第二章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

湘教版高中数学选择性必修第二册 第2章：空间向量与立体几何单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为() A.（-2,1-4) B.(-2,-1,-4) C.(2,1,-4) D.(2,-1,4) 【答案】B 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点(x,y,)关于x轴的对称点的坐标为只须 将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标 【详解】在空间直角坐标系中，点(x,y,)关于x轴的对称点的坐标为：(x,-y,-), 所以点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为：(-2，-1，-4).故选：B 2.在空间直角坐标系O-中，已知点A(1,0,2)关于平面xOy的对称点为B,关于原点O 的对称点为C,则B与C的距离为() A.0 B.2 C.4 D.8 【答案】B 【分析】先求得点A(1,0,2)关于平面xOy和关于原点O的对称点的坐标，再利用两点间的距 离公式求解 【详解】解：在空间直角坐标系O-3z中，点A(1,0,2)关于平面xOy的对称点为B(1,0,-2), 点A(1,0,2)关于原点O的对称点为C(-1,0,-2), 所以点B与C的距离为BC=V1+1)+(0-0)}'+(-2+2)=2,故选：B 3.如图，在长方体ABCD-ABCD中，P是线段BD中点，若AP=xAB+yAD+AA, 则x+y+二=() D C 1B D A B A. 1 B.1 C. 3 D.3 8 2 【答案】C D 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果 B D 【详解】如图，连接AD,AP, B ,P是线段BD中点， -丽*@列号亚+04)号丽5D+。 ∴x=y=z= 2+4:=3 故选：C 4.已知空间向量a+b+=0,且=25=4，=3，则cos(a,c)=() A.月 B. C.V3 D. 2 2 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解 【详解】由a+万+c=0可得-i=a+c, 故-a+d-后+e+2ae449+228os(a.可，故coa(a.)e- 故选：B 5.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则MN等于() A. 2 2 D. 2a+2五-1c 3 3 32 【答案】B 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出M 【详解1依题意有D丽+丽-ai+0丽+c-0四+故：B 2 6.设x,yeR,向量a=(,11),万=(1y,1),c=(2,4,2)且a16,6116,则a+=() A.22 B.3 C.V10 D.4 【答案】B 【分析】由向量的关系列等式求解x,y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量 的模计算得出结果 【详解】向量i=(x,1,1),b=1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b11, a.b=x+y+1=0 x=1 ∴.1y ,解得 y=-21 2-4 ∴.a+b=x+1,1+y,2)=(2,-1,2),∴|a+b=V4+1+4=3,故选：B 7.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M为棱CC的中点，则点B到直线AM的 距离为() B A.√2 B.3 C.2 D.5 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线的向量距离公式求出答案 【详解】以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， B(2,2,0),A(2,0,2),M(0,2,1), (-2,2,-1) 则i AM A B AM 点B到直线AM的距离为 D a-(a可-0+44-02习（号号》 =2.故选：C 8,如图，在直=楼柱ABC-4BC中，ZACB-号AC=2,80=1,4=2,点D是棱4C 的中点，点E在棱BB上运动，则点D到直线CE的距离的最小值为() 4.35 B.4V5 5 C.5 D. 5 5 5 【答案】D 【分析】以C为原点，CA,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标 系，设E(0,1,C),其中0≤c≤2，利用空间向量法可求得点D到直线C,E的距离的取值范围， 即可得解 【详解】因为CCL平面ABC,∠ACB= 2 所以以C为原点，CA,CB,CC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接CD，则D(1,0,0),C(0,0,2)，设E(01,c),其中0≤c≤2， 所以CD=(1,0,-2),CE=(0,1,c-2),则点D到直线CE的距离： C D.CE -2(c-2) 4(c-2)2 4 √c-2y+1 (c-2+1 (c-2)2+1 所以点D到直线CB的距离的最小值为35 5 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，EG,FH相 交于点M,则下列结论中正确的是() E A.AC∥平面EFGH B.AC L BD C-西+4c+丽 D.若S,T分别为AC,BD的中点，则M为ST的中点 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A:对于B,将AC与BD的位置关系转化为EF 与FG的关系进行判断：根据空间向量的线性运算即可判断C:通过分析得到AS+A7=24M, 即可判断D. 【详解】对于A,因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC 又因为EFC平面EFGH,ACd平面EFGH,所以AC∥平面EFGH,故A正确： 由A可得，EF∥AC,因为F,G分别是BC,CD的中点，所以FGIIBD 由题中条件得不到EF与FG垂直，所以也得不到AC与BD垂直，故B错误； 对于C,+丽号丽G丽+丽丽列 4+ac0亚+c+而-画 (西+4C+D),故C正确：对于D,因为T是BD的中点，所以4亚=5+AD) 又因为8是4C的中点，所以函-4C,所以A+否-（压+4C+AD列=2， 所以M为ST的中点，故D正确.故选：ACD 10.在空间直角坐标系中，己知点A(1,1,0),B(1,0,2),C(0,1,3),D(2.x-1,1,-x),则下列 结论正确的是() A.若AD IBC,则x= B.i=(0,3,-6)是直线AB的一个方向向量 C.cos(B)3 5 D.若点是点B(1,0,2)在Oz平面内的射影，则4回=1 【答案】BC 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A:根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据 向量夹角的坐标表示计算即可判断C；根据向量的模的坐标表示计算即可判断D】 【详解】列表解析： 选项 正误 原因 AD=(2x-2,0,-x),BC=(-1,1,1),因为AD⊥BC, A 所以0C=2-2-=0:解得x号 AB=(0,-1,2),i=(0,3,-6=-3AB, B 则i=(0,3,-6是直线AB的一个方向向量. AC=(-1,0,3), 则cos(AB,AC)= AB.AC 632 |AB川AC1V5x√105 易知点B1,0,2)在Oz平面内的射影为Q(0,0,2), D 可知A0=(-1,-1,2),即可得1A01=V(-1)2+(-1)2+22=√6 故选：BC 11.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，A4=2AB=2,P是正四棱柱ABCD-ABCD 内一点（含表面），且AP=aAA+bAB+cAD,则下列结论正确的是() D D B A.若a=1, ),b1,c=号，则点P在平面ABC内 B.若a= 8,b=c 2,则B,PL平面ABC 1 C.若a+b-c=1,则AP/1平面ABC D.若a+b-c=0,则点P到平面ABC的距离为定值 【答案】ABD 【分析】建系，对于A,确定P点坐标，即可判断，对于B,确定P点坐标，由 BPAC=0,BP.AB=0,可判断，对于C,确定P点坐标，求得平面ABC法向量，由 AP.≠0可判断，对于D,由点到面的距离公式可判断. 【详解】 D A 6 如图建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),A(0,2,0),D(0,0,1),C(1,2,1),B(1,2,0), 由AP=aAA+bAB+cAD可得：P(b,2a,c), 对于A,山)，即为6C的中点，所以点P在平面48C内，正确， 对于B, 111 242 AC=(1,0,1),4B=4,-2,0), 由B,PAC=0,BP4B=0, 可知：B,P⊥AC,BP⊥AB,又AC,AB为平面ABC两条相交直线， 所以BP⊥平面ABC1,正确，对于C,AP=(b,2A,c), 设i=（x,y=)为平面ABC的法向量， 则AC1i=(1,0,1)(K,y,z)=x+z=0,AB.i=4,-2,0),y,z卡x-2y=0, 令x1,期专1，即-（号又严n-(5-62ae上6+a-e=1, 所以亚与不垂直，所以AP/1平面ABC不成立，错误： 对于D,PA=(b,2-2a,-c),平面ABC的法向量为元= 2-1(b,2-2a,c 所以点P到平面ABC的距离为 PA· -b+1-a+ 4 -b+1-a+c_2 因为a+b-c=0,所以 ,定值，正确，故选：ABD 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在空间直角坐标系Oxvz中，若点P(a,b,2a)关于平面xOz对称的点为Q(2-a,-b,b+5), 则点P的坐标为 【答案】(1，-3,2) 【分析】根据关于平面xOz对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可。 【详解】由题意知，在空间直角坐标系O-中，点P(a,b,2a)关于平面xOz的对称点为 Q(a,-b,2a), [2-a=a a=1 又2(2-a,b,b+5),所以 b怎6，解得6-3所以点P的坐标为-3,2) b+5=2a 故答案为：(（1，-3,2) 13.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AC=2,则PO.PB= 【路案) 【分析】由正三棱锥的性质可得PO⊥平面ABC,从而得到PO⊥BO,|BO 2 ，再由 3 向量的线性运算和数量积运算即可求得， 【详解】，在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心， ∴.POL平面ABC,OBC平面ABC,.PO⊥BO,即PO.OB=0, PA=AC=2,AB=CB=AC=2, ÷B01=214B1sin60°-25 3 而西=而(o-丽列o+o0丽Bp-s04专 8 故答案为： 14.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,AA=4,P为棱AA上的动点（不与A,A重 合)，在直线CC,上的点满足D2⊥CP.给出下列四个结论： D B ①CP⊥BD: ②∠PD2为定值； ③存在点P,使得平面DBQL平面DBP: ④存在点P,使得点Q到平面DBP的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 【答案】①④ 【分析】根据给定的长方体，建立空间直角坐标系，由D2⊥CP确定点P,Q的竖坐标关系， 再利用空间位置关系的向量证明判断①③：利用向量夹角公式求解判断②：利用点到平面距 离的向量求法求解判断④即可得解 【详解】在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,AA=4,建立如图所示的空间直角坐 标系， 则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),设P(2,0,t)(0<t<4),Q(0,2,s), =2,-2,),D0=0,2),由D01CP,得C.D0=-4=0,解得5=4 对于①，DB=(2,2,0),CP.DB=0,因此CP⊥BD,①正确： DP.DO 对T@.丽=0,0.0，osD2风-DP104+fV4+F ts 32+4r+1S 不是常数，因此∠PD2不为定值，②错误： 对于③，由CP⊥BD,DO⊥CP,DB∩DO=D,DB,DOC平面DBQ,得CP⊥平面DBQ, 即平面DB2的一个法向量为CP=(2,-2,),设平面DBP的法向量n=(xy,), i.DB=2x+2y=0 则 令z=2,得n=(-t,t,2),CP.n=-2t<0,即CP,n不垂直， ii DP=2x+tz=0 因此不存在点P,使得平面DBQ⊥平面DBP,③错误： 湘教版高中数学选择性必修第二册 第2章：空间向量与立体几何 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点关于轴的对称点的坐标为只须将纵坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：， 所以点关于轴的对称点的坐标为：.故选：B. 2．在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求得点关于平面和关于原点的对称点的坐标，再利用两点间的距离公式求解. 【详解】解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 点关于原点的对称点为， 所以点与的距离为，故选：B 3．如图，在长方体中，是线段中点，若，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图，连接，， ∵是线段中点， ∴， ∴，∴.故选：C. 4．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有.故选：B. 6．设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴，∴，故选：B 7．在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线的向量距离公式求出答案 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 点B到直线的距离为 .故选：C 8．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.   故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．若分别为的中点，则为的中点 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A；对于B，将与的位置关系转化为与的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C；通过分析得到，即可判断D. 【详解】对于A，因为分别是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由A可得，，因为分别是的中点，所以. 由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，故B错误； 对于C， ,故C正确；对于D，因为是的中点，所以. 又因为是的中点，所以，所以, 所以为的中点，故D正确.故选:ACD. 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】BC 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示计算即可判断C；根据向量的模的坐标表示计算即可判断D. 【详解】列表解析： 选项 正误 原因 A × ，，因为， 所以，解得. B √ ，， 则是直线AB的一个方向向量. C √ ， 则. D × 易知点在Oyz平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：BC. 11．如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（   ）    A．若，，，则点在平面内 B．若，，则平面 C．若，则平面 D．若，则点P到平面的距离为定值 【答案】ABD 【分析】建系，对于A，确定点坐标，即可判断，对于B，确定点坐标，由，可判断，对于C，确定点坐标，求得平面法向量，由可判断，对于D，由点到面的距离公式可判断. 【详解】    如图建立空间直角坐标系，， 由可得：， 对于A，，即为的中点，所以点P在平面内，正确， 对于B，，则，， 由， 可知：，又为平面两条相交直线， 所以平面，正确，对于C，， 设为平面的法向量， 则， 令，则，即，又， 所以与不垂直，所以平面不成立，错误； 对于D，，平面的法向量为， 所以点P到平面的距离为， 因为，所以，定值，正确，故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 【答案】 【分析】根据关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可. 【详解】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为， 又，所以，解得，所以点P的坐标为. 故答案为：. 13．在正三棱锥中，是的中心，，则______. 【答案】 【分析】由正三棱锥的性质可得平面，从而得到，，再由向量的线性运算和数量积运算即可求得. 【详解】∵在正三棱锥中，是的中心， ∴平面，平面ABC，∴，即， ∵，， ∴， ∴. 故答案为：    14．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①④ 【分析】根据给定的长方体，建立空间直角坐标系，由确定点的竖坐标关系，再利用空间位置关系的向量证明判断①③；利用向量夹角公式求解判断②；利用点到平面距离的向量求法求解判断④即可得解. 【详解】在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，由，得，解得， 对于①，，，因此，①正确； 对于②，， 不是常数，因此不为定值，②错误； 对于③，由平面，得平面， 即平面的一个法向量为，设平面的法向量， 则，令，得，，即不垂直， 因此不存在点，使得平面平面，③错误； 对于④，点到平面的距离，若， 则，整理得，解得， 因此存在点，使得点到平面的距离为2，④正确， 所以所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 16．（15分）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【详解】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 17．（15分）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【详解】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，，得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以三角形ABC的面积． 18．（17分）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 19．（17分）在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，． (1)求证：平面平面PAD； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证得平面PAD，由面面垂直的判定定理证得结论； （2）取BC中点E，可证得PE，DE，EF两两互相垂直，由此以E为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果； （3）假设存在点满足题意，由线面垂直的性质可知，，由向量垂直的坐标表示得出结果即可. 【详解】（1）证明：∵为正三角形，E为AD的中点， ∴． ∵平面底面ABCD，平面底面， ∴平面ABCD． ∵平面ABCD，∴． ∵． ∵，∴平面PAD． ∵平面ABCD， ∴平面平面PAD． （2）在平面ABCD内作直线． ∴平面PAD，∴． 以E为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 则, 设平面PCD的法向量为, ∴，令，则， 设直线PB与平面PCD所成的角为α． 则． ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. （3）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE． ∵平面ABCD，∴． 要使平面PBE成立，只需成立． 设 ∴，即． ∵， ∴由，得，即，所以 故． 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学选择性必修第二册 第2章：空间向量与立体几何单元测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第2章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为() A.（-2,1,-4) B.（-2,-1,-4) C.(2,1-4) D.（2,-1,4) 2.在空间直角坐标系O-中，已知点A(1,0,2)关于平面xOy的对称点为B,关于原点O 的对称点为C,则B与C的距离为() A.0 B.2 C.4 D.8 3.如图，在长方体ABCD-ABCD中，P是线段BD中点，若AP=xAB+yAD+AA, 则x+y+三=() D C D B B.1 c D.3 4.已知空间向量a+i+c=0,且l=2=4,=3,则cos(a,c)=() A. B.月 2 D. 5.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c.点M在OA上，且OM=2MA, N为BC中点，则MN等于() M a-36ie B.d8-ge c.ar6-ge A. 3 6 D. 6.设x,yeR,向量a=(,11),万=(1y,1),c=(2,4,2)且a16,6116,则a+=() A.22 B.3 C.10 D.4 7.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M为棱CC,的中点，则点B到直线AM的 距离为() D B A. B.5 C.2 D.√5 8.如图，在直三枚柱ABC-48,G中，ACB-子AC-2,C=1,4=2,点D是棱AC 的中点，点E在棱BB上运动，则点D到直线CE的距离的最小值为() A A. 25 B.45 C.5 D. 3V5 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，EG,FH相 交于点M,则下列结论中正确的是() E B A.AC∥平面EFGH B.AC L BD C.=4西+4c+A回 D.若S,T分别为AC,BD的中点，则M为ST的中点 10.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,0),B(1,0,2),C(0,1,3),D(2x-1,1,-x),则下列 结论正确的是() A.若AD I BC,则x= B.i=(0,3,-6)是直线AB的一个方向向量 C.cos(4B)= 5 D.若点9是点B(1,0,2)在Owz平面内的射影，则A⊙=1 11.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，A4=2AB=2,P是正四棱柱ABCD-ABCD 内一点（含表面），且AP=aAA+bAB+cAD,则下列结论正确的是() D D B A.若a=,b=1,c= 2,则点P在平面ABC内 1 2 B若a=尽b=6=片则APL半面4C C.若a+b-c=1,则AP/1平面ABC D.若a+b-c=0,则点P到平面ABC的距离为定值 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在空间直角坐标系Oxyz中，若点P(a,b,2a)关于平面xOz对称的点为Q(2-a,-b,b+5), 则点P的坐标为 I3.在正三棱锥P-ABC中，O是△ABC的中心，PA=AC=2,则PO.PB= 14.在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,A4=4,P为棱AA上的动点（不与A,A重 合)，在直线CC上的点P满足D2⊥CP.给出下列四个结论： B ①CP⊥BD; ②∠PD2为定值； ③存在点P,使得平面DBQ⊥平面DBP: ④存在点P,使得点Q到平面DBP的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在六棱柱ABCDEF-A,B,C,D,E,R中，底面ABCDEF是正六边形，设AB=a, AF=B,AA=c. (1)用a,b,c分别表示AD,AE. 2若cos∠B14=cos∠P14=4,A8=2,A4=4,求： E (i)AC.AD: ()B. 16.(15分)已知向量a=(2,-1,2),b=(1,4,1): (1)求2ā-b的值： (2)求向量a+2b与a-b夹角的余弦值， 17.(15分)已知空间中三点A(-1,1,1),B(0,2,1),C(-2,1,3) (1)设=2V2,且11AB,求c的坐标： (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标： (3)求三角形ABC的面积. 18.(17分)如图所示，直三棱柱ABC-AB,C中，CA=CB=1,∠BCA=90°，AA1=2,M,N 分别是ABAA的中点. 4 B (1)求BN的长： (2)求证：BN⊥平面CMW 19.(17分)在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD 的中点，AB/1CD,AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4. E 0 2-1 (I)求证：平面PCD⊥平面PAD: (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值： (B)在棱CD上是否存在点M,使得AM1平面PBB?若存在，求出D的值；若不存在， DC 说明理由. 湘教版高中数学选择性必修第二册 第2章：空间向量与立体几何 单元测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中， 已知点关于平面的对称点为，关于原点的对称点为，则与的距离为（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 3．如图，在长方体中，是线段中点，若，则（   ） A． B．1 C． D．3 4．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 7．在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D． 8．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．若分别为的中点，则为的中点 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 11．如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（   ）    A．若，，，则点在平面内 B．若，，则平面 C．若，则平面 D．若，则点P到平面的距离为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点P的坐标为________. 13．在正三棱锥中，是的中心，，则______. 14．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 16．（15分）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 17．（15分）已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求三角形ABC的面积． 18．（17分）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 19．（17分）在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，． (1)求证：平面平面PAD； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $