专题2.2 解一元二次方程（专题训练）2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法及应用，按直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法、根与系数关系递进设计，题型覆盖基础到综合，逻辑清晰。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|8题|可化为x²=p或(mx+n)²=p型|从基础形式引入，建立直接开平方求解思路| |配方法|12题|配方变形、解方程及最值应用|衔接直接开平方法，培养代数变形能力| |根的判别式|7题|判断根的情况、求参数取值范围|深化方程根的性质理解，发展推理意识| |公式法|4题|应用求根公式解方程|整合配方法推导，形成普适解法| |因式分解法|4题|通过因式分解降次求解|体现代数变形与方程求解的联系| |根与系数关系|7题|计算两根代数式、求参数值|拓展方程根的数量关系，培养模型意识|

专题2.2 解一元二次方程（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1··可化为x²=p型的方程】 1 【题型 2··可化为(mx+n)2=p 型的方程】 3 【题型 3·配方】 5 【题型 4·用配方法解方程】 6 【题型 5·配方法的应用】 9 【题型 6·判断根的情况】 12 【题型 7·求参数的值或取值范围】 13 【题型 8··用公式法解方程】 15 【题型 9··用因式分解法解方程】 17 【题型 10·运用根与系数的关系计算】 19 【题型 11··运用根与系数的关系求参数的值】 20 【题型 1··可化为x²=p型的方程】 1．方程的根是_____． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程的方法：直接利用开平法求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，通过移项、系数化为1后开平方即可求出方程的根． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得 故选：C． 4．方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 【题型 2··可化为(mx+n)2=p 型的方程】 5．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 6．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 7．若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 8．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可； （2）先表示出，再根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 开平方，得， ∴，或， 解得，或； （2）解：∵， 移项，得， 两边都除以25，得， 开平方，得， ∴，或， 解得，或． 【题型 3·配方】 9．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可求解． 【详解】解：∵ 移项得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 整理得：． 10．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤将方程整理为的形式，对比即可得到，的值． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ， 对比，可得，， 故选：D． 11．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 【题型 4·用配方法解方程】 12．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解： ， ， ， ， ，． 13．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 14．解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 15．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是先将二次项系数化为，然后移项、配方，最后求解． 【详解】解：原方程为， 两边同除以得， 移项，得， 配方，两边加上，得， 即， 开平方，得， 解得； 所以原方程的根为：，． 16．用配方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】把方程左边的常数项移到右边，方程两边同时加上1进行配方，然后直接开平方，进行解答即可. 移项，得，二次项系数化为1，得，再配方，利用直接开方法解即可. 移项，得    ，二次项系数化为1，得    ，再配方，利用直接开方法解即可. 【详解】解：解：（1）移项，得， 配方，得， 解得． （2）整理，得， 配方，得， 即， 解得． （3）整理，得， 配方，得， 即， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤，属于中考常考题型. 【题型 5·配方法的应用】 17．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 18．二次三项式的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方的方法求二次三项式的最值问题，属于常考题型，熟练掌握配方的方法和非负数的性质是解题关键． 先把配方成的形式，然后根据非负数的性质解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 19．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 【题型 6·判断根的情况】 20．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据判别式与0的大小关系判断根的情况，一元二次方程中，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 21．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 22．关于的一元二次方程的根的情况，下面说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的标准形式，非负数的性质，将原方程转化为标准形式是解题关键． 将方程化为标准形式，计算判别式，根据的正负判断根的情况． 【详解】解：∵方程可化为， ∴，，， ∴， ∵，∴， ∴，方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【题型 7·求参数的值或取值范围】 23．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式的性质求解，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，代入方程系数即可计算出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 24．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 25．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 26．规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c，其中等式右边是通常的乘法和加法运算．如【2，3】★1．若关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 先根据新定义运算将方程化为一般形式，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件（判别式大于零且二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵ 【a，b】★， ∴【x，】★ ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴   且， 即 ，解得 m < ， ∴且， 故选：D． 【题型 8··用公式法解方程】 27．解是的一元二次方程是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式进行作答即可． 【详解】解：A、因为，所以，故不符合题意； B、因为，所以，故不符合题意； C、因为，所以，故不符合题意； D、因为，所以，故符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，难度较小，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 28．用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴Δ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 29．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 30．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 【题型 9··用因式分解法解方程】 31．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 32．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 提取公因式得：， 即， ∴或， 解得，． 故选：D． 33．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解：， ， 或， 解得，. 34．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，把右侧整体移到左边，提取公因式，利用因式分解法求解一元二次方程． （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解:， ， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得:,． （2）解：， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得：，． 【题型 10·运用根与系数的关系计算】 35．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 36．已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解： 一元二次方程中，，，， ，， ∴． 37．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 【题型 11··运用根与系数的关系求参数的值】 38．若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 39．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 40．关于x的一元二次方程 有一个根是，则它的另一个根和k的值分别是（    ） A．2； B．1； C．； D．2；1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．利用已知根求另一个根和参数即可． 【详解】解：设另一个根为r， ∵方程的一个根为， ∴根据根与系数的关系可得：， 解得：， 两根之和为： 把代入得：，即． 故选：D． 41．若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴； 故选C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 解一元二次方程（专题训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型 1··可化为x²=p型的方程】 1 【题型 2··可化为(mx+n)2=p 型的方程】 2 【题型 3·配方】 2 【题型 4·用配方法解方程】 2 【题型 5·配方法的应用】 3 【题型 6·判断根的情况】 4 【题型 7·求参数的值或取值范围】 5 【题型 8··用公式法解方程】 5 【题型 9··用因式分解法解方程】 6 【题型 10·运用根与系数的关系计算】 6 【题型 11··运用根与系数的关系求参数的值】 7 【题型 1··可化为x²=p型的方程】 1．方程的根是_____． 2．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 3．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 4．方程的解是______． 【题型 2··可化为(mx+n)2=p 型的方程】 5．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 7．若，该方程的解为______． 8．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【题型 3·配方】 9．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（     ） A． B． C． D． 10．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 11．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【题型 4·用配方法解方程】 12．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 13．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 14．解方程：． 15．用配方法解方程：． 16．用配方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【题型 5·配方法的应用】 17．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 18．二次三项式的最小值是_____． 19．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【题型 6·判断根的情况】 20．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 21．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 22．关于的一元二次方程的根的情况，下面说法最恰当的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【题型 7·求参数的值或取值范围】 23．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 24．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 25．关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 26．规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c，其中等式右边是通常的乘法和加法运算．如【2，3】★1．若关于x的方程【x，】★有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【题型 8··用公式法解方程】 27．解是的一元二次方程是（    ） A．B．C． D． 28．用公式法解方程时，Δ＝（　　） A． B． C． D． 29．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 30．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【题型 9··用因式分解法解方程】 31．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 32．一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 33．解方程： (1)； (2) 34．解方程： (1)； (2)． 【题型 10·运用根与系数的关系计算】 35．已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 36．已知一元二次方程有两个实数根为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 37．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【题型 11··运用根与系数的关系求参数的值】 38．若一元二次方程的两根分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 39．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 40．关于x的一元二次方程 有一个根是，则它的另一个根和k的值分别是（    ） A．2； B．1； C．； D．2；1 41．若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D．2027 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $