重难点2-2 函数性质的灵活运用（6重难点题型+10秒杀技巧与性质+题型特训）-2026年高考数学二轮复习精练（新高考通用）

重难点2-2 函数性质的灵活应用 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和填空题为主，是高考必考且重点考查的内容之一．常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性结合在一起考查，考查形式多样且综合性强. 2025年新I卷，第5题,5分 2025年新Ⅱ卷，第10题,6分 2024年新I卷，第6题,5分 2024年新I卷，第8题,5分 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 一、单调性的技巧： 1、证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形： 变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或 变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． 2、函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“ — — — ”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如 、 、 等，直接写出它们的单调区间． 秒杀技巧与性质一：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； 秒杀技巧与性质二：若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； 秒杀技巧与性质三：若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 秒杀技巧与性质四：若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 二、奇偶性的技巧： 1、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2、奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于 对称； 函数是奇函数函数的图象关于 中心对称. 3、若奇函数在处有意义，则有 ； 偶函数必满足. 4、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 ；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 . 5、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. 6、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇= ；偶偶= ；奇偶= ； 奇奇= ；奇偶= ；偶偶= . 7、复合函数的奇偶性原来：内偶则 ，两奇为 . 秒杀技巧与性质五：常见的奇函数 ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 秒杀技巧与性质六：常见的偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 三、周期性的技巧： 1、周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 2、最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的 . 秒杀技巧与性质七：周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)． (5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)． 四、对称性的技巧： 1、对称轴：若函数关于直线对称，则 ． 2、对称中心：若函数关于点对称，则 ． 3、若,则图像关于直线 对称； 4、，函数关于点 对称. 秒杀技巧与性质八：若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； 秒杀技巧与性质九：若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； 秒杀技巧与性质十：若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 重难点题型【一】、函数的奇偶性 考向1 函数奇偶性的判断 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·模拟预测）（多选题）函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 考向2 利用函数奇偶性求参数值 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 6．（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D．2 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 9．（2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数 . 10．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 考向3 利用函数奇偶性求解析式或函数值 11．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 12．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 13．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 14．（2025·湖南·模拟预测）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ． 重难点题型【二】、函数的周期性 1．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 3．（2025·广东梅州·模拟预测）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D． 4．（2025·湖南·三模）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ． 重难点题型【三】、函数的对称性 1．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）（多选题）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 4．（2025·福建福州·一模）（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 5．（2025·湖南长沙·三模）已知函数的图象关于直线对称，则 6．（2025·江西·三模）若函数的图象关于直线对称，则 ． 重难点题型【四】、函数的单调性与奇偶性 1．（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 6．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 重难点题型【五】、函数的奇偶性与周期性 1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（    ） A． B． C．5 D．10 3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C．6 D． 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则 . 5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线方程为 ． 6．定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则 . 重难点题型【六】、函数的对称性与周期性 1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A．0 B．-1012 C．-2 D．1010 3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 5．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ． 6．关于函数，有如下四个命题： ①若，则的图象关于点对称； ②若的图象关于直线对称，则； ③当时，函数的极值为； ④当时，函数有两个零点． 其中所有真命题的序号是 ． 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 2．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2025·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2005·福建·高考真题）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且．则方程在在区间内解的个数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．7 D．5 11．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 12．（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·云南·开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 17．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 19．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A．10 B．11 C．12 D．13 二、多选题 20．（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 21．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义在上的奇函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．关于对称 C．的周期为2 D． 22．（2025·广西·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   23．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 三、填空题 24．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 25．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 26．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象存在对称轴，则的最小值为 ． 27．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 28．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 29．（2023·广东·二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 30．（2025·甘肃·模拟预测）已知奇函数的图象关于直线对称，且，则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点2-2 函数性质的灵活应用 三年考情分析 考题统计 2026年考向预测 近三年高考中，对函数基本性质的考查以选择题和填空题为主，是高考必考且重点考查的内容之一．常将函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性结合在一起考查，考查形式多样且综合性强. 2025年新I卷，第5题,5分 2025年新Ⅱ卷，第10题,6分 2024年新I卷，第6题,5分 2024年新I卷，第8题,5分 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 一、单调性的技巧： 1、证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． 2、函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 秒杀技巧与性质一：若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； 秒杀技巧与性质二：若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； 秒杀技巧与性质三：若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 秒杀技巧与性质四：若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 二、奇偶性的技巧： 1、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. 2、奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. 3、若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. 4、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. 5、若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. 6、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. 7、复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. 秒杀技巧与性质五：常见的奇函数 ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 秒杀技巧与性质六：常见的偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 三、周期性的技巧： 1、周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 2、最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 秒杀技巧与性质七：周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．(4)若,则T＝6a(a>0)． (5)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,则T＝4a(a>0)． 四、对称性的技巧： 1、对称轴：若函数关于直线对称，则． 2、对称中心：若函数关于点对称，则． 3、若,则图像关于直线对称； 4、，函数关于点 对称. 秒杀技巧与性质八：若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； 秒杀技巧与性质九：若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； 秒杀技巧与性质十：若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 重难点题型【一】、函数的奇偶性 考向1 函数奇偶性的判断 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇函数的定义即可得出判断． 【详解】对于A，，设， ，所以为奇函数，故A符合题意； 对于B，，， 定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B不合题意； 对于C，， 设， 则，不为奇函数，故C不合题意； 对于D，， 定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D不合题意； 故选：A． 2．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【详解】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 4．（2024·重庆·模拟预测）（多选题）函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、求指数函数在区间内的值域 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可. 【详解】因为函数的定义域为R， 又，所以函数为偶函数， 由恒成立，可知函数的定义域为， 又 ， 所以，即函数为奇函数， 对于A，因为， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，又， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立； 所以函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，令，则函数的定义域为，又， 所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误. 故选：BC． 考向2 利用函数奇偶性求参数值 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 6．（2025·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域、对数的运算 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【详解】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 7．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断、指数函数的判定与求值 【分析】根据题意得到，从而得到方程，变形化简得到，求出. 【详解】图象关于y轴对称，故， 即，即， 即， 要想上式恒成立，则恒成立，即，故， 所以. 故选：B 8．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 9．（2025·广东广州·模拟预测）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】1 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求参数、对数的运算 【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解. 【详解】， 所以， 因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 所以， 所以，解得， 此时定义域为，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意. 故答案为：1. 10．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】由为奇函数即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 而是偶函数，是奇函数， 所以为奇函数， ，得； 若，函数，定义域为空集，函数不存在， 若，代入验证符合题意. 故答案为： 考向3 利用函数奇偶性求解析式或函数值 11．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，. 故选：C 12．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的定义，结合题意计算即可求解. 【详解】因为为奇函数， 所以. 故选：A 13．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 14．（2025·湖南·模拟预测）已知为上的奇函数，当时，，则的图象在处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设，则，又为上的奇函数， 所以， 即当时，，当时，， 所以的图象在处的切线方程为，即． 故答案为： 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式 【分析】根据奇函数的定义结合题意求出当时函数的解析式即可求解. 【详解】当时，，所以，即 则，． 故答案为： 重难点题型【二】、函数的周期性 1．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解. 【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为， 所以， 又当时，，所以，则， 故选：D. 2．（2025·湖南·模拟预测）已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、对数的运算 【分析】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可. 【详解】因为函数是周期为2的偶函数，且当时，， 所以． 故选：C 3．（2025·广东梅州·模拟预测）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性和周期可得，再利用解析式即可求解. 【详解】是定义在上且周期为2的奇函数， ， 当时，，， . 故选：B. 4．（2025·湖南·三模）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数性质将问题转换为，代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以． 故答案为：. 重难点题型【三】、函数的对称性 1．（2025·安徽·模拟预测）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、充要条件的证明 【分析】根据对称和偶函数定义判断. 【详解】若函数的图象关于直线对称，则， 令，则，所以，是偶函数， 所以函数是偶函数， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件； 若函数是偶函数，令，则是偶函数， 所以，又，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件. 综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件， 故选：C. 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由函数对称性求函数值或参数 【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出，再验证得解. 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 3．（2024·河北·模拟预测）（多选题）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数 【分析】由题意可得，，从而可得，即可判断A；由，可得，即可得函数关于点对称，再结合函数为偶函数且周期为4，可得函数关于中心对称，从而判断B；对两边求导，得，从而得函数的图象关于对称，从而判断C；由，可得，从而得为奇函数，又因为函数的定义为，从而得，，从而判断D. 【详解】解：对于A，因为是上的偶函数，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以， 所以函数是周期函数，为函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为，所以，所以函数关于点对称， 又因为函数为偶函数，所以函数关于点对称， 又因为函数的周期为，所以函数关于中心对称，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 所以函数的图象关于对称，故C错误； 对于D，因为，所以，即， 所以为奇函数，且定义为，所以， 又因为，所以，所以， 即，所以是周期函数，为最小正周期， 所以，故D正确. 故选：ABD. 4．（2025·福建福州·一模）（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、函数基本性质的综合应用 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 5．（2025·湖南长沙·三模）已知函数的图象关于直线对称，则 【答案】－2 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数的定义域，结合函数图象对称性求出，又由函数的对称性列出，整理计算求出即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由题知的定义域关于对称，故． 则， 即，故， 则，解得． 故． 故答案为：. 6．（2025·江西·三模）若函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、函数对称性的应用 【分析】由题意可得对任意，恒有成立，进而求解即可. 【详解】由题意知，对任意，恒有成立， 即恒成立，化简得， 故只能，又，则． 故答案为：4. 重难点题型【四】、函数的单调性与奇偶性 1．（2025·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数， 而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 不等式，则，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A 2．（2025·全国·模拟预测）设函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化为，解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，且，即为偶函数． 当时，和，和均在上单调递增，所以和均在上单调递增，则在上单调递增，所以不等式等价于，即，解得或． 所以不等式的解集为． 故选:D 3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 4．（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得为奇函数，且在定义上单调递减，从而得到，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又， 所以为奇函数，又易知在定义上单调递减， 故由，可得到， 所以，即，解得或， 所以的解集为或， 故答案为：或. 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可. 【详解】由条件知，令， 则， 易知，即为奇函数， 又， 易知在时单调递减， 由复合函数的单调性及奇函数的性质得在R上单调递减， 对于， 所以. 故答案为：. 6．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，所以在上单调递增， 不等式，即， 等价于，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 重难点题型【五】、函数的奇偶性与周期性 1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数周期性的应用、对数的运算 【分析】根据已知确定在时，函数具有周期性，然后结合偶函数定义可把转化到已知解析式的区间上求解即可． 【详解】，都有， 即当时，函数具有周期性，且周期为4， 又是偶函数，. 故选：D. 2．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数图象的变换、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数的图象关于中心对称，得到，进而求得即可得答案. 【详解】由的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数的图象， 因为函数是奇函数， 即该函数图象关于中心对称， 所以函数的图象关于中心对称， 所以， 因此，，， 所以， 故选：A. 3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推出函数的周期性，求出一个周期内的函数值，利用周期性即可求得答案. 【详解】因是上的奇函数，则， 又由可得，则， 故，即4为函数的一个周期. 因当时，，则，， 又，，， ，，， 则， ， 则. 故选：B. 4．（2024·湖北黄冈·一模）已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、对数的运算 【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以的一个正周期为8，即. 故答案为： 5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】利用的奇偶性与对称性，得到的周期，结合，求出的值，再利用导数的奇偶性与周期性，结合，求出的值，则切线可求． 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且为奇函数， 所以，， 因此可得 可得，即周期为8，且， 对和分别求导可得，， 所以 ， 所以在点处的切线方程为：， 即． 故答案为：． 6．定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数定义的其他应用、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期性；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值. 【详解】是定义在上的奇函数，， 函数是定义在上的偶函数，， 则， 所以，则的周期是， . 故答案为：. 重难点题型【六】、函数的对称性与周期性 1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值、函数周期性的应用 【分析】由题，可得的周期为4，由求得，，结合对称性求得在一个周期内的值域，得解. 【详解】由，即，可得的图象关于点对称； 由，即，可得的图象关于点对称， ，所以的周期为4． 易知，所以，所以，， 所以在上的值域为． 又的图象关于点对称，所以当时，， 即在一个周期内的值域为，所以的最小值为. 故选：D． 2．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A．0 B．-1012 C．-2 D．1010 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】由题意知且，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数值之和，2025项的和包含506个周期之和及，分别求值相加即可. 【详解】已知为奇函数，所以且， 因为，所以，则，函数的周期为4， 因为，，，， 所以， 因为，前2024项和为，， 所以. 故选：C 3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值. 【详解】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、函数对称性的应用、利用导数研究函数图象及性质、函数奇偶性的应用 【分析】由题可得有对称轴为轴，对称中心，然后在同一坐标系中画出与图象，即可得答案. 【详解】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心；又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， 所以存在，使得当时，，单调递增， 所以当时，，即， 结合图象可得，与的图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 故答案为：5 5．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据已知条件可知关于点中心对称，结合偶函数定义可推导得到的周期，根据周期性和奇偶性可得. 【详解】为奇函数，的图象关于点中心对称，， 又定义域为，； 为偶函数，，， 是周期为的周期函数， . 故答案为：. 6．关于函数，有如下四个命题： ①若，则的图象关于点对称； ②若的图象关于直线对称，则； ③当时，函数的极值为； ④当时，函数有两个零点． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①②③ 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求函数零点或方程根的个数、由函数对称性求函数值或参数、求已知函数的极值 【分析】利用函数对称性的定义可判断①；利用函数对称性的定义求出的值，可判断②；利用函数的极值与导数的关系可判断③；取，解方程，可判断④. 【详解】对于①，当时，， 则 ， 所以，当时，的图象关于点对称，①对； 对于②，若的图象关于直线对称， 则对任意的，， 即， 即，即，解得，②对； 对于③，当时，，该函数的定义域为， 所以，，令，可得；令，可得. 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的极小值为，③对； 对于④，当时，由，可得， 此时函数只有一个零点，④错. 故答案为：①②③. 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（    ） A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减 C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可. 【详解】易知的定义域为，且， 所以为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 故选：A 2．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数图像的识别 【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 3．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由题意可得函数为奇函数，由代入计算可得，由代入计算可得，计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为且， 所以函数是奇函数且， 即，所以， 又，所以，所以，即. 故选：A． 6．（2025·广东·模拟预测）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、由奇偶性求函数解析式 【分析】由奇函数性质求出当时，，再由基本不等式求解． 【详解】当时，得， 由函数是定义域为R的奇函数， 得， 即当时，，等号成立时，， 则当时，的最小值为1， 故选：A 7．（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故选：A 8．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求指数（型)函数的定义域、由奇偶性求函数解析式 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 9．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 10．（2005·福建·高考真题）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且．则方程在在区间内解的个数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据题意，根据函数奇偶性和周期性的关系进行推导即可． 【详解】∵是定义在R上的奇函数，且周期是3，f（2）＝0， 故f（−2）＝−f（2）＝0，f（1）＝f（−2）＝0，f（3）＝f（0）＝0， ∴f（5）＝f（2）＝0，f（4）＝f（1）＝0， 根据周期性，f（−1.5）＝f（−1.5＋3）＝f（1.5）， 再根据奇函数的性质可得f（1.5）＝−f（1.5）， ∴f（1.5）＝−f（1.5）＝0． 又f（4.5）＝f（4.5−3）＝f（1.5）＝0， 故在区间（0，6）内， f（1）＝0，f（1.5）＝0，f（2）＝0，f（3）＝0，f（4）＝0，f（4.5）＝0，f（5）＝0， 故选：C． 11．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数图象的变换、求零点的和 【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【详解】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 12．（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由奇函数的性质，可得函数的单调性与函数值为零的点，从而可得函数值与零的大小关系，结合不等式，可得答案. 【详解】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，， 当时，；当时，， 由当时，，当时，， 则不等式的解集为. 故选：D. 13．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由函数奇偶性、单调性即可求解. 【详解】易知函数定义域为， 又，故为偶函数， 当时，，所以， 令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增， 由复合函数的单调性可知：在上单调递增， 又在上单调递增， 故在上单调递增， 易知在上单调递增， 结合函数为偶函数， 所以由可得， 平方得：， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：D 14．（25-26高二上·云南·开学考试）定义在上的偶函数满足，且时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的运算 【分析】先得到函数的一个周期为4，再根据偶函数可得，利用对数的性质即可得答案． 【详解】定义在上的函数满足，所以函数的周期为4， 因为是定义在上的偶函数，∴， 所以. 因为， 所以 所以 所以. 故选：. 15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得的值. 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 则，故， 所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得， 所以，，， 因此，. 故选：D. 16．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据题设，分析可得函数是周期为4的周期函数，进而求出，再结合周期性质求解即可. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以，且， 又，所以， 则，即， 所以函数是周期为4的周期函数，则， 因为当时，，所以， 由，则，， 则， 则. 故选：D. 17．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数的判定与求值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据函数奇偶性可求得是以4为周期的周期函数，可判断A错误，代入计算可得B正确，结合周期性计算可得，即C错误，易知可得D错误. 【详解】依题意可知，； 所以，即， 因此，即， 所以可得，即是以4为周期的周期函数， 对于A，由分析可知，即A错误； 对于B，由，可知； 显然，所以， 所以，即B正确； 对于C，易知，可得C错误； 对于D，显然，即D错误. 故选：B 18．（2025·山东青岛·一模）已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用 【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求. 【详解】由为偶函数，得，即，则， 因此，即，则， 于是，函数是周期为4的周期函数， 由，得，因此， 所以． 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键. 19．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 二、多选题 20．（2025·湖南·模拟预测）若函数的定义域都为，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D. 【详解】函数的定义域都为， 对于A，因为，所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为为奇函数，所以，则是偶函数，故B正确； 对于C，因为偶函数，则，即是偶函数，故C错误； 对于D，因，则为偶函数，又因为为奇函数，则是奇函数，故D正确. 故选：ABD. 21．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义在上的奇函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．关于对称 C．的周期为2 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用 【分析】根据奇函数的性质判断A；由得函数的对称性判断B；根据奇函数性质和对称性可得函数的周期性判断C；利用函数周期性求值判断D. 【详解】对于A：因为是上的奇函数，所以，即，正确； 对于B：由，知图象关于对称，正确； 对于C：因为， 所以， 所以，即的周期为4，错误； 对于D：，正确. 故选： ABD 22．（2025·广西·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用、函数图像的识别 【分析】令，其中，分析函数的对称性与单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令，其中， 则， ，则， 故函数的图象关于直线对称，排除B选项， 因为函数是定义在上的奇函数，且函数在上单调递减， 故函数在上单调递减， 故当时，，此时，故函数在上单调递减， 排除D选项. 故选：AC. 23．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（    ） A．在定义域上单调递减 B．曲线关于点对称 C．当时， D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、对数函数的概念判断与求值、判断或证明函数的对称性、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数定义域，再由特殊函数值大小比较判断A；通过是否成立判断B；由对数复合函数的单调性计算判断C；根据解析式及对数运算性质求函数值判断D. 【详解】对于A，由，可得或， 所以函数定义域为，而，错误； 对于B，， 所以曲线关于点对称，正确； 对于C，由在区间上单调递减， 当时，，正确； 对于D，，错误． 故选：BC 三、填空题 24．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 25．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由为偶函数，确定为奇函数，进而可求解. 【详解】为奇函数， 当函数为偶函数时，函数为奇函数， 所以， 解得：．经验证符合题意， 故答案为： 26．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数的图象存在对称轴，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】设的对称轴为，则，从而得到方程，求出，故，令，换元并配方得到当时，取得最小值，最小值为. 【详解】设的对称轴为，则， 即， 化简得， ， ， 故需满足，解得， 故， 令，故， 则， 故当时，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 27．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题意，根据奇函数的性质，可得函数与零的大小关系，利用整体思想，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递减，，， 则当时，，当时，， 由，则，解得， 由，则，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 28．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意，推得，可得出，得到函数是周期为8的周期函数，分别求得，，得到，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 可得， 所以函数的图象关于对称，且关于对称， 则，所以， 所以，即， 则，所以函数是周期为8的周期函数， 由可得，，，， 所以， 当时，，则， 因为，则. 故答案为：. 29．（2023·广东·二模）设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，且是偶函数， 所以， 所以，即， 故是4为周期的周期函数，且有， 则. 故答案为： 30．（2025·甘肃·模拟预测）已知奇函数的图象关于直线对称，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】利用奇函数可求得，进而利用对称性可求得的值. 【详解】因为是奇函数，所以.又的图象关于直线对称， 所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $