微专题01 平行线间拐点5大模型（模型图示+证明+结论+巩固练习）重难点压轴题培优讲义2025-2026学年人教版七年级数学下学期

微专题01 平行线间拐点5大模型 模型1：猪蹄模型（M型） 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由内错角相等得、； 模型的结论 基础结论：（逆用：若，则）； 拓展结论（个拐点）： 【例题1】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得 ，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得 ， ， ． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，平行公理的推论，解决问题的关键是正确的作出辅助线． （1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； （3）过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图1，点在直线上，点在直线上，过点作，点在与之间，连接． (1)若． ①求证：； ②如图2，若，，与交于点，，求的度数． (2)如图3，延长交于点，作的平分线，交于点，作的平分线，交于点，过点作，交于点．若，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂线段最短，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则，所以，，又，则，所以，从而求证； 由①，知，所以，，则，，又，，所以，同知，从而求解； （）由平分，则设，，因为，所以，又，所以，由，得，即：，所以，根据平分，得，最后根据“垂线段最短”即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ， ， ，， ， 又， ， ， 即； ②由①，知， ，， ，， ， ，， 同①，知， ； （2），理由如下： 平分， 设，， ， ， ， ， ， ，即：， ， 平分， ， 根据“垂线段最短”， ． 模型2：铅笔头模型（凸型） 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由同旁内角互补得、； 模型的结论 基础结论：（逆用：若和为，则）； 拓展结论（个拐点）： 【例题2】.（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）①由（1）得，，然后结合，，求出，然后结合平角的定义求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴； ②由（1）得， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）设，，则，，，根据已知，结合四边形的内角和，列式解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，三角形内角和定理，四边形内角和，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 模型3：锯齿模型（多拐点交替型） 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，过作，，； 由内错角相等得、、； 模型的结论 基础结论（2个拐点）：； 拓展结论（个拐点）：奇数位拐点角之和偶数位拐点角之和 【例题3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，折线EOPF在直线AB，CD之间．求之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质，将角进行转化，从而找出之间的等量关系． 【详解】解：．理由如下： 如图，分别过点O，P作． ， ，， ，即． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等性质转化角是解题的关键． 【变式题3-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定，以及由特殊情况得到一般规律． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 模型4：牛角模型 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由同旁内角互补得，； 模型的结论 结论： 【例题4】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定．通过引入辅助线和利用平行线的判定，证明． 【详解】证明：连接： ， ， ， ， ， 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 【变式题4-3】.（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 模型5：羊角模型 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由内错角相等得，； 。 模型的结论 结论： 【例题5】.（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，即得，，由（）得，再根据已知得 ，即得到，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，可得，即得，，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解； 本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， 由（）知，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图③，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 【对应练习题】 1．如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 【答案】两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 利用两直线平行，内错角相等，平行公理推论即可． 【详解】证明：如图、过点作， （两直线平行，内错角相等 ）， ， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， 故答案为：两直线平行，内错角相等 ；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，两直线平行，内错角相等；． 2．如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 3．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 4．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 5．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． (1)过点作，根据平行线的性质可知求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知，根据平行线的性质可得，根据同位角相等，两直线平行可知； (3)当时，要分射线绕点旋转小于和大于两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ； （2）， 理由如下， 射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）如图所示，当射线绕点旋转小于时， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得：， 如图所示，当射线绕点旋转大于时， ，，，， ，， ，， ∴， 又， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 6．已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）直接根据平行线的判定和性质证明即可； （2）①过点作，可得，由，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可； ②如图，过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． （3）过点作，过点作．设，，同理可知，，进而可得，根据规律可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 平行线间拐点5大模型 模型1：猪蹄模型（M型） 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由内错角相等得、； 模型的结论 基础结论：（逆用：若，则）； 拓展结论（个拐点）： 【例题1】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·四川攀枝花·期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图1，已知 ，，，则 ； (2)如图2，已知，平分，平分，、所在直线交于点E，若，，求 的度数； (3)将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若，，请你求出的度数（用含α，β的式子表示）． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图1，点在直线上，点在直线上，过点作，点在与之间，连接． (1)若． ①求证：； ②如图2，若，，与交于点，，求的度数． (2)如图3，延长交于点，作的平分线，交于点，作的平分线，交于点，过点作，交于点．若，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 模型2：铅笔头模型（凸型） 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由同旁内角互补得、； 模型的结论 基础结论：（逆用：若和为，则）； 拓展结论（个拐点）： 【例题2】.（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图1，已知，E，F分别是，上的点，P为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)求证：． (2)如图2，在，内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧． ①若，，，求的度数， ②若，，请直接写出与之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【变式题2-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 模型3：锯齿模型（多拐点交替型） 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，过作，，； 由内错角相等得、、； 模型的结论 基础结论（2个拐点）：； 拓展结论（个拐点）：奇数位拐点角之和偶数位拐点角之和 【例题3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，折线EOPF在直线AB，CD之间．求之间满足的等量关系，并说明理由． 【变式题3-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【变式题3-3】.（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 综上，或． 模型4：牛角模型 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由同旁内角互补得，； 模型的结论 结论： 【例题4】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，求证：． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【变式题4-3】.（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 模型5：羊角模型 具体内容 模型图示 模型的证明 过作，，； 由内错角相等得，； 。 模型的结论 结论： 【例题5】.（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·吉林长春·期末）已知，点分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)如图③，是下方一点，连接、，平分，延长交于点，若，，直接写出的度数． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【对应练习题】 1．如图，已知，求证：，以下是小明不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：如图、过点作， （______）， ， （______）， ______（两直线平行，内错角相等）， ______． 2．如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 3．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 4．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 5．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 6．已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $