第06讲 勾股定理（知识详解+20典例分析+习题巩固）同步讲义与测试2025-2026学年（沪科版）八年级数学下册

第06讲 勾股定理（知识详解+20典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 . 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 . 【知识点04】作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【题型一】用勾股定理解三角形 例1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 变式1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 【题型二】勾股定理的证明方法 例2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 变式1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是__________． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【题型三】利用勾股定理证明线段平方关系 例3．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 变式1．如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．    【题型四】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例4．在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积 例5．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【题型六】勾股定理与网格问题 例6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 变式1．（22-23八年级下·安徽宿州·月考）如图，这是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形的格点上，则边上的高为__________．    变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 【题型七】勾股定理与折叠问题 例7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则_________. 变式2．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，直角三角形纸片的两直角边，．现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C点E重合．求的长． 【题型八】已知两点坐标求两点距离 例8．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知点P在平面直角坐标系中的坐标为，则点P到原点的距离是（ ） A．8 B．15 C．17 D．23 变式1．如图平面直角坐标系中，已知三点 A（0，7），B（8，1），C（x，0）且 0<x <8． （1）求线段 AB 的长； （2）请用含 x 的代数式表示 AC+BC 的值； （3）求 AC+BC 的最小值. 【题型九】勾股树（数）问题 例9．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）写一组你喜欢的勾股数______． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【题型十】以弦图为背景的计算题 例10．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(   ) A． B． C． D．7 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为________． 变式2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 例11．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（    ） A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm 变式1．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为_________．    变式2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【题型十二】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 例12．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【题型十三】求旗杆高度(勾股定理的应用) 例13．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 变式1．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． 则风筝的垂直高度__________米． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【题型十四】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 例14．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【题型十五】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 例15．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为__________米.    变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【题型十六】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 例16．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如下图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为，将一根筷子插入其中，留在杯外最长，最短，则这只玻璃杯的内径是__________．    【题型十七】解决航海问题(勾股定理的应用) 例17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距______海里． 变式1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以20海里／时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若B，C两岛相距50海里，求乙船的航行速度． 【题型十八】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 例18．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 变式1．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【题型十九】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 例19．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 变式1．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？    【题型二十】求最短路径(勾股定理的应用) 例20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 变式2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 一、单选题 1．如图，直角三角形三边向外作正方形，字母A所代表的正方形的面积为(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 2．如图是屋架设计图的一部分，如果斜梁、横梁，那么从横梁上的任意一点D支一根木头顶往屋顶A处，这根木头的长度可能是（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 4．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．1，， 5．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．    A． B． C．10 D． 6．如图，正方形的顶点和正方形的顶点，均落在长方形的边上，连结．若，且，则长方形的面积是（    ） A．56 B．60 C． D．61 7．随着AI技术的发展，我校数学学习小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离，则图中点处与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为，点B的坐标为，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，等边中，，在平面直角坐标系中点，点，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点E在x轴上，满足，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 ___． 12．在中，，是的中点，于，若，，则的长度为______． 13．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为_____cm． 14．如图，在中，，，是边上一点，且，为射线上一动点，则的最大值为_________________． 15．如图，在四边形中，，，连接．若，，则的长为______． 16．如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为_____． 三、解答题 17．在中，，求的长． 18．一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为，两点间的距离为，求螳螂绕行的最短路程． 19．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．操作与探究 (1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； (2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，与，与相对应） (2)在直线上求作一点使的值最小，此时_______． (3)的面积是_______． 22．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点重合），以线段为一边在其右侧作等边．    (1)求点A的坐标； (2)如图1，在点P的运动过程中，总有．请证明这个结论． (3)如图2，连接，当时，求点P的坐标． 23．如图，射线，点从出发，沿射线运动，，． (1)当点运动到时，且，求的长； (2)当为等腰三角形时，求的长； (3)经研究发现点在运动的过程中，若的形状也发生变化，请直接写出为锐角、直角、钝角三角形时的对应长度取值范围． 24．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 勾股定理（知识详解+20典例分析+习题巩固） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 1.勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系 . 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题 . 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度， 解决生产、生活中的实际问题 . 【知识点04】作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【题型一】用勾股定理解三角形 例1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴ ， ∴的值为25． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 【答案】10或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用， 需分两种情况讨论：当已知两边均为直角边时，或当其中一边为斜边时（由于斜边最长，6不能为斜边，故只考虑8为斜边的情况）. 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 变式2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 【答案】感应器的感应距离是1米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是识别出直角三角形，结合题干已知条件利用勾股定理求得线段的长度即可． 【详解】解：由题知：，， 在中，， ∴， ∴感应器的感应距离是1米． 【题型二】勾股定理的证明方法 例2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 变式1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为___________，该定理的结论其数学表达式是__________． 【答案】 勾股定理 c2=a2+b2 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理． 【详解】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2， 即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为：勾股定理． 故答案为：勾股定理，a2+b2=c2 【点睛】本题考查的是勾股定理的几何背景，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 【题型三】利用勾股定理证明线段平方关系 例3．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 变式1．如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．    【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF2+CG2＝FG2，理由见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，AP⊥AD，可以得到∠BAC＝∠PAD＝90°，所以∠BAF＝∠PAC，再由CP⊥BC，∠ACB＝45°，可以证得∠ABF＝∠ACP＝45°，即可以证明△ACP≌△ABF； （2）由（1）可得，△ACP≌△ABF，所以BF＝CP，AF＝AP，利用CP⊥BC，∠DAE＝45°，可以证得∠FAG＝∠PAG＝45°，先证△FAG≌△PAG，得到FG＝PG，在直角△PGC中，利用勾股定理得到三边的等式关系，等量代换，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°， ∵AP⊥AD， ∴∠PAD＝∠BAC＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC， ∴∠BAF＝∠CAP， ∵PC⊥BC， ∴∠PCB＝90°， ∵∠ACP＝∠ACB＝45°， ∴∠ABF＝∠ACP， 在△ABF与△ACP中， ， ∴△ABF≌△ACP（ASA）； 解：（2）BF2+CG2＝FG2，理由如下： 如图1，连接PG，    由（1）可得，△ABF≌△ACP， ∴BF＝CP，AF＝AP， ∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD＝90°， ∴∠FAG＝∠PAG＝45°， 在△AFG与△APG中， ， ∴△AFG≌△APG（SAS）， ∴FG＝PG， 在Rt△PGC中， PG2＝CG2+CP2， ∴BF2+CG2＝FG2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，利用已知条件，找到证明全等的条件，是解决本题的关键，例如第（1）问中的∠BAF＝∠PAC，∠ABF＝∠ACP的推导，同时，要注意第（1）问的结论给第（2）问提供了条件，例如由（1）的结论可以得到BF＝CP． 【题型四】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例4．在Rt△中，，，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理即可得到结论. 【详解】∵Rt△中，，， ∴2=18 故选B. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的内容. 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【题型五】以直角三角形三边为边长的图形面积 例5．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 变式1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【题型六】勾股定理与网格问题 例6．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理， 先连接，根据题意可知，再根据勾股定理可得答案. 【详解】解：连接，根据题意可知， 根据勾股定理，得. 故选：A. 变式1．（22-23八年级下·安徽宿州·月考）如图，这是由边长为1的小正方形组成的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形的格点上，则边上的高为__________．    【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】首先根据题意求出的面积，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵的三个顶点均在正方形的格点上 ∴的面积， ∴设边上的高为h， ∴，即 ∴解得． ∴边上的高为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形面积的求解以及勾股定理的应用，解题的关键是掌握割补法求解三角形的面积以及勾股定理． 变式2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 【答案】(1)， (2) 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键． （1）对和直接运用勾股定理即可求解； （2）先由割补法求出的面积，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）解：由图可得：， ∵，， ∴， ∴． 【题型七】勾股定理与折叠问题 例7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 变式1．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则_________. 【答案】15 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC中求解x即可. 【详解】解：根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30， 设BE=EB′=x，则EC=40﹣x， ∵∠B=90°，AB=30，BC=40， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50， ∴B′C=50﹣30=20， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2， 解得x=15． 故答案是15． 【点睛】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键. 变式2．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，直角三角形纸片的两直角边，．现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点C点E重合．求的长． 【答案】CD的长为． 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 设，则在中，， ∴． 答：的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质以及利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【题型八】已知两点坐标求两点距离 例8．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知点P在平面直角坐标系中的坐标为，则点P到原点的距离是（ ） A．8 B．15 C．17 D．23 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据点P的坐标为，利用勾股定理即可求出点P到原点的距离． 【详解】解：点P的坐标为， 点P到原点的距离是． 故选：C． 变式1．如图平面直角坐标系中，已知三点 A（0，7），B（8，1），C（x，0）且 0<x <8． （1）求线段 AB 的长； （2）请用含 x 的代数式表示 AC+BC 的值； （3）求 AC+BC 的最小值. 【答案】（1）AB=10；（2）+；（3）AC+BC最小值为8． 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长； （2）根据两点间的距离公式可求线段AC，BC的值，再相加即可求解； （3）作B点关于x轴对称点F点，连接AF，与x轴相交于点C．此时AC+BC最短．根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）； （2）AC+BC ； （3）如图，作B点关于x轴对称点F点，连接AF，与x轴相交于点C．此时AC+BC最短． ∵B（8，1），∴F（8，－1），∴AC+BC=AC+CF=AF=． 即AC+BC最小值为8． 【点睛】本题考查了最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键． 【题型九】勾股树（数）问题 例9．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．4，5，6 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，非正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，非正整数，排除． 选项C：8，15，17，均为正整数，验证得 ，满足勾股定理，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不满足勾股定理． 故选： C． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）写一组你喜欢的勾股数______． 【答案】 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一． 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数． 【详解】解：∵，且12，16，20都是正整数， ∴一组勾股数可以是． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 【题型十】以弦图为背景的计算题 例10．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是(   ) A． B． C． D．7 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理；和为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可利用勾股定理得出的值． 【详解】解：，，即和为两条直角边长时， 小正方形的边长， 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大、小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的较长直角边长为________． 【答案】3 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键． 根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差1，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解． 【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、， ∵图中大、小正方形的面积为13和1，则大、小正方形的边长为、， 则、满足， 解得、， 故较长的直角边为3， 故答案为3． 变式2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】29 【知识点】以弦图为背景的计算题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查勾股定理，完全平方公式的变形运用，理解图示，掌握勾股定理，完全平方公式的变形计算是关键，根据题，，，运用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：大正方形的面积是15，小正方形的面积是1， 四个直角三角形面积和为，即， ，， ． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 例11．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（    ） A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据题意，画出图形，可知两只蚂蚁爬行的路程和两只蚂蚁的距离构成了一个直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】12×10=120（cm），16×10=160（cm） 由勾股定理可得：两只蚂蚁间的距离=（cm） 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为_________．    【答案】10 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千的绳索长为， ∴， ∴ 解得：，     答：绳索的长度是． 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 变式2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.5米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，求这名学生的身高为多少米？ 【答案】这名学生的身高为1.6米 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用．过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出，进而得到米，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于E，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，米， 在中，米， 由勾股定理得 （米）， ∴（米）， ∴米． 故这名学生的身高为1.6米． 【题型十二】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 例12．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，一架的云梯斜靠在一竖直的墙上，此时．如果梯子的底端向墙一侧移动了（），那么梯子的顶端向上移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 【题型十三】求旗杆高度(勾股定理的应用) 例13．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 【答案】D 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在中，由勾股定理求出，由求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米， 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． 则风筝的垂直高度__________米． 【答案】21.7 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度 【详解】解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，米， 故答案为21.7 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 【题型十四】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 例14．（23-24八年级下·安徽阜阳·月考）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴， 故选：C． 变式1．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【题型十五】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 例15．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为__________米.    【答案】// 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】由题意得：， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为， 解得． ∴旗杆的高为米， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用勾股定理解决实际问题的能力．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 变式1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 【题型十六】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 例16．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 变式1．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如下图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为，将一根筷子插入其中，留在杯外最长，最短，则这只玻璃杯的内径是__________．    【答案】7 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长，当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据筷子与圆柱底面垂直时，留在外端的最长， 根据四边形是矩形， 故（）， 根据题意得筷子的长度为（）， 当筷子与圆柱的如图所示的对角线重合时，留在外端最短， 根据题意得筷子的长度为（）， 解得（）， ∴（），    故答案为：7． 【点睛】本题考查了圆柱的高，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型十七】解决航海问题(勾股定理的应用) 例17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距______海里． 【答案】75 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， （海里）． 答：两船半小时后相距75海里， 故答案为：75． 变式1．（24-25八年级下·安徽芜湖·月考）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以20海里／时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若B，C两岛相距50海里，求乙船的航行速度． 【答案】乙船的航行速度是15海里／时． 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了方位角，勾股定理，解题的关键是得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵甲船沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行， ∴． 在中，（海里），海里， ∴（海里）， ∴乙船的航行速度是（海里／时）． 答：乙船的航行速度是15海里／时． 【题型十八】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 例18．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 变式1．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【答案】2100 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案． 【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边， 所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长， 所以需要地毯的总长度为， 所以需要地毯的总面积为， 所以购买这种地毯至少需要元， 故答案为：2100． 【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长． 【题型十九】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 例19．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）如图，某地有两条笔直的公路，，它们相交成角，沿公路方向离点的处是一所学校，当拖拉机沿公路方向行驶时，以点为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到拖拉机噪音的影响，且拖拉机与学校的距离越近影响越大．若拖拉机行驶的速度为．    (1)求对学校A的影响最大时，拖拉机B与学校A之间的距离． (2)求拖拉机B沿公路行驶一次给学校A带来噪音影响的时间． 【答案】(1)对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； (2)拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题． （1）作于，求出的长即可解决问题． （2）如图以为圆心为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间路程速度计算即可． 【详解】（1）解：作于，   ，， ， 答：对学校的噪声影响最大时拖拉机与学校的距离； （2）解：如图以为圆心为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，， ， 重型运输卡车的速度为， 重型运输卡车经过的时间， 答：拖拉机沿公路行驶一次给学校带来噪音影响的时间为． 变式1．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？    【答案】爆破公路段有危险，需要暂时封锁． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长，再由面积公式求得CD的长，并比较，即可得出公路AB上是否有危险． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，由勾股定理，得： ，所以 由，得，解得， 因为，所以爆破公路段有危险，需要暂时封锁．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形的面积，解题的关键是利用直角三角形的面积列出方程求出CD的长． 【题型二十】求最短路径(勾股定理的应用) 例20．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 变式1．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·安徽芜湖·月考）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 一、单选题 1．如图，直角三角形三边向外作正方形，字母A所代表的正方形的面积为(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式可得，以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴A=289-225=64． 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的“数形结合”思想是解题关键． 2．如图是屋架设计图的一部分，如果斜梁、横梁，那么从横梁上的任意一点D支一根木头顶往屋顶A处，这根木头的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于点E，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，然后由，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，，即， 故这根木头需要长度可能是， 故选：C． 3．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　） A．4尺 B．尺 C．尺 D．5尺 【答案】C 【分析】首先设AC=x，然后根据勾股定理列出方程，求解即可. 【详解】设AC=x， ∵AC+AB=10， ∴AB=10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 解得：x=4.55， 即AC=4.55． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图. 4．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．1，， 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】解：A．， 1，2，3不是勾股数，不符合题意； B．， 4，5，6不是勾股数，不符合题意； C．， 6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵，均不是整数， ，，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．    A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】设，，在和 中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解． 【详解】设，， 在中，，① 在中，，② ①＋②，， ∴， 在Rt△ABC中， ， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键． 6．如图，正方形的顶点和正方形的顶点，均落在长方形的边上，连结．若，且，则长方形的面积是（    ） A．56 B．60 C． D．61 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值，勾股定理的应用，如图，过作于，过作于，两线交于点，设，可得，再利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于，两线交于点， ∵，设，正方形和正方形， ∴，，，，， ∴， ∴，即， ∴长方形的面积为： ； 故选：C． 7．随着AI技术的发展，我校数学学习小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离，则图中点处与点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵，, 在中，， ∴， 故选：B． 8．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为，点B的坐标为，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，假设小蓓与汽车在D点相遇，过点A作，则小蓓的行进路线为，设，则，，在中，利用勾股定理求出，再根据得出关于x的方程，解方程求出x即可得到相遇点的坐标． 【详解】解：如图，假设小蓓与汽车在D点相遇，过点A作， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，，， 设，则，， 在中，， ∴， ∵汽车行驶速度与出租车相同， ∴， ∴，即， 解得：， ∴D点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，能够根据题意画出图形，利用勾股定理得出方程是解题的关键． 9．如图，等边中，，在平面直角坐标系中点，点，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，过点作轴于点，取的中点，则，得出是等边三角形，进而得出轴，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， 点， ∴，则， 取的中点，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 是等边三角形， ∴ ∴轴， 又∵点， ， 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，，点E在x轴上，满足，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件易得，，，轴，轴，因为，所以是角平分线，在根据可知是等腰直角三角形，则当点和点重合时，此时，当点E不与A重合时，连接过D作于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可得：，，，轴，轴， 如图，连接， ∵，，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当点E与点A重合时有，此时点E的坐标为， 当点当点E不与A重合时，如图，连接，过D作于H，    ∵，， ∴， 在Rt和Rt中， ∴RtRt(HL)， ∴， ∵，， ∴， ∴, 设，则，， 根据勾股定理可得：即， 解得：， ∴点E的坐标为， 综上所述：点E的坐标为或， 故选：D 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理等，掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题 11．如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 ___． 【答案】5 【分析】利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：， ， 即、两点的距离等于5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟记两点之间的距离公式是解题关键． 12．在中，，是的中点，于，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，线段的中点，等量代换思想，连接，利用勾股定理计算即可． 【详解】连接， ∵，， ∴, , ∴, ∵，， ∴, 故答案为：． 13．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为_____cm． 【答案】 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度. 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm， 由勾股定理知，AC＝． 设AC边上的高的长度为hcm，则AB•BC＝AC•h， ∴（cm）． 故答案是：． 【点睛】考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． 14．如图，在中，，，是边上一点，且，为射线上一动点，则的最大值为_________________． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，作点C关于射线的对称点，连接．则，证明是等腰直角三角形，求出，在中，，当在同一直线上时，取最大值，即可得到答案． 【详解】解：如图． 作点C关于射线的对称点，连接． 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴当在同一直线上时，取最大值，即为． ∴的最大值是． 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，，连接．若，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 延长到点，使得，连接．根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图①，在中，，，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形分别向外作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形，，按此规律，如果图①中直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为_____． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，图形类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．根据题意设，，由勾股定理的得到，再结合周长得到三边长，分别计算出图①、图②和图③的面积，得出次操作后图形中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：， 设，， ， ， 图①中直角三角形的周长为12， ， ， ，，， 图①中所有正方形的面积和为，且直角三角形两直角边向外作的小正方形面积之和等于斜边向外作的小正方形面积， 1次操作后，图②中所有正方形的面积和为， 2次操作后图③中所有正方形的面积和为， …… 观察发现，次操作后图形中所有正方形的面积和为， 10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 三、解答题 17．在中，，求的长． 【答案】6 【分析】根据题意直接利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确画出图形是解题关键． 18．一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为，两点间的距离为，求螳螂绕行的最短路程． 【答案】螳螂绕行的最短路程为 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理求解，先根据题意画出圆柱体沿高展开的图形，再利用勾股定理求解最短路程即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，得最短路程即为． 根据勾股定理，得cm ∴螳螂绕行的最短路程为． 19．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，设，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 即； （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得： ∴． 20．操作与探究 (1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； (2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 【答案】(1)详情见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了图形的割补，勾股定理的证明等知识点，熟悉掌握图形的面积公式是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）利用割补法建立图形，然后利用图形面积建立式子即可． 【详解】（1）解：如图所示建立完整的四边形： 则：； ； ； （2）解：以边建立正方形，割补出以下图形，则此时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，与，与相对应） (2)在直线上求作一点使的值最小，此时_______． (3)的面积是_______． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3)5 【分析】（1）先利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，然后顺次连接即可；正确确定是解答本题的关键； （2）连接交直线l于点Q，连接CQ，点Q即为所求．然后运用勾股定理求得的长度即可解答；确定点Q的位置是解题的关键； （3）用所在的矩形面积减去多出的三个三角形的面积即可；掌握运用割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：点Q即为所求．此．    （3）解：的面积为：． 故答案为5． 22．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点重合），以线段为一边在其右侧作等边．    (1)求点A的坐标； (2)如图1，在点P的运动过程中，总有．请证明这个结论． (3)如图2，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）过作轴，交轴于点，在中，利用勾股定理可求得的长，从而可得到的长，可求得点坐标； （2）由等边三角形的性质可得到，且可得到，可证得结论； （3）利用（2）的结论结合平行可得，在中可求得，又，则可求得点坐标． 【详解】（1）解；如图1，过作轴，交轴于点， ∵点坐标为， 在中，由勾股定理可得， ∵为等边三角形， ∴， ∴点坐标为；    （2）证明；∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴； （3）连接，如图2， 由（2）可知， 在中， 的坐标为    【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理等。在（1）、（3）中求得线段的长度是求点的坐标的一般思路，在（2）中注意等边三角形性质的应用．本题考查知识点都属于基础知识，难度不大． 23．如图，射线，点从出发，沿射线运动，，． (1)当点运动到时，且，求的长； (2)当为等腰三角形时，求的长； (3)经研究发现点在运动的过程中，若的形状也发生变化，请直接写出为锐角、直角、钝角三角形时的对应长度取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)，， 【分析】（1）根据证明即可； （2）分三种情况进行讨论即可得出的长； （3）根据（2）中的长即可得出结论． 【详解】（1）在和中 （2）当时，在， ，， ， ； 当时， 在， ； 当时，在的垂直平分线上，与条件不合． （3）当时，是直角三角形， 时，为钝角三角形；当时，为锐角三角形． 故，，． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 24．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $