专题02平行线中的拐点模型 猪蹄模型和锯齿模型 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

专题02平行线中的拐点模型 猪蹄模型和锯齿模型 平行线拐点之猪蹄模型 模型概述 已知AB∥CD, 点P在AB, CD之间 已知点P在AB, CD之间, 且∠BPC=| ∠B+∠C 图示 模型结论 ∠BPC=∠B+∠C大角等于小角和. AB∥CD 证明 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1=∠B, ∵ AB ∥CD, ∴PQ∥CD, ∴∠2=∠C, ∴∠1+∠2=∠B+∠C, 又∵∠BPC=∠1+∠2, ∴∠BPC=∠B+∠C 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1=∠B, ∵∠BPC=∠1+∠2,且∠BPC=∠B+∠C, ∴∠2=∠C, ∴PQ∥CD, ∴AB∥CD 名师点拨 将猪蹄模型中的两条平行线延长，如图所示，可以得到铅笔头模型，两个模型之间具有相互依存的关系. 模型拓展 模型概述 已知AB∥CD,点P在AB,CD之间, 若BQ平分∠ABP, CQ平分∠DCP 已知AB∥CD, 点P在AB, CD之间, 若 ∠ABQ= ∠ABP,∠DCQ= ∠DCP 图示 模型结论 ∠Q= ∠P ∠Q= ∠P 平行线拐点之锯齿模型 模型概述 AB∥CD 图示 【模型特点】左右交替拐，即交替出现开口向左和开口向右的角. 模型结论 ∠E₁+∠E₂+…+∠Eₙ=∠B+∠F₁+∠F₂+…+∠F+∠D 开口向右的所有角的度数之和等于开口向左的所有角的度数之和，简记为“左角之和=右角之和”. 思路探寻 当n=2时，如图所示，过点F₁作AB的平行线l₁， 可将锯齿模型分成上、下两个猪蹄模型， 在上猪蹄模型中, ∠B+∠1=∠E₁, 在下猪蹄模型中,∠D+∠2=∠E₂, 将两式相加，得 ∠B+∠1+∠D+∠2=∠B+∠E₁F₁E₂+∠D=∠E₁+∠E₂, 同理可得上述结论 1．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，推出，得到，据此即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．如图，，，则，和的数量关系是___________．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过点C，D作，可得，根据平行线的性质可得，从而得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ， 由①-②得：， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，，，，则________°． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过的顶点作，则，由平行线的性质得到，，进而得到，再结合已知条件即可求出答案． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 1．如图，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，则∠AED的度数为( ) A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【分析】过点E作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可推导，再根据∠B+∠C=180°，借助平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可判断，故有，可知，然后由计算∠AED的度数即可． 【详解】解：如下图，过点E作， 则， ∵∠B+∠C=180°， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 2．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝25°，则∠1的度数为___． 【答案】65° 【分析】过直角顶点作直尺长边的平行线，根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到∠1的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直尺长边的平行线，如右图所示， 则∠2=∠3，∠1=∠4， ∵∠2=25°， ∴∠3=25°， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠4=65°， ∴∠1=65°， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 3．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 4．已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 5．如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 6．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解； （2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解； （3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． （2），理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理，过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）如图，延长交于点， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 7．阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②结论： 【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可； （2）①利用基本结论求解即可； ②利用基本结论，，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ， ， ， , ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：①如图2中，由题意，， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ②结论：． 理由：如图3中，由题意，，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 8．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算； （2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 【详解】（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 9．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)；理由见详解 【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故； （2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：，利用三角形内角和是180°，可得． 【详解】（1） 解：如图：过点作， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点作， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵∠AGM＝∠HGQ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用． 10．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图1，分别过点，作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：如图1，分别过点，作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （3）解：如图2，过点作， 由（2）知，， 设，则， 平分，平分， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 11．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β (3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+ 【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用． 12．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系； (3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED （2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED； （3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数． 【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED 理由如下： 作EF∥AB，如图1 ∵AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE ∴∠BAE+∠CDE=∠AED （2）如图2，由（1）的结论得 ∠AFD=∠BAF+∠CDF ∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F ∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE ∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE） ∵∠BAE+∠CDE=∠AED ∴∠AFD=∠AED （3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG 而射线DC沿DE翻折交AF于点G ∴∠CDG=4∠CDF ∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE ∵90°-∠AGD=180°-2∠AED ∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED ∴∠BAE=60° 【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 13．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论： （1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　 　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果； （2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由； （3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系？ 【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由见解析；（3）∠EPF+22022•∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F 【分析】（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题； （2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，根据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°； （3）分两种情况讨论，根据（1）中的解题方法得∠Q1＝ （∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论． 【详解】解：（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB， ∵AB//CD， ∴AB//CD//PM，AB//CD//QN， ∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN， ∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝×110°＝55°； 猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下： ∵AB//CD， ∴AB//CD//PM，AB//CD//QN， ∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN， ∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF， 即∠EPF＝2∠EQF； 故答案为：55°； （2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下： 如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB， ∵AB//CD， ∴AB//CD//PM，AB//CD//QN， ∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN， ∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF， ∴2∠EQF+∠EPF＝360°； （3）当点P在EF的左侧， 根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF， ∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF， … 则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF， ∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF， ∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°． 当点P在EF的右侧，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF． 综上，∠EPF+22022•∠EQ2021F＝360°或∠EPF＝22022∠EQ2021F． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．已知AB//CD． （1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D； （2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F． ①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数． ②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2）55°；（3） 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可； （2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数； ②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图1，过点作， 则有， ， ， ， ； （2）①如图2，过点作， 有． ， ． ． ． 即， 平分，平分， ，， ． 答：的度数为； ②如图3，过点作， 有． ， ， ． ． ． 即， 平分，平分， ，， ． 答：的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 15．如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明； （3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）画图见解析，，证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据平行线的传递性推出，再利用平行线的性质进行求解； （2）猜测，根据平分，推导出，再根据、平分，通过等量代换求解； （3）分两种情况进行讨论，即当与，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解． 【详解】（1）过点作， ， ， ， ． （2）根据题意，补全图形如下： 猜测， 由（1）可知：， 平分， ， ， ， ， 又平分， ， ， ． （3）①如图1， ， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又平分， ， ； ②如图2， ，（同①）； 若， 则有， 又， ， ， ， 综上所述：或， 故答案是：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解． 16．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 17．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【分析】（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案； （2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点在延长线时；当在之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】解：（1）作PQ∥EF，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴； （2）①； 理由如下：如图， 过作交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在延长线时，如备用图1： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPC=，∠EPD=， ∴； 当在之间时，如备用图2： ∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系． 18．如图1，点、分别在直线、上，，. （1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明） （2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可； （2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论； （3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可． 【详解】解：（1）如图1，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （3）当在直线下方时，如图，设射线交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 即， 解得：． 当在直线上方时，如图，同理可证得， 则有， 解得：． 综上，故答案为或． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行线中的拐点模型 猪蹄模型和锯齿模型 平行线拐点之猪蹄模型 模型概述 已知AB∥CD, 点P在AB, CD之间 已知点P在AB, CD之间, 且∠BPC=| ∠B+∠C 图示 模型结论 ∠BPC=∠B+∠C大角等于小角和. AB∥CD 证明 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1=∠B, ∵ AB ∥CD, ∴PQ∥CD, ∴∠2=∠C, ∴∠1+∠2=∠B+∠C, 又∵∠BPC=∠1+∠2, ∴∠BPC=∠B+∠C 如图, 过点P作直线PQ∥AB. ∴∠1=∠B, ∵∠BPC=∠1+∠2,且∠BPC=∠B+∠C, ∴∠2=∠C, ∴PQ∥CD, ∴AB∥CD 名师点拨 将猪蹄模型中的两条平行线延长，如图所示，可以得到铅笔头模型，两个模型之间具有相互依存的关系. 模型拓展 模型概述 已知AB∥CD,点P在AB,CD之间, 若BQ平分∠ABP, CQ平分∠DCP 已知AB∥CD, 点P在AB, CD之间, 若 ∠ABQ= ∠ABP,∠DCQ= ∠DCP 图示 模型结论 ∠Q= ∠P ∠Q= ∠P 平行线拐点之锯齿模型 模型概述 AB∥CD 图示 【模型特点】左右交替拐，即交替出现开口向左和开口向右的角. 模型结论 ∠E₁+∠E₂+…+∠Eₙ=∠B+∠F₁+∠F₂+…+∠F+∠D 开口向右的所有角的度数之和等于开口向左的所有角的度数之和，简记为“左角之和=右角之和”. 思路探寻 当n=2时，如图所示，过点F₁作AB的平行线l₁， 可将锯齿模型分成上、下两个猪蹄模型， 在上猪蹄模型中, ∠B+∠1=∠E₁, 在下猪蹄模型中,∠D+∠2=∠E₂, 将两式相加，得 ∠B+∠1+∠D+∠2=∠B+∠E₁F₁E₂+∠D=∠E₁+∠E₂, 同理可得上述结论 1．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 2．将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为_________． 3．如图，，，则，和的数量关系是___________．    4．如图，，，，则________°． 1．如图，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，则∠AED的度数为( ) A．70° B．80° C．90° D．100° 2．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝25°，则∠1的度数为___． 3．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 4．已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 5．如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 6．（1）如图1，，，，直接写出的度数． （2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由． （3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数． 7．阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1， ，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点． (1)求证：； (2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题． ①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　． ②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　． 8．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 9．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间． (1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM； (2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由． 10．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； (1)若∠E＝60°，则∠F＝ ； (2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； (3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 11．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． (1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 12．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系； (3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 13．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论： （1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　 　；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果； （2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由； （3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQ2021F满足怎样的数量关系？ 14．已知AB//CD． （1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D； （2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F． ①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数． ②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示） 15．如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明； （3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）． 16．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 17．综合与探究 【问题情境】 王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动 （1）如图1，，点、分别为直线、上的一点，点为平行线间一点，请直接写出、和之间的数量关系； 　　　 　　　 　　　 【问题迁移】 （2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交、于点、，直线分别交、于点、，点在射线上运动， ①当点在、（不与、重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由． ②若点不在线段上运动时（点与点、、三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出，，之间的数量关系． 18．如图1，点、分别在直线、上，，. （1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明） （2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $