精品解析：广东茂名市高州市高州市第一中学附属实验中学2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2025-2026学年度第二学期开学考试 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数），分别验证四个选项的正确性即可得到答案． 【详解】解：A、是有理数，本选项不正确； B、是有理数，本选项不正确； C、是有理数，本选项不正确； D．是无理数，本选项正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握无理数的定义和二次根式的化简. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．它是轴对称图形，不是中心对称图形； B．它既是轴对称图形，也是中心对称图形； C．它不是轴对称图形，是中心对称图形； D．它是轴对称图形，不是中心对称图形． 3. 有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的运算，根据数轴可得，，再结合有理数的加法，减法，除法运算法则可得答案． 【详解】解：由图可知：，， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确； 故选：D． 4. 第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米秒，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：C． 5. 已知点A(a,4)与点B(－2，b)关于x轴对称，则a+b=( ) A. －6 B. 6 C. 2 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可. 【详解】解：因为点A(a，4)与点B(－2，b)关于x轴对称，所以，，所以. 故选A. 【点睛】本题考查了坐标系中求关于坐标轴的对称点，属于基础题型，掌握对称的规律和求解的方法是解题的关键. 6. 方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴m2-1≠0， ∴m≠±1， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 7. 为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数，根据中位数是将数据排序后，位于中间一位或两位的平均数，得到去除两头的数据，不会对中位数造成影响，判断即可． 【详解】解：由题意，表中数据一定不发生变化的是中位数； 故选C． 8. 如图，AB//CD，点E在CA的延长线上 若∠BAE =50°，则∠ACD的大小为（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补角的定义求出∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BAE=50°， ∴∠CAB=180°-50°=130°． ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD=130°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 9. 如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取点P，连接，，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点P，连接， 由圆周角定理得， ， 由圆内接四边形得性质可知：， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理与圆内接四边形的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题关键． 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若点，都在函数的图象上，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当时，在的范围内，函数值随的增大而增大，因为，所以． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， ． 故答案为：． 13. 如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由图可知，任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种， 则当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 14. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【解析】 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 先求出两个不等式的解集，再得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 故原不等式组的解集为． 18. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③， 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．某校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中发放如下所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查问卷 请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．机器人控制□ B．人工智能□ C．智能算法□ D．机械结构□ E．生活应用□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D，E三场讲座，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 A 10：00-11：30 C 14：30-16：00 设备检修暂停使用 【答案】（1）本次调查所抽取的学生人数是40人；见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据意向领域“A”的人数及其百分比求得总人数，用总人数减去其它领域的人数求出意向领域“D”的人数即可补全条形统计图； （2）分别求出意向领域“B”“D”“E”的人数，补全此次活动日程表即可． 【小问1详解】 解：本次调查所抽取的学生人数为（人）， 意向领域“D”的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：意向领域“B”的人数为（人）， 意向领域“D”的人数为（人）， 意向领域“E”的人数为（人）， ， B场次安排在2号多功能厅，D、E安排在1号多功能厅 补全此次活动日程表如图所示： “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 D A 10：00-11：30 C B 14：30-16：00 E 设备检修暂停使用 20. 五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． （1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ （2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】（1）A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元． （2）采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【解析】 【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可． （2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可． 【小问1详解】 设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元； 【小问2详解】 设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台， 由题意得：， 其正整数解为： 或或 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， ∵， ∴当时，利润最大， 答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键． 21. 综合与实践： 【主题】如何制作教室墙饰？ 素材1 学校将进行最美教室评比，九（1）班为了装饰教室，同学们打算制作一个创意墙饰．因地制宜，墙饰框架如图1所示，以两条线段，作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，制作骨架与一共用了彩色硬纸条，四边形（这部分是用来张贴学生照片的区域）的面积为． 素材2 为了让墙饰更美观，以上部分打算用彩纸剪出抛物线形状来装饰．如图2，经过距离A，B，D三点分别为，，的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．以下部分设计成，点H在OC延长线上且． 素材3 现在要从一张长方形彩纸中裁剪无拼接的部分来制作墙饰（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）． 问题解决 任务1 确定骨架长度 求骨架和的长度． 任务2 确定BD以上部分形状 求抛物线的函数表达式． 任务3 选择纸张大小 至少选择面积为多少的长方形彩纸？ 【答案】 任务1：，；任务2：；任务3：至少选择面积为的长方形彩纸． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1．设的长为，则的长为．列式，解出即可作答； 任务2．先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为，，的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答； 任务3．先由平行线分线段成比例，得出，代入数值进行计算，得出，，即可作答． 【详解】任务1．解：设的长为，则的长为． 由题意，得， 解得，． ∵， ∴； 任务2．解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离A，B，D三点分别为，，的E，F，G三点绘制抛物线， ∴， 设所求抛物线表达式为． 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是． 任务3．解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴所求长方形面积为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． （2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 证明：∵E 是   的中点， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）． 【解析】 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）证明，根据性质得，证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （）由折叠易知，，证明，然后分当时和时即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由折叠易知，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意， 综上所述，符合题意的． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 如图1，，为中点，点在上方，连接，． （1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； （2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ② 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期开学考试 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米秒，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点A(a,4)与点B(－2，b)关于x轴对称，则a+b=( ) A. －6 B. 6 C. 2 D. －2 6. 方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ）． A. B. C. D. 7. 为拓展学生的时政视野，锻炼学生的辩证思维能力与逻辑表达能力．某学校举办了“家国天下——时政达人秀”时事述评比赛．下面是根据9位评委的打分制作的表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.6 8.3 8.2 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 如图，AB//CD，点E在CA的延长线上 若∠BAE =50°，则∠ACD的大小为（ ） A. 120 B. 130 C. 140 D. 150 9. 如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：____________． 12. 若点，都在函数的图象上，则_______（填“”“”或“”）． 13. 如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是_____． 14. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 15. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 17. 解不等式组 18. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 2026年央视总台春晚使用大量智能机器人助力表演．某校计划开展“春晚机器人·科技向未来”主题日研学活动，聘请专家开设五个专题讲座： A．机器人控制；B．人工智能；C．智能算法；D．机械结构；E．生活应用． 为了解学生的研学意向，在随机抽取的部分学生中发放如下所示的调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． “春晚机器人·科技向未来”主题日学生研学意向调查问卷 请在下列选项中选择您的研学意向，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．机器人控制□ B．人工智能□ C．智能算法□ D．机械结构□ E．生活应用□ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的学生人数，并直接补全条形统计图； （2）学校有600名学生参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场讲座时间为90分钟．由下面的活动日程表可知，A和C两场讲座时间与场地已经确定．在确保听取讲座的每名同学都有座位的情况下，请你合理安排B，D，E三场讲座，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “春晚机器人·科技向未来”主题日活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8：00-9：30 A 10：00-11：30 C 14：30-16：00 设备检修暂停使用 20. 五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． （1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ （2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 21. 综合与实践： 【主题】如何制作教室墙饰？ 素材1 学校将进行最美教室评比，九（1）班为了装饰教室，同学们打算制作一个创意墙饰．因地制宜，墙饰框架如图1所示，以两条线段，作为骨架，垂直平分且，并按的比例固定骨架，制作骨架与一共用了彩色硬纸条，四边形（这部分是用来张贴学生照片的区域）的面积为． 素材2 为了让墙饰更美观，以上部分打算用彩纸剪出抛物线形状来装饰．如图2，经过距离A，B，D三点分别为，，的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）．以下部分设计成，点H在OC延长线上且． 素材3 现在要从一张长方形彩纸中裁剪无拼接的部分来制作墙饰（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）． 问题解决 任务1 确定骨架长度 求骨架和的长度． 任务2 确定BD以上部分形状 求抛物线的函数表达式． 任务3 选择纸张大小 至少选择面积为多少的长方形彩纸？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 课本再现 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 定义应用 （1）如图，已知：在四边形中，， 用矩形的定义求证：四边形是矩形． （2）如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，求证：四边形是矩形． 拓展延伸 （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若图中的四个三角形都相似，求的值． 23. 如图1，，为中点，点在上方，连接，． （1）尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； （2）如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $