厘米 【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝，先求出沙子的体积，再用沙子的体积除以每分钟漏掉的沙子的体积，最后进行单位换算即可。 （2）圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的底面直径为10里，高为（2×6）厘米，解答。 【解答】10÷2＝5（厘米） ×3.14×52×6 ＝3.14×25×（6×） ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 157÷10＝15.7（分） 15.7分＝942秒 答：最迟942秒钟后点的菜会全部上完。 （2）3.14×10×6×2＋3.14×52×2 ＝31.4×6×2＋3.14×25×2 ＝376.8＋157 ＝533.8（平方厘米） 答：需要用533.8平方厘米的包装盒。 15．211008立方米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积。 【解答】×3.14×（80÷2）2×126 ＝×3.14×402×126 ＝×3.14×1600×126 ＝211008（立方米） 答：这次龙卷风所形成的近似圆锥形的空间体积约为211008立方米。 16．6厘米 【分析】水面下降的体积就是铅锥的体积，圆柱形杯子的底面半径×水面下降的高度＝铅锥体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铅锥的高，注意统一单位。 【解答】5毫米＝0.5厘米 3.14×102×0.5 ＝3.14×100×0.5 ＝157（立方厘米） 157×3÷（3.14×52） ＝471÷（3.14×25） ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：铅锥高6厘米。 17．122.46立方厘米 【分析】由图可知，求这个冰淇淋需要多少立方厘米的奶油，就是求一个底面半径为3厘米，高为4厘米和一个底面半径为3厘米，高为9厘米的两个圆锥体积之和，根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可。 【解答】3.14×32×4×＋3.14×32×9× ＝3.14×9×4×＋3.14×9×9× ＝28.26×4×＋28.26×9× ＝113.04×＋254.34× ＝37.68＋84.78 ＝122.46（立方厘米） 答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油。 18．（1）235.5平方厘米；（2）3厘米 【分析】（1）求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是10cm，高9cm的圆锥的体积，利用公式求解即可； （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【解答】（1）10÷2＝5（厘米） ×3.14××9 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（平方厘米） 答：这个近似圆锥形容器一次最多大约能装入235.5毫升的污水。 （2）9×＝3（厘米） 答：圆柱形容器中水的高度大约是3厘米。 19．不够用 【分析】根据题意可知，先求出圆锥形沙堆的体积，用公式：圆锥的体积＝底面积×高×，然后求出铺2厘米厚的路面的沙子的体积，用路的面积×铺的厚度＝铺的沙子的体积，把两个体积进行对比，如果圆锥形沙堆的体积大于等于铺的沙子的体积，就够用，否则不够用，据此列式解答。 【解答】2厘米＝0.02米 3.14×（4÷2）2×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 40×10×0.02 ＝400×0.02 ＝8（立方米） 6.28＜8 答：这堆沙子不够用。 20．（1）如图： （2）如图： 【分析】（1）根据圆柱的体积得出圆柱的体积，再根据圆柱的体积与长方体的体积相等，找到符合题意的长方体的长、宽、高，画图即可； （2）根据圆锥的体积公式：，结合圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，计算圆锥的底面半径和高，作图即可。 【解答】（1）4×6＝24（立方厘米） 24＝2×2×6，得出长方体的长是2厘米，宽是2厘米，高是6厘米。 （2）底面积相等，圆锥的高是圆柱高的3倍，则体积相等。 3×6＝18（厘米），得出圆锥的底面积是4平方厘米，高是18厘米。 21．（1）28.26平方米 （2）28.26立方米 【分析】（1）占地面积指的是底面积，圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答； （2）根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式解答即可，注意统一单位。 【解答】（1）3.14×（18.84÷3.14÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：帐篷的占地面积是28.26平方米。 （2）30分米＝3米 28.26×3÷3＝28.26（立方米） 答：帐篷里的空间有28.26立方米。 22．212.264立方米 【分析】观察图形可知，整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算求出整流罩的容积。 【解答】3.14×（5.2÷2）2×8＋×3.14×（5.2÷2）2×（14－8） ＝3.14×2.62×8＋×3.14×2.62×6 ＝3.14×6.76×8＋×3.14×6.76×6 ＝3.14×6.76×（8＋×6） ＝3.14×6.76×（8＋2） ＝3.14×6.76×10 ＝212.264（立方米） 答：它的容积是212.264立方米。 23．（1）301.44立方厘米； （2）10厘米 【分析】（1）容器中水的体积等于底是8厘米高是6厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式计算即可； （2）水的体积是一个底面直径是8厘米高是6厘米的圆锥和一个底面直径是8厘米的圆柱的体积，据此先用水的体积减去底面直径是8厘米高是6厘米的圆锥的体积，再根据圆柱的高＝V÷[π（d÷2）2]求出圆柱的高，最后用圆柱的高加上圆锥的高即可。 【解答】（1）3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 答：容器中水的体积是301.44立方厘米。 （2）3.14×（8÷2）2×6× ＝3.14×42×6× ＝3.14×16×6× ＝50.24×6× ＝301.44× ＝100.48（立方厘米） 301.44－100.48＝200.96（立方厘米） 200.96÷[3.14×（8÷2）2] ＝200.96÷[3.14×42] ＝200.96÷[3.14×16] ＝200.96÷50.24 ＝4（厘米） 4＋6＝10（厘米） 答：从水面到圆锥顶点的高度是10厘米。 24．（1）75.36立方分米 （2）62.8平方分米 【分析】（1）观察图形，整流罩模型由圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，圆柱的体积加圆锥的体积就是整流罩模型的体积，列式即可解答； （2）求彩纸的面积，就是求这个圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 【解答】（1）3.14×（4÷2）2×5＋3.14×（4÷2）2×3× ＝3.14×4×5＋3.14×4×3× ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方分米） 答：这个整流罩模型的体积是75.36立方分米。 （2）3.14×4×5＝62.8（平方分米） 答：需要62.8平方分米的彩纸。 25．（1）75平方分米 （2）50.24升 （3）0.25分米 【分析】（1）求无盖圆柱水桶要用多少铁皮，就是在求整个圆柱的表面积后去掉圆盖即可。圆柱的表面积公式为：，去掉一个圆盖，制作这个水桶铁皮的面积就为：。 （2）求水桶水的体积，就是先求出水桶的体积，再求出水桶体积的就是水的体积。圆柱的体积公式为：。 （3）放入圆锥后水桶的水面会上升，水桶水面上升的体积是求圆柱的体积同时也是放入的圆锥的体积，由此等量关系可以求出水面上升的高度是多少分米。 【解答】（1） （平方分米） 答：制作这个水桶需要75平方分米的铁皮。 （2） 水桶的体积（立方分米） （立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 答：水的体积是50.24升。 （3）设水面会上升h分米。 圆锥铁块的体积：（立方分米） 上升水面的体积：（立方分米） 由 （分米） 答：水面会上升0.25分米。 【点评】此题考查对圆柱、圆锥的体积和表面积公式的灵活应用，在第三问中要清楚水桶上升的体积是圆柱的体积就是放入的圆锥的体积，找出等量关系反向求出水面上升的高度。 学科网（北京）股份有限公司 $