河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期开学数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A．23 B．100 C．150 D．232 7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 10．下列说法正确的是（    ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则为钝角 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D．若，且，则 11．已知函数则下列说法正确的是（   ） A．函数有3个零点 B．关于x的方程有个不同的解 C．对于实数，不等式恒成立 D．在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，，夹角__________. 13．函数的最小值为___________. 14．给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知集合， (1)求； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 17．（15分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 (1)请将表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、（），求. 18．（17分）已知函数 (1)计算，的值； (2)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (3)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求其对称中心. 19．（17分）已知函数. （1）证明函数为偶函数； （2）设函数，若函数在定义域上有且仅有一个零点，求实数的值； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期03月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B B B A D ABD ACD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．/ 13． 14． 15．(1)； (2). 【分析】（1）首先求出集合，再进行并集运算； （2）首先说明，通过分析及，可知在集合的左右侧端点的函数值大于0，解不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以=. （2）对于， 因为其对应的方程的判别式，所以. 又图象的对称轴为，且， 即只需的图象与轴的两个交点的横坐标均位于区间内， 如图， 所以只需，解得，即的取值范围是. 16．(1)36万元； (2)9万件，72万元； 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【详解】（1）设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； （2）当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 17．(1)填表见解析；； (2)； (3). 【分析】（1）利用图表得出和周期，求出和的值，即可求出解析式； （2）得出表达式，利用定义域，即可得出值域； （3）得出、之间的关系，利用二倍角公式即可求解. 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 由题意及表可知，， ， ∴，， ∴，解得， ∴. （2）由题可得， 当时，， ∴函数的值域为. （3）由题意，（1）及（2）得， 函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、（）， ∴，且，， ∴， ∴. 18．(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析， 【详解】（1）. （2）函数在上单调递减.证明如下： 由条件.任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点成中心对称图形. 19．（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用偶函数的定义即可证明结论； （2）求出函数的定义域，利用函数在定义域上有且仅有一个零点即可求出的值； （3）化简不等式，求出的单调性，即可求解实数的取值范围. 【详解】（1）由题意证明如下， 在中， ，解得或， ， ∴为偶函数. （2）由题意及（1）得，或， 在中， ，解得或， ∵函数在定义域上有且仅有一个零点， ∴即， ∵为偶函数， ∴，即， ∴，解得. （3）由题意，（1）及（2）得，或， 在中，， 即， 在中，在上单调递增， 不等式在上恒成立， 当时，，解得， ∴. $