专题4 图形的性质 第07讲 菱形--2026年中考数学一轮复习

第07讲 菱形 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.菱形和矩形一定都具有的性质是(    ) A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相平分 2.已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，菱形的对角线、交于点，，过点作于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，矩形的对角线，相交于，，，若，，则四边形的周长是(    ) A. B. C. D. 7.如图．在菱形中，对角线，交于点，下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在菱形中，、是对角线，若，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平行四边形中，作平分交边于点，过点作交边于点，要使四边形是菱形，则平行四边形应具备的条件是(    ) A. B. 四边形是菱形 C. D. 10.如图，在中，平分，交于点，交于点，若，则四边形的周长是(    ) A. B. C. D. 11.如图，已知的对角线与相交于点，则下列结论中，不正确的是(    ) A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 12.如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为(    ) A. 矩形菱形矩形 B. 矩形正方形矩形 C. 平行四边形菱形平行四边形 D. 平行四边形正方形平行四边形 13.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 14.如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是          写出一个即可 15.如图，某校园内有一个由两个相同的边长为的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为           16.如图，在中，，为中点，若，则四边形的周长是          ． 17.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图所示的正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为        ． 18.如图，的对角线与相交于点，，当           时，是菱形． 19.如图，在菱形中，，将菱形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，则的值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，在四边形中，，是对角线． 尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，与边，分别交于点，要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑； 在的条件下，连接，，求证：四边形为菱形． 21.本小题分 已知：如图，在▱中，为的中点，于点，交于点，，连接，求证： ≌； 四边形是菱形． 22.本小题分 如图，▱的对角线、相交于点，，，求证：▱是菱形． 23.本小题分 如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且求证：． 24.本小题分 如图，在▱中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． 求证：四边形是菱形； 若，，平分，求的长． 25.本小题分 如图，四边形的对角线与相交于点，，有下列条件：；． 从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； 在的条件下，若，，求菱形的面积． 26.本小题分 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若平行四边形的周长为，，，求的长． 27.本小题分 如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，． 求证：四边形是矩形； 若，且，，求的长． 28.本小题分 如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接，． 求证：四边形为菱形； 若，，求的值． 29.本小题分 如图，在中，，点为斜边的中点，于点，连接，将沿翻折至处，且点恰好落在直线上． 求的度数； 求证：垂直平分． 30.本小题分 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． 求证：四边形是菱形； 若矩形的周长为，四边形的面积为，求的长． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：由菱形的性质得，菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，对角线平分每一对对角得到选项A，，不符合题意，选项D符合题意， 故选：． 根据菱形的性质即可得到结论． 本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3.【答案】  4.【答案】  【解析】解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即得． 本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  【解析】【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】菱形的对边平行且相等，所以，故本选项正确； B.菱形的对角线不一定相等，故本选项错误； C.菱形的对角线互相垂直，所以，故本选项正确； D.菱形的对角线互相平分，所以，故本选项正确． 故选：． 本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：在菱形中，、是对角线，  ，，  ，  ，  ，  ，  故选：． 根据菱形的性质可得，，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 本题考查菱形的性质，含度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】根据，，即可得到四边形为平行四边形，再根据平分，即可得到，即，从而平行四边形为菱形．根据菱形的性质结合，即可求出四边形的周长． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形，， 平分， ， ， 平行四边形为菱形． ， ． 故选：． 11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  【解析】解：作于，作于， ， ， ， ， ， 由勾股定理可得，， 同理可得：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 菱形的面积是， ， 舍负； 故选：． 先根据等宽得到菱形，再根据菱形的性质和等腰直角三角形的性质得到菱形的边长和边长上高的关系，进而得到答案． 本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解决此题的关键是判断出四边形是菱形． 14.【答案】答案不唯一  15.【答案】  16.【答案】  【解析】本题主要考查了菱形的判定和性质、三角形中位线的性质，由菱形的性质和三角形中位线的性质得到是解答本题的关键．证明四边形是菱形，再由菱形的性质可得：，结合点是边上的中点可得，再结合菱形的四边相等即可求得菱形的周长即可． 【详解】解：，， 四边形是菱形， ，， 又点为的中点，， ， 菱形的周长． 故答案为：． 17.【答案】  【解析】解：在正方形中，， ， ，， ， ， 在菱形中，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 根据正方形的性质得，，由勾股定理得，则，再证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得是解题的关键． 18.【答案】  19.【答案】  【解析】如图，连接并延长，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， 设，，四边形是菱形， ，，， ， 由折叠的性质可知，，， ，，． 又，四边形是平行四边形． 又，平行四边形是菱形， ． 是中点，， ， 在中，， 即， 整理得，， ，， ，， 即，即， 即， 将代入可得， ， ． 故答案为． 20.【答案】见解答．   见解答．  【解析】解：如图，直线即为所求． 证明：直线是线段的垂直平分线， ，，． ， ，， ≌， ， ， 四边形为菱形． 根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． 由线段垂直平分线的性质可得，，，可证明≌，得，则，可得四边形为菱形． 本题考查作图基本作图、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】证明：，为的中点，  ，  ，  垂直平分，  ，  四边形是平行四边形，  ，  ，  又，  ≌；  ≌，  ，  又，  四边形是平行四边形，  又，  ▱是菱形．  【解析】由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由可证≌；  由全等三角形的性质可得，可证四边形是平行四边形，由，可证▱是菱形． 本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键． 22.【答案】见解析．  【解析】证明：，，，  ，  ，  ，  ▱是菱形． 由勾股定理的逆定理可证，由菱形的判定方法可证▱是菱形． 本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 23.【答案】证明：四边形是菱形， ， ， ， 即， 在和中， ， ≌， ．  【解析】由菱形的性质得，再证明，然后证明≌，即可得出结论． 本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24.【答案】解：证明：是的垂直平分线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是菱形； 解：过点作于点，在上截取，连接，如图所示： 设，， 四边形是平行四边形，且，， ，， 四边形是菱形， ，，， 平分， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， ， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ．  【解析】根据线段垂直平分线性质得，，，，再根据平行四边形性质得得，由此可依据“”判定和全等得，进而得，然后根据菱形的判定即可得出结论； 过点作于点，在上截取，连接，设，，根据平行四边形及菱形性质得，证明是的垂直平分线得，证明，，则，在和中，由勾股定理得，由此解得，则，，，，，证明和相似得，再由勾股定理得求出得，由此即可得出的长． 此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 25.【答案】证明：， ， ， 四边形为平行四边形； 当选择时： ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形； 当选择时： ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形； 解：由题意可得：平分，， ， ， ， ， 菱形的面积为．  【解析】先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形或对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证； 根据含度角的直角三角形的性质，求出，的长，进而求出，的长，再根据菱形的面积公式进行计算即可． 本题考查菱形的判定和性质，含度角的直角三角形，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 26.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ．  【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； 证明是等边三角形，求出可得结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 解：由可知：四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 四边形是平行四边形，，， 四边形是菱形，， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的长为．  【解析】由平行四边形的性质得，，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； 由矩形的性质得，进而由勾股定理求出，再证明四边形是菱形，，然后由勾股定理求出，则，即可解决问题． 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 28.【答案】详见解析；  ．  【解析】证明：四边形为矩形， ， ，， 为中点， ， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形； 解：四边形为矩形，，， ， 设 由知：， 中，， 即， 解得 ，， ． 证明出≌，得到，然后结合即可证明四边形为菱形； 设，由知：，根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 29.【答案】【小题】 解：，点为斜边的中点， ， ， ， ， 又翻折得到， ，， ， ， ， ； 【小题】 证明：如图，连接， 由得，，， ，， 由折叠得，， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， 垂直平分．   【解析】  由直角三角形的性质和折叠的性质可得，再根据即可求解；   连接，证明四边形是菱形即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 30.【答案】证明：连接，交于点，交于点，交于点， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 、分别是、的中点， ，， ， ， ，分别是、的中点， ，， ， ， 平行四边形是菱形； 解：矩形的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．  【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理证明，从而得出四边形是菱形； 根据矩形的周长和四边形的面积求出，从而得出，由此得出的长．本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质等，掌握性质和判定方法是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $