指数函数、对数函数、幂函数增长的比较学习指导讲义-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

指数函数、对数函数、幂函数增长的比较学习指导讲义 1．指数函数、对数函数、幂函数的增长特点 (1)当时，指数函数在定义域上是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快，即当越大且随着的增大其图象在第一象限就越高上．(2)当时，对数函数在定义域上是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快,即当越小且随着的增大其图象在第一象限也越高上．(3)当时，幂函数在区间上也是增函数，并且当时,越大其函数值的增长就越快,即当越大且随着的增大其图象在第一象限同样越高上. 2．指数函数、对数函数、幂函数的增长比较 在区间上，尽管这三类函数， 和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上,幂函数和指数函数增长的快慢在初期可能会交替出现，而随着的增大,的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度,而的增长速度则会越来越慢，图象就将会渐渐与轴平行一样.从而可知,无论比大多大,尽管在增长初期存在一个区间内,可能会出现小于的情形，但由于的增长速度要快于的增长速度,因此总存在一个,当时，有恒成立，且随着的增大会使比的值大得越来越差距大；同样，对于对数函数和幂函数,尽管在增长初期存在一个区间内,可能会出现大于的情形，但由于的增长速度要慢于的增长速度,因此总存在一个,当时，有恒成立，且随着的增大会使比的值小得越来越差距大.也就是说，若，那么当足够大时，一定有成立，且随着的越来越大，它们三者各自的函数值的差距会越来越大.由于指数函数的函数值增长的速度非常快，因此人们常称这种现象为“指数爆炸”效应. 总而言之，指数函数增长模型适合于描述增长速度极快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于前面两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律. 3.指数函数、对数函数、幂函数的增长速度感悟 感悟1.当取区间上的值越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取分别代入四个函数中计算其函数值后会发现,和增长非常快，增长缓慢.但由于,而远远大于,从而知是增长速度最快的.故选C. 【点评】四个函数在上都是增函数,但随着在区间上的取值越来越大时,它们的增长速度由慢到快排列依次为,,,. 感悟2.当时,三个式子的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】比较三个函数值的大小，本题作为选择题，可以采用取特殊值代入法，不仅要注意取端点值和时三个函数值的大小，而且可取时直接验证三个函数值的大小关系，易得选项B正确. 【点评】本题主要考查三种递增函数增长的差异，通过研究指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，并在同一直角坐标系内作出它们的大致图象，可结合图形得出正确结论. 感悟3.以下四个说法中，正确的是( ) A.幂函数增长比直线型函数增长更快 B.对任意, C.对任意, D.不一定存在,使时,总有 【答案】D 【解析】对于选项A，当时,有,但当足够大时不成立；对于选项B和C,忽视了成立的条件和,但当和就不成立.考虑到由于,而可为任意实数，因而选项D是正确的. 【点评】在考虑指数函数、对数函数和幂函数的增长比较时，一定不要忽视参数的取值会对整体情况产生影响. 学科网（北京）股份有限公司 $