精品解析：河南开封市重点中学2026届高三第二学期入学检测数学试题

2025~2026学年度第二学期高三入学检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2 复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，，，满足，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数是偶函数，，，则（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 6. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为， ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ） A 亿元 B. 亿元 C 亿元 D. 亿元 7. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法正确的是（ ） A B. 若，则符合条件的三角形有两个 C. 的最大值为32 D. 的取值范围为 10. 已知数列的前项和为（），则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 当时，的最小值为 C. 数列是公差为的等差数列 D. 若数列是单调递增数列，则 11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点为，点为坐标原点，动点满足.下列四个命题中，正确的是（ ） A. 点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，则双曲线的焦距为________． 13. 若，则取得最小值时，__________. 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线． （1）若在点处切线与直线平行，求实数的值； （2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 16. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 17. 第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等． （1）求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率； （2）求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率； （3）已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率． 18. 若各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若正项等比数列，满足，求； （3）对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过的直线l与椭圆C相交于两点，设的中点为， ①若直线的斜率为1，求； ②若点，判断与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高三入学检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得集合，再由，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，所以， 又由集合， 因为，所以，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 2. 复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得，即可求得模长. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 已知非零向量，，，满足，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及向量的数量积即可得解. 【详解】由，即，不能推出， 当时，，所以成立， 综上，是的必要不充分条件， 故选：B 4. 已知实数，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可. 【详解】对，则，而， 当且仅当时取等号，因此； 当时, ，当且仅当时取等号， 所以是的充要条件. 故选：C. 5. 已知函数是偶函数，，，则（ ） A. 6 B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等式可知，由，是偶函数，赋值求解即可. 详解】由，得， 由，得， 所以， 对于，令，得，故， 又是偶函数，所以，故. 故选：D. 6. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为， ，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中心点求得，进而求得预测值. 【详解】，， 所以，所以， 当时，亿元. 故选：D 7. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用诱导公式及余弦函数的性质判断C，利用诱导公式及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B错误； 对于C：，， 又在上单调递减，所以，即，故C错误； 对于D：，， 又在上单调递增，所以，所以，故D正确. 故选：D. 8. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对边分别为，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则符合条件的三角形有两个 C. 的最大值为32 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由余弦定理将角化边，即可判断A；利用正弦定理判断B；由余弦定理及基本不等式判断C，将转化为的三角函数，结合的范围及正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由正弦定理得，解得， 故符合条件的三角形不存在，故B错误； 对于C：由余弦定理得， 即， 所以，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：， 因为，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列的前项和为（），则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 当时，的最小值为 C. 数列是公差为的等差数列 D. 若数列是单调递增数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合数列项与和的关系，等差数列的定义，以及二次函数的单调性，一一判断即可. 【详解】对于选项A，因为，又，所以，即， 所以，故A正确； 对于选项B，当时，因为，而， 所以的最小值不一定为，故B不正确； 对于选项C，当时，，则满足此式， 故，因此数列是公差为的等差数列，故C正确； 对于选项D，当时，不是单调递增数列； 当，因为，所以当数列是单调递增数列时，， 得. 综上，当数列是单调递增数列时，，故D正确． 故选：ACD． 11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点为，点为坐标原点，动点满足.下列四个命题中，正确的是（ ） A. 点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B. 点的横坐标的取值范围是 C. 的最小值为 D. 的面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；B项结合曲线方程特征消元转化进行判断即可；C项根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；D项根据方程特征求得P纵坐标的范围，结合三角形面积公式进行判断即可. 【详解】由题意可知P的轨迹方程为：， 则关于轴对称的点的横纵坐标满足 ， 同理关于轴对称的点， 关于原点对称的点均满足轨迹方程 ， ， 即P的轨迹关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称，故A正确； 由基本不等式可知，当且仅当， 即时取得最小值，故C正确； 将轨迹方程平方得 ， 整理得， 解之得， 所以，故B错误； 又因为，故， 当且仅当时取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】难点在于对轨迹方程的变形与化简，利用方程的特点求横纵坐标的取值范围是本题关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线，则双曲线的焦距为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得与，进而可得焦距. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为， 由双曲线方程可知，， 则， 所以， 即双曲线的焦距为， 故答案为：. 13. 若，则取得最小值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数运算的性质计算出与的关系式，再利用乘“1”法与基本不等式计算即可. 【详解】由 可整理得，得， 所以， 当且仅当即时取等号，结合，解得， 故答案为：. 14. 已知，若恒成立，则m的最大值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】利用参变分离，根据结合基本不等式求得结果. 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ， 当且仅当，即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知曲线． （1）若在点处的切线与直线平行，求实数的值； （2）若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. 【小问2详解】 由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 16. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得性质可得平面，可得，由已知可得，由线面垂直的判定定理可得结论； （2）连结交于，连结，证明四边形是平行四边形，则为的中点，进而有，再根据线面平行的判定定理即可得证； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向向和平面一个法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 在矩形中，，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又是的中点，， 所以，又，平面，所以平面， 【小问2详解】 连结交于，连结， 因为四边形是矩形，所以，且， 又分别为的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；    【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可知平面，所以平面的一个法向量， 所以， 由图可知所求二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 17. 第八届长三角国际创新挑战赛安徽赛区比赛日前在马鞍山市举办，大赛聚焦新能源汽车、生物医药等前沿领域，共征集到107项技术需求，吸引了省内外众多高校与科研团队参与揭榜攻关．其中，安徽本省的一支优秀科研团队——“徽创未来”团队，已成功进入现场赛的最终答辩环节．该团队共有6名核心成员，按研究方向分为三个小组：硬件组2人、算法组2人、数据组2人．现从6人中随机抽取3人组成现场答辩代表小组，每名成员被抽中的概率相等． （1）求事件“硬件组的和算法组的同时被抽中”的概率； （2）求事件“硬件组恰有1人被抽中”的概率； （3）已知答辩代表小组的3人中至少有2人答辩通过，该团队答辩通过．现被选中组成答辩代表小组，三人各自答辩通过的概率分别为，三人答辩通过相互独立，求该团队答辩通过的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合列举法进行求解即可； （3）根据独立事件概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 从6人中随机抽取3人的所有可能组合为：， ， ， ，共20种． 记“硬件组的和算法组的同时被抽中”为事件，则事件包含：， ，共4种，所以． 【小问2详解】 记“硬件组恰有1人被抽中”为事件，则事件包含：， ， ，共12种，所以． 【小问3详解】 记答辩通过分别为事件H，A，D，则， 记“该团队答辩通过”为事件，则， 18. 若各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若正项等比数列，满足，求； （3）对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据项与和的关系，可得到数列的递推公式，由此判断数列是等差数列，从而求得其通项公式； （2）由题意求出等比数列的通项公式，根据错位相减求和法，求得； （3）分离参数，并构造新函数，通过分析新函数的最值情况，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由，可得，且， 又，所以，  即， 因为，所以，所以， 所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. 【小问2详解】 设公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以，  ， 两式相减得:. 所以； 【小问3详解】 由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以，   ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，点在椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）过的直线l与椭圆C相交于两点，设的中点为， ①若直线的斜率为1，求； ②若点，判断与大小，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）① ；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上求解即可； （2）①写出直线l的方程，与椭圆方程联立，解得横坐标，利用弦长公式即可求解；②当斜率等于0时，直线为y＝0，即可判断；当斜率不等于0时，设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算可得，则，得点在以为直径的圆内，即可判断． 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c，则依题意有，解得， 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 ①由题意可知直线l的方程为：， 设，联立，消去并整理可得， 即，解得， 即； ②，证明如下： 因为点， 当直线斜率等于0时，直线的方程为，此时， 即； 当斜率不等于0时，设直线的方程为， 联立，消去并整理得， ， 设，则，， 则 故，即点在以为直径的圆内， 又的中点为，故， 综上所述． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $