精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年八年级下学期启新测评数学试卷

兰州市学府致远学校2025—2026学年度第二学期 八年级数学启新测评卷 （本试卷满分120分，时间120分钟） 一．选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 9的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在第四象限． 4. 如图，一轮船在海上往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，， ∴． 在中，． 故选：B． 5. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 6. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项． 令，则，解得，即函数与x轴的交点为； 令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 7. 某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元，列出方程组即可． 【详解】解：设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，由题意： ． 8. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（ ） A. 86 B. 85 C. 87 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】根据加权平均数为各项目数据与权重的积的和列式计算即可． 【详解】解：∵演讲内容得分80分，占比，演讲能力得分90分，占比． ∴综合成绩分，即A选项符合题意． 9. 如图，直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板等知识点，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键． 由平行线的性质可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴． 故选A． 10. 如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合表示弘义阁的点的坐标和表示本仁殿的点的坐标，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【详解】解：如图所示： 表示乾清门的点的坐标是， 故选：B ． 11. 物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B. 随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C. 丙物质的质量为 D. 丙物质的密度最大 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、甲物质的质量随着其体积的增加而增大，原说法错误； B、随着体积的增加，乙物质的质量的变化是“均匀”的，原说法错误； C、无法求出丙物质的质量，原说法错误； D、相同体积下，丙物质的质量最大，故丙物质的密度最大，原说法正确． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 13. 如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：方程组，即的解是． 14. “的3倍与2的差不大于”所对应的不等式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，的3倍与2的差即为，不大于，即小于等于，据此求解即可． 【详解】解；“的3倍与2的差不大于”所对应的不等式是， 故答案为；． 15. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设的长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 三．解答题（共11题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简求值，分母有理化，二次根式的加减运算． （1）先利用二次根式的性质进行化简求值，再进行二次根式的加减运算； （2）先利用二次根式的性质进行化简求值、完全平方公式运算，再进行二次根式的加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）用加减消元法消去，求出的值，再代入求出的值； （2）先将第一个方程整理成整式方程，再用代入消元法求解． 【小问1详解】 解： 由得：③， ②－③得： 解得： 把代入得：，即 解得： 方程组的解为； 【小问2详解】 解： 先对进行整理，两边同乘6得：， 展开得：，移项得：③， 由②得：④， 把④代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 方程组的解为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，画图即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知：，． 19. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行结合角平分线得到等腰三角形进行论证即可； （2）根据角平分线结合平行可得，进而得到，最后利用三角形内角和求解即可. 【小问1详解】 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 20. 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． （1）连接，求的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】（1）15米 （2）22800元 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故的长为15米． 【小问2详解】 解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 21. 如图所示，分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量与所用时间（天）之间的函数图象，根据图象回答： （1）乙车间开始生产时，甲车间已生产了_____； （2）甲车间每天生产_____，乙车间每天生产_____； （3）从乙车间开始生产到第_____天结束时，两车间生产的总产量相同； （4）第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是多少？ 【答案】（1）400 （2）10；30 （3）20 （4）甲、乙两车间的总产量分别是； 【解析】 【分析】（1）根据，其实际意义就是甲车间已生产的产量，求解即可； （2）根据每天生产的产量等于总产量除以总时间求解即可； （3）根据函数图象交点的意义，进行求解即可； （4）先利用待定系数法求出各自的解析式，计算时，各函数的函数值即可． 【小问1详解】 解：乙车间开始生产时，甲车间已生产了． 【小问2详解】 解：根据题意，得甲车间每天生产；乙车间每天生产． 【小问3详解】 解：根据题意，得第20天时，两车间生产的总产量相同． 【小问4详解】 解：设甲车间的产量与所用时间x之间的函数解析式为， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故， 当时，； 设乙车间的产量与所用时间x之间的函数解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ， 当时，． 所以第30天结束时，甲车间的总产量为，乙车间的总产量为． 22. 为加强全民禁毒意识，牢固树立禁毒防线，2025年开州区各中小学相继组织学生前往禁毒教育基地参观学习．为检验同学们的学习成果，某校特举办了禁毒知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：；；）． 下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 （1）填空：_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的禁毒知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次禁毒知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次禁毒知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 【答案】（1）83，85，30 （2）八年级的禁毒知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）440人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，求出八年级C组人数所占的比例，得到的值； （2）根据中位数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的数据中出现次数最多的是83，故； 八年级数据中A组数据有个，第5个和第6个数据分别为， 故； ，故； 【小问2详解】 解：八年级的禁毒知识竞赛成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但八年级的中位数比七年级大，故八年级的禁毒知识竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级参加此次禁毒知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是440人． 23. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． （1）求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； （2）已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】（1）1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 （2）租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【小问1详解】 解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． 【小问2详解】 解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． （1）求点的“短距”． （2）若点是“等距点”，求的值． 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：点到轴的距离为，到轴的距离为1，， ∴点的“短距”为1； 【小问2详解】 解：由题意，， 即：或， 解得或． 26. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于（1），①根据“同角的余角相等”得，再根据“角角边”可得答案； ②根据全等三角形的对应边相等得出，再根据得出答案； 对于（2），先根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），仿照上述过程解答即可． 【小问1详解】 证明：①∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； ②由①得， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：． 由上述可知， ∴, ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校2025—2026学年度第二学期 八年级数学启新测评卷 （本试卷满分120分，时间120分钟） 一．选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 9的平方根是（　　） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5或 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，一轮船在海上往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东，在处测得灯塔位于北偏东，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象为( ) A. B. C. D. 7. 某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元/个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容80分、演讲能力90分，若按照演讲内容占，演讲能力占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为（ ） A. 86 B. 85 C. 87 D. 84 9. 如图，直线，将一块含的直角三角板按如图方式放置，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 物理活动中，小明探究了物质质量与体积的关系，得到甲、乙、丙三个实心物体的质量（单位：）与（单位：）之间的关系如图所示（表示密度），则下列说法正确的是（ ） A. 甲物质的质量随着其体积的增加而减小 B. 随着体积的增加，乙物质的质量的变化是不“均匀”的 C. 丙物质的质量为 D. 丙物质的密度最大 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 在函数中，自变量的取值范围是________． 13. 如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 14. “的3倍与2的差不大于”所对应的不等式是____________． 15. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 三．解答题（共11题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，点、、的对应点分别为点； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 19. 如图，在中，是的平分线，且． （1）求证：． （2）当，时，求的度数． 20. 全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． （1）连接，求的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 21. 如图所示，分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量与所用时间（天）之间的函数图象，根据图象回答： （1）乙车间开始生产时，甲车间已生产了_____； （2）甲车间每天生产_____，乙车间每天生产_____； （3）从乙车间开始生产到第_____天结束时，两车间生产的总产量相同； （4）第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是多少？ 22. 为加强全民禁毒意识，牢固树立禁毒防线，2025年开州区各中小学相继组织学生前往禁毒教育基地参观学习．为检验同学们的学习成果，某校特举办了禁毒知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分为三组：；；）． 下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，83，85，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 八年级 84 76 （1）填空：_____，_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的禁毒知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1000名学生，八年级有800名学生参加了此次禁毒知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次禁毒知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 23. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． （1）求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； （2）已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． （1）求点的“短距”． （2）若点是“等距点”，求的值． 26. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $