专题4 图形的性质 第08讲 正方形--2026年中考数学一轮复习

第08讲 正方形 一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则它们之间的关系用图形来表示正确的是(    ) A. B. C. D. 2.在四边形中，是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(    ) A. ， ， B. ， C. ， D. ，， 3.“方胜”是中国古代妇女的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点，分别在边，上，且若平分，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点，下列条件能判断四边形是正方形的是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6.如图，将线段绕它的中点逆时针旋转得到线段，，的对应点分别是点，，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是(    ) A. B. 对于任意，四边形都是矩形 C. D. 当时，四边形是正方形 7.如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在边长为的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形中，，延长至，使连接平分交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形中，点是上一动点不与，重合，对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是，则四边形的周长是(    ) A. B. C. D. 11.如图，正方形的顶点，分别在正方形的边，上，，，连接并延长，交边于点，连接，则的长为    ． A. B. C. D. 12.完全相同的个正方形面积之和是，则正方形的边长是(    ) A. B. C. D. 13.如图，在边长为的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点若，则的长度为  (    ) A. B. C. D. 14.如图，，其中，，，为中点，过点，交、于点、，连接、，则下列结论错误的是(    ) A. 四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 四边形不可能为正方形 二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。 15.如图，四边形是正方形，是上一点，：：，，则：        ． 16.九章算术中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是_______步． 17.如图，在矩形中，对角线，相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件          ，使矩形是正方形． 18.如图，四边形中，对角线，相交于点，，，平分欲使四边形是正方形，则还需添加添加______写出一个合适的条件即可 19.如图，在四边形中，，，连接、，若平分，，，则        ． 20.如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为          ． 21.如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是，黄色的面积是，绿色的面积是，则正方形盒子的面积为______． 22.如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足已知，则的值为          ． 23.如图，矩形中，，，点为上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 24.本小题分 如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． 在图中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上画出一个即可 在图中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上． 25.本小题分 如图，正方形中，点，分别在，上，且． 求证：四边形是平行四边形； 连接，若，，求的长． 26.本小题分 在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点、处是它的两个门，且，要修建两条直路、，与相交于点两个门、的大小忽略不计． 请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； 同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 27.本小题分 如图，在▱中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 28.本小题分 如图，在正方形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图请保留作图痕迹，不写作法 在图中，作出边的中点； 在图中，作出一个面积等于正方形面积的一半的正方形． 29.本小题分 如图，点为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接． 求证：； 若，，写出四条与相等的线段． 30.本小题分 如图，在中，的平分线交于点，，． 试判断四边形的形状，并说明理由； 若，且，求四边形的面积． 31.本小题分 已知：如图，在矩形中，点、分别在边、上，且，延长、分别交、延长线于点、． 求证： 联结、，如果，求证：四边形是正方形． 答案和解析 1.【答案】  【解析】矩形、菱形、正方形均属于特殊的平行四边形，即，，在中，正方形属于特殊的矩形，也属于特殊的菱形，应是的一部分，也是的一部分，它们之间的关系正确的为选项故选B． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：四边形为边长为的正方形， ， 由平移的性质可知，， ， 故选：． 根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可． 本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在边长为的正方形中，点是的中点，如图，过作于，延长交于， ， ，，，， 四边形，是矩形，∽， 为的中点， ，， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∽， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ， 故选：． 如图，过作于，延长交于，证明四边形，是矩形，∽，求解，可得，求解，，，证明，设，则，进一步利用勾股定理可得答案． 本题考查的是正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加合适的辅助线是解答本题的关键． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：由旋转的性质得， 四边形是矩形， ， 不清楚旋转角度，故不能证明， 时，， 四边形是正方形， 故选项A，，不符合题意，选项C符合题意， 故选：． 根据旋转的性质得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，推出四边形是正方形，于是得到结论． 本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握各定理是解题的关键． 7.【答案】  【解析】快招解题法 本题可利用“一线三直角”相似模型快速找到解题突破点：为的中点，，．，，又，∽，，即，，故选C． 8.【答案】  【解析】解：过点作交于点，交于点，过点作于点，交于点，如图所示：   四边形是正方形，且边长为， ，，， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 在和中， ≌， ，， ，， ， 又， ∽， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 由三角形的面积公式得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 故选：． 过点作交于点，交于点，过点作于点，交于点，先求出，证明和全等得，，证明和相似得，，则，，，，再证明四边形是矩形得，由三角形的面积公式得，则，再由勾股定理求出，则，最后在中，由勾股定理即可求出的长． 此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 9.【答案】  【解析】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，作，构造正方形，设，易证，由此列出比例式可求解的值，然后在中，利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：过点作于点，作于点，如图所示．   四边形为正方形，， ， ， 四边形为矩形． 平分， ． 四边形为正方形． ， 设，则 ， ， ， ， ， ，即， 解得： 在中，由勾股定理得， 故选：． 10.【答案】  【解析】本题考查出正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的周长，先根据四边形的性质得，，，进而得和是等腰直角三角形，，，即可计算四边形的周长． 【详解】解：方形的边长是， ，，， 又，， 和是等腰直角三角形， ，， 四边形的周长， ， ， ． 故选：． 11.【答案】  【解析】【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理． 【解析】四边形为正方形，， ，． 四边形为正方形，， ，， ，A. ， ∽， ，即， ， ． 在中，． 故选D． 12.【答案】  13.【答案】  【解析】四边形是正方形，，在和中，平分，在和中，四边形是边长为的正方形，，，设，则，在中，根据勾股定理，得，即，解得故选D． 14.【答案】  【解析】证明，得到，由此判断选项；利用勾股定理的逆定理判断选项；利用直角三角形斜边中线的性质定理得到，由此判断选项；利用判断选项． 【详解】证明：， ， ， 为中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形，故 A选项正确； ，，， ， ， ，， ， 不是直角，故四边形不为矩形，故 B选项错误； 当时，则， ， ， ， 四边形为菱形，故 C选项正确； ，，， ， 四边形不可能为正方形，故 D选项正确； 故选：． 15.【答案】：  【解析】解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ∽， ：：， ， ， ：：， 故答案为：：． 由正方形的性质得，，而，则，所以，则∽，由：：，得，则，即：：，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由题意可知，步，步，步，  ，  ，  又，  ∽，  ，  ，  步，  故答案为：． 17.【答案】答案不唯一  18.【答案】或  【解析】解：， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形为平行四边形， 平分 ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 当或，四边形为正方形， 故答案为：或． 先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，根据正方形的判定，即可解答． 本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： 先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； 先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 19.【答案】  【解析】解：将顺时针旋转到，连接，如图， 则是等腰直角三角形，且，， ，且平分， ， ， ，，，均在同一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， 又， ， 设，则， 在中，， ， 解得，， ， 故答案为：． 将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可． 此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 20.【答案】  21.【答案】  【解析】解：如图，将黄色部分向左平移， 黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积， 原来的红黄绿是三块一样大的正方形，整个盒子也为正方形， 平移后，黄色部分与绿色部分面积相等， 平移前，露在外面的黄色的面积是，露在外面的绿色的面积是， 平移后露在外面的黄色部分与露在外面的绿色部分面积为：， 设大正方形边长为，红色部分边长为， 则平移后露在外面的黄色部分和露在外面的绿色部分的长为，宽为， ，， ， ， ，即大正方形面积为． 故答案为． 22.【答案】  23.【答案】或  【解析】【分析】 此题考查矩形的性质、轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，掌握轴对称的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键； 分两种情况：，，进一步分析探讨得出答案即可． 【解答】 解：当，时，、、三点共线，如图， 与关于直线对称， ≌， ，，， ，， ， 即， 设，则，， ， ， 解得：， ； 当时，如图， 与关于直线对称， ≌， ，，， 四边形为正方形， ． 综上所知，或， 故答案为或． 24.【答案】解：如图中，四边形即为所求答案不唯一； 如图中，四边形即为所求．   【解析】本题考查了尺规作图与一般作图，无理数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可； 根据正方形的定义画出图形即可． 25.【答案】解：证明：在正方形中，，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 过点作于点，如图所示： ， 四边形是正方形，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：．  【解析】根据正方形的性质得，，再根据得，由此根据平行四边形的判定即可得出结论； 过点作于点，证明四边形是矩形得，，进而得，再根据得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握平行四边形的判定，勾股定理是解决问题的关键． 26.【答案】解：两条路等长且互相垂直，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌ ，， ， ， 在中，， ， 道路与等长，且它们相互垂直； 能建成一条这样的直路，且点在边界上，理由如下： 米，米， 米， 在直角三角形中，由勾股定理得：米， 由得：米，且， 由三角形的面积公式得：， 米， 米， 根据“垂线段最短”得：点到路段的最短距离为米， 路段上不存在点到点的距离等于米， 点不在路段上， 设点在边界上时， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 点符合题意， 即能建成一条这样的直路．  【解析】根据正方形性质得，，根据得，进而可依据“”判定和全等，则，，由此可证明，据此可得出这两条道路与等长，且相互垂直； 先由勾股定理求出米，由得米，，再由三角形的面积公式米，则米，根据“垂线段最短”得点到路段的最短距离为米，因此路段上不存在点，设点在边界上时，由勾股定理得，则，然后根据即可得出答案． 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 27.【答案】证明：，，，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形． ， 矩形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形．  【解析】解题思路：已知一组邻边相等，由一组邻边相等的矩形是正方形，只需证明四边形是矩形由题意，知，，只需再找一个角等于即可． 28.【答案】如图所示点为所求：   如图所示，正方形为所求．   【解析】如图所示点为所求： 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 在正方形中，，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 点为边的中点； 如图所示，正方形为所求： 由知四边形是矩形，是的中位线， ，，， ，即， 在和中， ， ≌， ， 所在直线垂直平分， ， 所在直线垂直平分，所在直线垂直平分， ，所在直线是正方形的对称轴， 四边形，四边形都是正方形，四边形，四边形，且边长都相等， ，， ， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，则，正方形的面积为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积等于正方形面积一半． 连接，交于点，连接并延长交于点即可； 在的基础上，连接，交于点，作直线分别交，于点，点，依次连接，，，即可． 本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质以及判定等知识，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质，线段垂直平分线的性质以及判定是解题的关键． 29.【答案】【小题】 证明：设交于，如图： 四边形是正方形， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ， ， ， ， ； 【小题】 解：将绕点按顺时针方向旋转， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 如图，过点作于， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， ， ．   【解析】  设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而证明；   由旋转的性质可得，由正方形的判定可证四边形是正方形，过点作于，由等腰三角形的性质可得，证明，可得，由旋转的性质可得，从而可得，即可解答． 30.【答案】解：四边形是菱形，理由是： ，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； ， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为．  【解析】根据，判定四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，即可证明； 根据得到菱形是正方形，根据对角线求出边长，再根据面积公式计算即可． 本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法． 31.【答案】【小题】 证明：矩形， ，，， ． ． ． ． 【小题】 ． ，， ， ． 即． 又， ， 矩形，． 四边形是正方形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $