2025-2026学年高二下学期数学阶段性练习题 （湘教版选择性必修第二册)

高二第二学期数学阶段性复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：试题包含湘教版选择性必修第二册第一章 导数及其应用与第二章 空间向量及立体几何前三节内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．在空间直角坐标系中，，，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 4．若，，当取最小值时，x的值等于（    ） A．2 B． C．1 D． 5．设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．曲线上的点到直线的最短距离是（   ） A． B．2 C． D． 8．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）   A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 11．已知函数，则（    ）． A．的递增区间为 B．极大值为 C．的极大值点为e D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 13．已知空间向量，，则___________. 14．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15．（13分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，． 求：(1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 16．（15分）已知空间三点，，，设，． (1)若，，求； (2)求，夹角的余弦值． 17．（15分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 18．（17分）已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 19．（17分）已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高二数学阶段性复习题答案 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据空间向量的坐标表示法则计算可得； 【详解】解：因为，，所以 故选：A 2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，即可求解. 【详解】设，为坐标原点，则点的坐标为， 根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标的竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以向量在坐标平面上的投影向量是， 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 3．函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定义域，求导，利用导函数的正负及零点确定极小值点. 【详解】的定义域为R， ，由，得， 令，解得：，当，解得：或， 即在上单调递增，在，上单调递减， 则的极小值点为． 故选：C 4．若，，当取最小值时，x的值等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】求出，并利用配方法求最值即可. 【详解】因为，， 所以， ， 当时，取最小值． 故选：A. 5．设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以，所以. 故选：C 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在上恒成立，对参数的取值进行简单讨论，即可求得结果. 【详解】，故可得；由题可知在上恒成立， 当时，显然有恒成立； 当时，令，解得， 故当或时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 7．曲线上的点到直线的最短距离是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，再根据切线斜率得出切点，进而应用点到直线距离公式计算求解. 【详解】因为，所以当切点满足斜率时，曲线上的点到直线的距离是最短距离， 所以，所以切点为，所以切点到直线的距离是， 所以曲线上的点到直线的最短距离是. 故选：A. 8．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）   A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】AC 【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案. 【详解】由的图象可知： 当时，，单调递减，故A正确； 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B错误； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在处取得极大值，故C正确； 由于在上单调递增，所以在没有取得极大值，故D错误. 故选：AC. 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】ABD 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由，可得，故四点不共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ，由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，则（    ）． A．的递增区间为 B．极大值为 C．的极大值点为e D． 【答案】BCD 【分析】先求定义域，再求导，利用导函数求出单调区间和极值点，极值，判断出ABC选项，根据单调性判断D选项. 【详解】函数的定义域为，． 令，解得．列表： x ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 对于A：的递增区间为，故A错误； 对于B：由上表可知，极大值为，故B正确； 对于C：的极大值点为，故C正确； 对于D：因为的递增区间为且， 所以成立．故D正确． 故选：BCD 三、填空题 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】已知函数，则， 且，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13．已知空间向量，，则___________. 【答案】6 【分析】利用空间向量数量积运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：6 14．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则______．    【答案】3 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量数量积的坐标表示计算. 【详解】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，．因为，， 所以． 故答案为：3.   四、解答题 15．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标； （2）利用向量的坐标运算加法和减法即可. 【详解】（1）由已知， 则，，； （2）， . 16．已知空间三点，，，设，． (1)若，，求； (2)求，夹角的余弦值． 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行的性质，以及向量模公式，即可求解； （2）根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1），，则， ，可设，， ，，解得， 或； （2），，，，， ． 17．已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. 【详解】（1）由，可得，所以切线斜率为． （2）令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，． 18．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，画出函数的图象、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）由， 令，或， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时，极小值为，极大值为， 而，所以函数在时，最大值为，最小值为， 所以函数在时，值域为 （2）函数， 函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题， 结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象， 当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点， 当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点， 综上所述：当，或时，函数没有零点， 当，或时，函数有个零点， 当时，函数有个零点. 19．已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若在定义域内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为 (3) 【分析】（1）由导数的几何意义可得出切点的横坐标，结合切线方程可得出切点的坐标，将切点代入函数的解析式，即可得出实数的值； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）解不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故，解得. （2）因为，所以函数的定义域为， 由可得，由可得， 故函数的增区间为，减区间为. （3）由（2）可得，解得， 又因为，故实数的取值范围是. 试卷第10页，共3页 试卷第9页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $