重难点3-6 利用导数证明不等式（12重难点题型+题型特训）-2026年高考数学二轮复习【重点•难点•热点】精练（新高考通用）

重难点3-6利用导数证明不等式 回结为目 ①直接法 ②分析法 3放缩法 ④构造函数法 ⑤同构法 ⑥虚设零点法 利用导数证明不等式 ⑦凹凸反转，拆分函数 ⑧对数单身狗，指数找朋友 ⑨切线法（零点小于某值）与割线法（零点大于某值） ⑩函数与数列不等式的问题 ①函数与三角函数不等式的问题 ②泰勒展开式与拉格朗日中值定理 1 一夯基·必备基础知识梳理 利用导数证明不等式问题，方法如下： 秒杀技巧与性质1：直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<gx)转化为证明 f（x)-gx>0(或f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x-gx; 秒杀技巧与性质2：适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论： 秒杀技巧与性质3：构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助 函数 秒杀技巧与性质4：对数单身狗，指数找基友 秒杀技巧与性质5：凹凸反转，转化为最值问题 秒杀技巧与性质6：同构变形 提升·必考题型归纳 重难点题型【一】直接法 1.(2026广西.模拟预测)己知函数f(x=x3-3ax+a2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)当a>-1时，证明：fa>-3. 2.已知函数f八到=-2xnx,8到=方+x。 (1)求f(x)的极值； (2)证明：当x>1时，f(x+gx)>0.（参考数据：1n2≈0.69) 2 3.（2025广东·模拟预测)已知函数f(x)=x2-2x3lnx. (1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)证明：f(x)≤1： 3证明：F<1+号. 2 4.(2026黑龙江一模)己知函数f(x=a(x+1)2+x+lnx,（a∈R). (1)讨论∫(x)的单调性； 2当a<0时，求证：x≤2a2a 3 重难点题型【二】、分析法 1.已知函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=f(x)的极值点. (1)求a; (2)设函数g)=+因.证明：g<1. xf(x) 2.已知函数f(x)=e-ax-1在(0，+o)上有零点，其中e=2.71828…是自然对数的底数. (I)求实数a的取值范围； (IⅡ)记g(x)是函数y=f(x)的导函数，证明：g(x)<a(a-1)· 3.(25-26高三上.安微合肥.二调)设函数f(x=lna-x,已知x=0是函数y=xf(x的极值点. (1)求a; 2设函数g(x=+四.证明：g<1 xf(x) 4.(24-25高三上陕西榆林.一模)已知函数fx)=ax-ln(x+1)+1. (1)当a=1时，求f(x)的最小值： (2)求f(x的极值： (3)当a≤2时，证明：当-1<x<0时，∫x)>e. 5 重难点题型【三】、放缩法 1.（2023全国高三专题练习)已知f八)=e-2,gx=a+x+nx,aeR. (1)当x∈(1，+o)时，求函数gx的极值； (2)当a=0时，求证：fx≥gx. 2.已知函数f(x)= et-1 1+Inx (1)求函数f(x)的单调区间； (2》解关于x的不等式f)>+的 6 重难点题型【四】、构造函数法 1.(2026江西九江一模)已知实数m,n满足1nm+c°≤n-L+2,则m-n的值为() A.-2 B.-1 C.2 D.1 2.(2025河南·二模)已知a=em-,b=sin1,则() 1 A.5<b<1<a5 B.7<a<b<l c. 2<b<a<1 0.b<2<a<l 号，(2024.吉林长春模拟预测）已知a=e-山6=)1c=nl.1,则( A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 4.若实数ab满无a2a-ln创≥d+京-1，则a+b=一 重难点题型【五】、同构法 1.(2025广东佛山一模)若e“+nb>a+b,则下列结论可能成立的是() A.0<a<Inb B.Inb<a<0 C.1<e@<b D.e2<b<l 2、(2024江西-临川一中校联考模拟预测)己知函数f(x)=x+lnx-,g(x)=xlnx,若∫(x,)=1+2lnt, gx,)=2,则Vxx2-x2nt的最小值为() A. 2 e D. e 2e e 3、(2025陕西铜川模拟预测)已知函数fx)=￡-n(x-1)-ha+1,若fx≥0对任意的xe(1,+∞)恒成立， 则a的取值范围是() A.(0,E B.(0,e D.(0,e2] 4、已知对于r>0,都有e“+a≤血r,则a的最大值为() > A.-1 c.-1 D.-e e 5定知a.bcg+o.且0-2na-1,2nb-1,22nc1则C e A.b>axc B.bxc>a C.axb>e D.c>axb 6.(2025江西鹰潭.一模)已知函数fx=lnx,若2ae2r+lna≥f(x恒成立，则实数a的取值范围为 7、(2024湖北荆门统考)x,X2,当1<x<x2<e时， 。西<0，则a的范围为一 重难点题型【六】、虚设零点法 1.(2024重庆万州重庆市万州第三中学校考模拟预测)已知函数f(x=xlx+m」 (1)若f(x在区间1，上有极小值，求实数m的取值范围； (2)求证：f(x)<xe+m-1x 2.(2024全国模拟预测)已知函数f(x)=(mr+m)e+mx2+(2m+m)x在x=-1处取得极小值-1-1. (I)求实数m,n的值； (②)当x∈(0，+0)时，证明：fx)>nr+x+ 9 3.已知函数f=lr+a-山，aeR.当ae0,时，证明：sx-e 4.(2026:湖南岳阳.一模)已知实数a≥0，函数fx=n1+,1 x I+ax (1)当a=0时，试比较f(1)和f'(的大小，并说明理由： (2)若x>0时，f(x>0,求a的取值范围； 1 设数列a,的前m顾和为S,若a,F3,++2≥2引，且a=5-1,求证： a2+a+a+…+a< Invn+1 2 9 重难点题型【七】、凹凸反转，拆分函数 1.设函数f(x)=x2-2xe,gx=e2lnx-aex. (1)若函数gx在(e,+o)上存在最大值，求实数a的取值范围； (2)当a=2时，求证：f(x>gx). 2.已知函数f()=r+ar2+bx+a2,当a=0,b=-3时，证明：任意的xeR,都有f()+2≥x-L恒成 立 6 重难点3-6利用导数证明不等式 利用导数证明不等式问题，方法如下： 秒杀技巧与性质1：直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； 秒杀技巧与性质2：适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； 秒杀技巧与性质3：构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 秒杀技巧与性质4：对数单身狗，指数找基友 秒杀技巧与性质5：凹凸反转，转化为最值问题 秒杀技巧与性质6：同构变形 重难点题型【一】、直接法 1．（2026·广西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对参数范围进行讨论，再利用导数求解单调性即可. （2）利用导数求出单调区间，进而得到最值证明不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，可得，此时在上单调递增， 当时，令，， 令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， （2）由题意得， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，而， 可得，即得证. 2．已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可，或者转化证明不等式，通过构造函数可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； （2）设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 3．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）由题意求出的值，求导可得解析式，根据导数的几何意义，可得切线的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. （2）令，求得极值点，分别讨论和时，的正负，可得的单调性和极值，分析计算，即可得证. （3）由（2）得，对任意恒成立，则，化简整理，即可得证. 【详解】（1）由题意得，                     又，则，                         故曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，，，故，故单调递增；                 当时，，，故，单调递减．             故． （3）由（2）得，对任意恒成立， 所以，                 故． 4．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 重难点题型【二】、分析法 1．已知函数，已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明：． 【解析】（1）解：由题意，的定义域为， 令，则，，则， 因为是函数的极值点，则有，即，所以， 当时，，且， 因为，则在上单调递减，所以当时，， 当时，，所以时，是函数的一个极大值点．综上所述，； （2）证明：由（1）可知，， 要证，即需证明，因为当时，， 当时，，所以需证明，即， 令，则， 所以，当时，， 当时，，所以为的极小值点，所以，即， 故，所以． 2．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）记是函数的导函数，证明：． 【解析】（Ⅰ）解：函数，则， ①当时，恒成立，则在上单调递增， 所以，故函数无零点，不符合题意； ②当时，由，得， 若，即，此时在上单调递增，不符合题意； 若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 又，故，使得，而当时，时，故，使得， 根据零点存在定理，，，使得，符合题意；综上所述，实数的取值范围是； （Ⅱ）证明：，所以，即， 由（Ⅰ）知且在上单调递减，在上单调递增，故只要证明：， 即，， 设，则， 故在上单调递增，即（1），所以成立； 综上所述，成立． 3．（25-26高三上·安徽合肥·二调）设函数，已知是函数的极值点． (1)求； (2)设函数．证明： 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）令,则, 由题知得，则. 当时， 当时，； 当时，. 故为的极值点，满足题意.综上有. （2）由（1）得,,定义域为. 当时，，则； 当时，，则. 要证，即证， 即证.而，即证. 令，则且，即证，即证(且). 令，且, 则, 当时，，单调递减；当时，单调递增. 又时，，所以，即. 4．（24-25高三上·陕西榆林·一模）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)求的极值； (3)当时，证明：当时，. 【答案】(1)1；(2)时，无极值；当时，极小值，无极大值；(3)证明见解析 【解析】（1）当时，，函数的定义域为.， 当时，；当时，. 因此在单调递减，在单调递增，故的最小值为. （2）的定义域为. 若时，则，故在单调递减，无极值； 若时，令得.当时，； 当时，. 因此在单调递减，在单调递增， 故有极小值，无极大值. （3）解法1：令， ， 令，则， 因为，所以， 因此在单调递增，，即， 故在单调递减，，即当时，. 解法2：因为，所以， 要证当时，，即证， 令， 令，则，因为， 所以，因此在单调递增，， 即，故在单调递减，，故原不等式成立. 解法3：令， ，由（1）可知，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， ， 即，故在单调递减，， 即当时，. 解法4：令，则，故在单调递减. 由（1）可知：当时，，所以， 即：，故， 而，所以. 解法5：令，因为， 所以在单调递减.由（1）可知：当时，， 所以，即：， 故，而，所以. 重难点题型【三】、放缩法 1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求证：． 【解析】（1），当时，，即在上单调递减， 故函数不存在极值； 当时，令，得， x + 0 - 增函数 极大值 减函数 故，无极小值. 综上，当时，函数不存在极值； 当时，函数有极大值，，不存在极小值． （2）显然，要证：， 即证：，即证：， 即证：． 令，故只须证：． 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即，所以，从而有． 故，即． 2．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）解关于的不等式 【解析】解：（1）函数．定义域为：． ，（1）． 令，， 函数在定义域上单调递增． ，．，函数单调递减．时，，函数单调递增． （2）不等式，即． ，，舍去． 当时，不等式的左边右边，舍去． ，且． ①时，由，要证不等式．可以证明：．等价于证明：． 令． ， 函数在上单调递减， （1）． ②当时，不等式． 令，． ，函数在上单调递增， （1）． 由， ． 不等式成立． 综上可得：不等式的解集为：． 重难点题型【四】、构造函数法 1．（2026·江西九江·一模）已知实数满足，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】构造函数（），分别求导得出，，进而得出，即可. 【详解】将整理为， 构造函数（），. ， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，可知， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 由题意可得， 所以， 当且仅当时，不等式成立. 此时，， 所以. 故选：D. 2．（2025·河南·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、比较正弦值的大小 【分析】构建函数，利用导数可证，即可得，在结合正弦函数的性质分析判断. 【详解】构建函数，则， 令，得；令，得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 可得，当且仅当时取等号， 则， 由正弦函数的有界性可知，则， 又因为，则，所以． 故选：C． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 4．若实数，满足，则________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用导数证明不等式 【分析】构造函数，可证得，从而可得，结合基本不等式得到方程组，可求得结果. 【详解】先证明不等式， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，当时取等号， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，当时取等号， 所以，且，， 解得， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是构造函数，利用导数证明出，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 重难点题型【五】、同构法 1．（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 2、（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为，所以，.. ，，则， 又因为，所以， 令，则， ，当时，，递增， 所以，则， ，， 所以在区间递减；在区间递增， 所以的最小值为，即B选项正确. 3、（2025·陕西铜川·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为. 故选：D 4、已知对于，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，， 即，即， 设，函数，即恒成立， 又函数在上单调递增，且， 即， 即，， 设，， 则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取最小值为， 即， 故选：C. 5．已知．且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，即在上单调递减， ∴，即， 设，则， 即在上单调递增， 又∵，∴. 故选：. 6．（2025·江西鹰潭·一模）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化成恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，此时问题转化成在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解. 【详解】已知，函数定义域为， 若恒成立，即恒成立， 此时，即恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得 当时，；当时，， 又，所以当时，，， 此时需满足，即恒成立， 则在恒成立， 所以在恒成立， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，此时， 则实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】求解不等式恒成立问题，首先是对题目所给不等式进行转化，利用化归与转化的数学思想方法，转化为“有规律”的结构，如本题中，将题目所给不等式转化为，则可构造出对应的函数，然后利用导数进行求解. 7、(2024·湖北荆门·统考)，，当时，，则的范围为 . 【答案】 【分析】将题设条件转化为，从而构造函数，得到在上单调递减，进而利用导数即可得解. 【详解】因为，， 两边取对数，得， 则， 令，则在上单调递减， 所以在上恒成立， 而，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 重难点题型【六】、虚设零点法 1．（2024·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数. (1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围； (2)求证：. 【解析】（1）函数，定义域为， ，在上单调递增， 若在区间上有极小值，则有，解得. 故实数的取值范围为. （2），即，由，可化简得， 要证，即证. 设，， 由，则有，得，即， 函数在上单调递减， 时，时， 则，，此时， 则时，时， 在上单调递增，在上单调递减， ， 函数在上单调递减，， 故，即. 设， ，解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，则有，即 故，即有. 所以，即. 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数的值； (2)当时，证明：． 【解析】（1），由题意知，则，即， 由，知，即． （2）由（1）得，设， 则． 设，则在上单调递增， 且，所以存在唯一，使得，即． 当时，单调递减；当时，单调递增． ． 设，则， 当时，单调递减，所以，所以， 故当时，． 3．已知函数．当时，证明：． 【解析】记． ． 令， 则，所以即在上单调递增． 由，知． ．即， 当单调递减；当单调递增． 故在处取得极小值，也是最小值， ， 由（*）式，可得． 代入式，得． 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递减， 故，即， 故．． 由． 故，即，原不等式得证． 4．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设数列的前项和为，若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）求出和，并作差比较即可； （2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可； （3）根据，结合求出的通项表达式，再令，由（2）可得不等式，又令，可得，再结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以． （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 重难点题型【七】、凹凸反转，拆分函数 1．设函数，． (1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围； (2)当时，求证：． 【解析】（1）（1）由得：（）， ①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值， ②当时，令，解得：， 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减，所以在时，取得最大值， 又由函数在上存在最大值，因此，解得：，所以的取值范围为. （2）证明：当时，，且函数的定义域为， 要证明，即证明时，， 只需要证明：时，， 因为，所以不等式等价于 设（），则，令得：， 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故，且当时，等号成立；又设（），则， 令得：， 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，等号成立； 综上可得：时，，且等号不同时成立，所以时，， 即当时，得证. 2．已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立. 【解析】由题设有，设，， 要证即证. 下面证明：当时，. 此时，， 当时，，故在上为减函数，在上为增函数， 当时，，故在上为增函数，在上为减函数， 故在上，有，，故当时，. 当，，， 当时，要证即证即证， 设，其中，故， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在上，， 故，所以当时，成立. 综上，任意的，都有恒成立. 重难点题型【八】、对数单身狗，指数找朋友 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】依题意可得对任意恒成立，再根据指数不等式得到，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】因为关于的不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以，即的取值范围是. (令，则，，所以在上存在零点). 故答案为： 2．实数x，y满足，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将原不等式变为，利用换元法令和构造函数 ，根据导数研究函数的单调性求出，当且仅当时成立，则，即可得出结果. 【详解】因为，所以． 显然，令，则，且， 令，则， 所以当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对，，即，当且仅当时等号成立． 综上，当且仅当时，成立， 此时，解得． 故答案为： 3．（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、利用导数证明不等式 【分析】（1）先进行求导，根据极值的定义，求解的值，将的值进行检验得出结果； （2）将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，总结得出结论即可. 【详解】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 4．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 重难点题型【九】、切线法与割线法 1．已知函数 （1）求曲线在原点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个正实数根，，求证：． 【解答】解：（1），，， 故曲线在原点处的切线方程为． （2）①当时，； ②当时，问题等价于恒成立． 设，则， 在上单调递增，且（1） 在递减，在递增． 在的最小值为（1）； ③当时，问题等价于恒成立． 设，则， 在上单调递减，且时，． ， 综上所述：． （3）依（2）得时，， 曲线在原点处的切线方程为 设， ，， 令，解得，或． 在，递增，在递减． ，时，，递增，而， 当时，， 设，分别与，交点的横坐标为，， ，． 则，，（证毕） 2．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：； （3）若函数有两个零点，，证明． 【解答】（1）解：函数的定义域为， ， （1）， 曲线在点处的切线方程为即， ，； （2）证明：令， 则， 令，则， 单调递增，又（1）， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， （1）， ， ， （3）证明：的两个零点，，即为的两根，不妨设， 由题知，曲线在处的切线方程为， 令，即即的根为，则， 由（2）知， ， 单调递增， ， 设曲线在处的切线方程为， ， ， 设方程即的根为，则， 令， 由（2）同理可得，即， ， 又单调递减， ， ． 3．（25-26高三上·安徽·期末）设函数，是实数． (1)若1是的一个零点，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若，，，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求出的值，由导数的几何意义求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）求出函数的导数，通过的分类讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；（3）化简原不等式，构造新函数，利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． 【详解】（1）由条件得，即，解得， 则，于是 从而，， 故切线方程为：，即：； （2）函数的定义域为， 则 ① 当时，，由，得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增； ② 当时，，由，得或， 则当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ③ 当时，，，故函数在上单调递减； ④当时，, 则当或时，，函数在和上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ⑤当时，, 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）证明：要证，即证 ， 化简后等价于：, 令，则需证, 令，则 令，由于 则， 故 因，则，故 且当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故， 即得， 即得，且只有当时，， 故在上单调递减， 由，，得，故， 即，即得， 同理由可得， 故 故原不等式成立. 4．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若函数恰有三个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.15 【知识点】根据极值求参数、利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】（1）首先对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值。 然后将证明转化为证明，接着通过构造新函数 利用导数研究其单调性和最小值，证明，从而完成不等式的证明. （2）先对函数求导，因为恰有三个极值点，所以有3个不同的解，然后构造函数，利用导数研究其单调性和最值，根据函数图象与直线 的交点情况确定a的取值范围. 【详解】（1）证明：的定义域为，由于，令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故为的极小值点， 所以当； 要证原不等式，只需证， 即证 ，即证在上恒成立； 令，则． 由于在上单调递增，且， 所以存在唯一，使得，即； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 所以当时，， 所以当时，． （2）由题意，， 则． 因为恰有三个极值点，故恰有三个变号零点， 当时，，因此是的一个极值点． 因此在上有两个不同的根，且，不妨设． 令，则， 因此当时，单调递减；当时，单调递增． 所以，且时，时，． ①当时，方程在上无根，不符合题意； ②当时，方程在上有且仅有一根，不符合题意； ③当时，方程在上有两个不同的根． 又，所以． 综上，实数 的取值范围为． 【点睛】(1):本题关键在于利用导数求出函数的最小值，然后通过构造新函数证明不等式，在证明时，利用导数找到函数的单调性和最小值点，再结合基本不等式得出结论； (2)本题的核心是将函数有三个极值点的问题转化为方程有两个不同解的问题，进而转化为函数与的图象有两个不同交点的问题，确定a的取值范围. 重难点题型【十】、函数与数列不等式的问题 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的最大值为0． (1)求实数的值； (2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）分、、讨论，利用以及最值可得，再检验即可； （2）结合（1）分、讨论，将问题转化为在上恒成立，令，分、两种情况讨论即可； （3）由（2）得恒成立，利用其可得，再利用累加法可证. 【详解】（1）由题意知，， 若，则，不符合题意； 若，则的定义域为， 因为的最大值为0，且，则，即， 此时的定义域为，，， 当时；时， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，符合题意； 若，的定义域为，显然， 其余同，得出，舍去； 综上，； （2）由（1）知，， 则当时，在上恒成立； 当时，若对任意的，有恒成立， 则在上恒成立， 令， 则， 若，即，则在上恒成立， 所以在上单调递增，则，符合题意； 若，即，则当时，， 则在上单调递减，所以，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为； （3）由（2）可知，当时，恒成立， 即恒成立， 令， 则， 则， 即， 则， 即. 2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为． (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，利用导数可求函数的单调区间； （2）分和两种情况分别判断是否成立，进而可求得求的取值范围； （3）由（1）可得当时，，再证明，，记，计算可证结论. 【详解】（1）当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 重难点题型【十一】、函数与三角函数不等式的问题 1．（2026·湖北荆州·一模）设函数. (1)若对，成立，求实数a的取值范围； (2)（ⅰ）当时，比较与的大小； （ⅱ）证明；当，时，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）当时，；（ⅱ）证明见详解 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据题意结合端点效应可得，解得，并代入检验其充分性即可； （2）（ⅰ）设，，利用导数法得在区间上单调递减，进而可得结果；（ⅱ）由（1）可知：当时，，当，时，可得，由（ⅰ）可得，进而放缩可得，利用裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）因为，则， 若对，成立，注意到， 则，解得， 若，则， 可知在内单调递减，则，即符合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. （2）（ⅰ）设，，则， 令，，则， 可知在区间上单调递减，则， 即，可知在区间上单调递减， 则，所以当时，； （ⅱ）由（1）可知：当时，，等价于， 当，时，可得， 又因为当时，，可得， 则， 即， 则， 所以当，时，. 2．（2026·湖南湘潭·二模）已知函数，． (1)证明：当时， (2)若是的极大值点，求的取值范围． (3)若，且，其中，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、根据极值点求参数 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【详解】（1）因，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故当时，． （2）的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 3．（25-26高三下·河南·开学考试）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)设，若存在，使得，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为和 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.3 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）先对求导，再分析导数在内的正负区间，进而得到单调区间， （2）设，，再通过求导判断的单调性，结合端点值证明， （3）先对已知等式变形，结合（2）可得，再利用导数证明，由此可得，再证明结论. 【详解】（1）由，得， 令，解得；令，解得，或， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． （2）证明：设， 则， 因为，则，所以， 所以， 所以在上单调递增，又，所以当时，， 所以当时，， 所以，即． （3）证明：由，得， 则， 即． 由（2）知，在上单调递增，所以， 即，所以， 所以， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 又，所以，即． 又，所以，所以． 4．（2026·江西上饶·一模）已知函数， (1)求证：当时，； (2)记在的唯一零点为，求证：； (3)在（2）的条件下记，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设，通过判断增减性和极值，进而证明； （2）依题意，分析单调性，由，得存在唯一使得，同理可证存在唯一使得．即得，又，且在上单调递增，即可通过单调性证明； （3）由，得再由（1）知，再利用裂项相消求解即可. 【详解】（1）设， 则 所以在上单调递增，当时，，即 （2）依题意， 当时，， 当时，， ，即，所以单调递增； 当时，，， 即，所以单调递增， 所以在单调递增. 又 所以存在唯一使得 同理存在唯一使得． 则 又，且在上单调递增，所以，即． （3）因为,所以 由（1）知 当时结论显然成立，当时 ． 所以. 重难点题型【十二】、泰勒展开式与拉格朗日中值定理 1．已知函数. (1)若，求实数a的值； (2)已知且，求证：. 【解析】（1）因为，所以函数定义域为，. 因为，且，所以是函数的极小值点，则，所以，得. 当时，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，满足条件，故. （2）由（1）可得，.令，则，所以，即，， 所以.证毕. 2．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，对，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时．若正实数，满足，，，，证明：． 【解析】解：（1），，△， ①时，恒成立， 故函数在递增，无递减区间， ②时，或， 故函数在，，递增，在，递减， 综上，时，函数在递增，无递减区间， 时，函数在，，递增，在，递减， （2），对，恒成立， 即，时，恒成立， 令，，则， 令， 则，在递减且（1）， 时，，，递增， 当，，，递减， （1）， 综上，的范围是，． （3）证明：当时，， ，不妨设， 下先证：存在，，使得， 构造函数， 显然，且， 则由导数的几何意义可知，存在，，使得， 即存在，，使得， 又为增函数， ，即， 设，则，， ①， ②， 由①②得，， 即． 1．（2025·江西·二模）已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先将已知变形为,然后再运用基本不等式得到,利用导数求证再用取得等号时的条件可得，即可求解. 【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即， 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以, 故选：C. 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设，则大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】通过证明确定的大小关系；通过证明确定的大小关系. 【详解】令， ，所以在上单调递增， 所以，即，， ，所以. 令， ，令，， ，令，则， 所以在上单调递减，，， 所以存在唯一，使得，即当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为中一个，而， ，所以，即， 所以在上单调递增，所以， 即，， 所以，即. 所以. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就有了函数的形式，如在本题中，将视为，将视为函数与的函数值，从而只需比较与这两个函数大小关系即可. 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由可得，可得，据此判断A，由变形化简即可判断B，构造函数，利用导数证明即可判断C，证明再利用对数函数单调性及不等式性质判断D. 【详解】由，可得， ，． 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， ，即（当且仅当时取等号）． 对于A：由可得，可得（当且仅当时取等号），又， ，故A错误； 对于B：由知，，故，故B正确； 对于C：，令， 则，令， 则，（提示：，由，当且仅当时取等号，可知当时，） 在上单调递增，，，即，故C错误； 对于D：当时，，则，又，（提示：要证，即证，即证，而，故）， ，故，故D错误． 故选：B 【点睛】方法点睛：常用的不等式：，，，，，． 4．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由得到恒成立，可得恒成立，分别令，，通过求导确定单调性，得出最值即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 5．（2025·重庆·三模）已知， 恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用可得时满足题意，然后令，由题可得，由单调性可得，最后注意到不满足不等式，据此可得答案. 【详解】对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则； 对于，， 则， 得在上单调递减，在上单调递增， 则. 则当时，，满足题意； 当时，令，由， 令，则在上单调递减， 又注意到，则. 下证对，，即，， 由，可得，由，可得. 则，则时，命题成立； 当，令，由， 但此时，，与题意不符，故不满足题意. 综上可得. 故答案为： 【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用思想为分离参数，将问题转化为求相关函数的最值，也可构造函数，由函数最值得到关于参数的表达式. 6．（2026·山东枣庄·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，． （ⅰ）讨论在内的零点个数； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可； （2）（ⅰ）对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得到，然后令对不等式进行化简即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为，即． （2）（ⅰ）因为，所以． 令，则． a.当时，因为，所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点． b.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，所以单调递增．， 此时，在内无零点． c.当时，因为，所以，则单调递增． 因为，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，所以． 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当且时，，所以， 即． 令，则， 所以，，…，， 所以． 7．（2025·陕西汉中·一模）（1）已知函数，求在上的单调区间； （2）若，证明：． 【答案】（1）递增区间为，无递减区间；（2）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可得解； （2）由，得，则要证，只需证明，令，构造函数，求出函数的最小值即可得证. 【详解】（1）， 求导得， 由，得， 令函数，则， 函数在上单调递增， 则当时，，即， 因此函数在上单调递增， 所以函数在上的递增区间为，无递减区间； （2）由，得， 则要证，只需证明， 令，即证， 令，求导得， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 又， 则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 则， 所以当时，. 8．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若函数为偶函数． ①求的值； ②证明：不等式恒成立． 【答案】(1)当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. (2)①，②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）对进行求导，分为和两种情况，结合极值的概念分别讨论即可； （2）根据偶函数的定义列式求解，即可得到的值；先构造函数证明，利用放缩将不等式化为在恒成立，再构造函数证明即可. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递增，无极值. 当时，令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值. （2）①， 因为为偶函数，则，即， 化简得，此式对均成立，则，即, 所以的值为. ②可化为， 即证， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 则， 只需证对恒成立， 令，， 令，， 因为，，当且仅当时，等号成立，故，所以，即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 则，则对恒成立， 故不等式恒成立. 9．（2025·广东佛山·一模）已知函数，. (1)讨论的零点个数； (2)若为正整数，记此时的零点为.证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）解法1：对函数求导，然后对结合函数单调性分析得出结论；解法2：令，根据条件变形得出构造新函数对函数求导，结合函数单调性分析即可.      （2）结合（1）知，当时，函数有一个零点得出，变形得出相应不等式，构造不等式结合对数函数运算性质以及函数导数与单调性证明不等式即可. 【详解】（1）解法1：，     ①当时，，函数无零点；     ②当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递减. 因为当时，，且， 所以函数在上存在唯一的零点.         ③当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以. 因为当时，且当时，， 所以，当即时， 函数在和上各存在一个零点； 当即时，函数有一个零点； 当即时，函数不存在零点，    综上所述，当时，函数有2个零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数不存在零点.         解法2：令， 因为，所以，则，        令，则， 当时，， 当或时，， 所以在单调递增，在，单调递减， 所以， 当且时，， 当时，； 当时，， 所以，当时，函数有2个零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数不存在零点. （2）由（1）知，当时，函数有一个零点. 因为即， 所以，         先证.令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，即     因为，所以， 因为， 所以，即， 所以，， 所以，    因为， 所以，即， 又因为， 所以， 所以， 所以得证. 10．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，，是自然对数的底数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的零点的个数； (3)若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】(1)； (2)讨论见解析； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【详解】（1）当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2） 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明： ， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 11．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性； （2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即； （ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即． 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 12．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个正零点且， （i）求证：； （ii）当时，不等式恒成立，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数并讨论参数 的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）函数有零点可转化为 ，从而求出 ，利用作差法得，分析法将问题转化为证明 ，利用换元法以及构造新函数，根据导数研究新函数的单调性即可得证；（ii）由（i）可讨论当时，的符号情况 ，分析可知要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，等价代换得，通过对比系数可得证. 【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时， ，函数 在上 单调递增． 综上所述，当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）由题意知方程 有两个不同的正实根 ， 由（1）知 且 ，解得 ， 所以 ，， 两边同时取自然对数，得 ， 两式相减得 ，即 ， （i）要证 ，只需证明 ， 令 ，只需证明 构造函数 ，求导得 ， 所以函数 在 上单调递增，于是 ，所以不等式 成立， 于是原不等式 成立. （ii）结合以上分析可知当 时， ； 当 时， ；当 时， ． 所以要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ， 于是 ， 对比系数得 ， 所以 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $