精品解析：四川射洪中学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

射洪中学高2023级高三下期入学考试 数学试题 考试时间：分钟 试卷满分：分 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共小题共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则求出，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由，则， 则在复平面内对应点的坐标为. 故选：D 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，结合补集的定义可得结果. 【详解】因为， 且全集，故. 故选：D. 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B. 乙机床数据比甲机床数据更稳定 C. 甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D. 甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，由极差、方差、平均数、众数的概念即可判断. 【详解】对于A：甲机床数据的极差为，乙机床数据的极差为， 所以甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差，故A正确； 对于B：乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床数据比甲机床数据更稳定，故B正确； 对于C：甲机床数据的平均数为， 乙机床数据的平均数为， 故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数，故C错误； 对于D：甲机床数据从小到大排列为：，，，，，， ，，，，故中位数为， 乙机床数据从小到大排列为：，，，，，， ，，，，故中位数为，故D正确. 故选：C 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 7. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 当且仅当，即，也即时取等号. 故选：B. 8. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，当时，，利用导数求得时，有最小值， 由，求a的取值范围. 【详解】由题意，令，得， 已知，当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 故当时，有最小值，而， 由此可知当时，，当时，， 若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知， 的最小值， 又，所以，，所以，所以， 即a的取值范围是． 故选：B. 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二､多选题：（本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 设等差数列的前n项的和为，若，，则（    ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 数列是递减数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， A，，A错误； B，，的零点个数为3，B正确； C，当时，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 由奇函数的性质得在时，取得极大值， 因此的极值点个数为2，C错误； D，在坐标平面内作出函数的图象，如图： 观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 直线是的图象的一条对称轴 C. 在区间上单调 D. 在区间上有6个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：将原函数化为正弦型函数后，利用平移定义即可得；对B、C：结合正弦函数性质，借助整体代入法计算即可得；对D：画出函数与在上的图象后即可得. 【详解】； 对A：将的图象向右平移个单位长度可得： ，故A正确； 对B：时，， 由直线是函数的一条对称轴， 故直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对C：时，， 由函数在上不单调， 故在区间上不单调，故C错误； 对D：令，即， 则的零点个数即为与交点个数， 作出与在上图象如下图： 由图可得，两函数图象在上共有6个零点， 即在区间上有6个零点，故D正确. 三、填空题（本题共小题，每小题分，共分） 12. 正项等比数列的前项和为，已知，则公比_________________． 【答案】3 【解析】 【分析】当时可求得不合题意，可知；将已知等式化为和的形式，结合可解方程求得结果. 【详解】当时，，解得：，不合题意 ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等比数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题. 13. 直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解. 【详解】 依题意，圆心为，半径为； 因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为； 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，找到球心到平面和平面的射影为和的中心,，再通过面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理得到，再利用勾股定理求出相关长度，找到截面圆的最值情况，代入计算即可得到答案. 【详解】连接,由, 可知：和是等边三角形, 设三棱锥外接球的球心为, 所以球心到平面和平面的射影是和的中心,， 是等边三角形,为中点,所以, 又因为侧面底面,侧面底面，侧面， 所以底面,而底面,因此, 所以是矩形,应为和是边长为4的等边三角形, 所以两个等边三角形的高, 在矩形中,， 连接,所以, 设过点的平面为,当时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形, 可得, 因此圆的半径为, 所以此时面积为,当点在以为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大, 面积为:,所以截面的面积范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，结合辅助角公式即可求解； （2）由（1）知，结合，求出，利用三角形面积公式及正弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，,故，即，解得， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以，， 即，， 所以，所以或， 又， 所以，，或， 所以的面积. 16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关联 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 17. 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用抛物线方程可求出，再由短轴长可求出，进而求得的值，可写出椭圆的方程； (2)将直线分三种情况讨论：斜率不存在时，斜率为时和斜率存在且不为时，再利用是以为底边的等腰直角三角形进行求解即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意； 当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意； 当直线的斜率存在且不为时，设：， 由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 18. 如图，直角梯形，，，，为中点，将沿折起，使D到P处． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，， （ⅰ）当时，求证：平面平面； （ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据中位线证得，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由题设证得，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由，得． （ⅰ）利用向量数量积证得，进而根据线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （ⅱ）求平面与平面的法向量，由题意求得二面角的余弦值，利用向量方法列式计算即得. 【小问1详解】 连接交于点，连接，由题意四边形是矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以在中，有， 因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由，，得，则， 又平面平面，平面平面，平面， 面，面，则， 在矩形中，有， 以为原点，以方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，，， 所以，，， 由，． （ⅰ）当时，，， ，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面，则平面平面． （ⅱ）取平面的法向量，设平面的法向量为， 则，令，则， 因为二面角的正弦值为，则余弦值为， ， 化简得：，解得或． 19. 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 （1）求函数在上的值域； （2）已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得， 要证，需证，又在上单调递增， 故只需证，又， 所以只需证，即证， 即证， 令，则， 不等式等价于， ， 只需证， 即证， 令， 求导得 令， 求导得 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立， 故. （ii）整数的最小值为1 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数可得函数的单调性，进而可求得值域； （2）（i）要证不等式成立，需证，令，需证，构造函数，利用导数证明即可； （ii）不等式等价于，令，可得，构造函数，利用导数，可得整数的最小值. 【小问1详解】 由，可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以，又， 所以函数在上的值域为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）不等式恒成立， 等价于，又， 所以等价于， 令，则等价于， 即， 即等价于， 所以等价于， 令，求导得 ， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级高三下期入学考试 数学试题 考试时间：分钟 试卷满分：分 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：（本题共小题共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B. 乙机床数据比甲机床数据更稳定 C. 甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D. 甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分） 9. 设等差数列的前n项的和为，若，，则（    ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 数列是递减数列 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B. 直线是的图象的一条对称轴 C. 在区间上单调 D. 在区间上有6个零点 三、填空题（本题共小题，每小题分，共分） 12. 正项等比数列的前项和为，已知，则公比_________________． 13. 直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________． 14. 已知三棱锥中，Q为BC中点，，侧面底面，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为_______________． 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17. 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 18. 如图，直角梯形，，，，为中点，将沿折起，使D到P处． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，， （ⅰ）当时，求证：平面平面； （ⅱ）当二面角的正弦值为时，求的值． 19. 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 （1）求函数在上的值域； （2）已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $