9.3公式法第1课时导学案2025-2026学年苏科版八年级数学下册

《9.3公式法第1课时用平方差公式分解因式》导学案 学科 数学 年级册别 八年级下册 共1课时 教材 苏科版义务教育教科书·数学八年级下册 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 本节内容是在学生已经学习了整式乘法、提公因式法分解因式的基础上，进一步学习用公式法分解因式。平方差公式作为因式分解的重要工具，是后续学习分式化简、解一元二次方程等知识的基础。 教材通过具体实例引导学生回顾平方差公式的乘法形式，再通过逆向思维自然过渡到因式分解形式。重点在于让学生理解平方差公式的结构特征，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 学习这部分内容，不仅能拓展学生分解因式的方法，培养学生的逆向思维能力，还能为解决更复杂的数学问题提供有力工具。教学中应注重引导学生观察式子结构，准确识别公式中的"a"与"b"，并能灵活运用公式解决问题。 课时教学目标 1.知识与技能：理解并掌握用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式对多项式进行因式分解。 2.过程与方法：经历探索平方差公式因式分解的过程，体会逆向思维的数学思想，培养观察、分析和解决问题的能力。 3.情感态度与价值观：通过运用平方差公式解决实际问题，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣，培养严谨的思维习惯。 教学重点、难点 重点 1.理解平方差公式的结构特征，掌握用平方差公式分解因式的方法。 2.能正确运用平方差公式分解因式，并能与提公因式法结合使用。 难点 1.准确识别多项式是否符合平方差公式的结构特征，正确确定公式中的"a"与"b"。 2.分解因式要彻底，能综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解。 【课前预习·自主探究】 活动一：回顾旧知，引入新知 1. 计算：(x+3)(x-3) = __________；(2a+b)(2a-b) = __________ 2. 上述两个乘法算式的结果有什么共同特点？________________________ 3. 把上述两个等式反过来写：x²-9 = __________；4a²-b² = __________ 4. 思考：这种变形与整式乘法有什么关系？________________________ 活动二：探究平方差公式的结构特征 1. 平方差公式用字母表示为：a²-b² = __________ 2. 观察公式左边的特征：是__________项式，两项都能写成__________的形式，且两项的符号__________。 3. 公式右边的特征：是两个整式的__________，其中一个因式是这两个数的__________，另一个因式是这两个数的__________。 4. 判断下列多项式能否用平方差公式分解因式，若能，请指出公式中的a和b： （1）x²-4：__________，a=____，b=____ （2）-y²+16：__________，a=____，b=____ （3）m²+9：__________，理由：__________ 活动三：尝试用平方差公式分解因式 分解下列因式： 1. x²-1 = __________ 2. 9a²-16b² = __________ 3. (x+2)² - y² = __________ 【课堂检测·巩固提升】 1. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. x²+4y² B. -x²-4y² C. x²-4y² D. x²+xy+y² 2. 分解因式： （1）a²-25 = __________ （2）4m²-9n² = __________ （3）x²y²-1 = __________ 3. 分解因式： （1）(m+n)² - (m-n)² = __________ （2）x⁴-16 = __________（提示：分解要彻底） 4. 先分解因式，再求值： 4x²-9y²，其中x=3，y=1 解：原式=__________=__________ 当x=3，y=1时，原式=__________ 5. 在一个边长为a的大正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a>b）， （1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积：__________ （2）将阴影部分拼成一个长方形，画出图形，并求出这个长方形的长和宽： 长=__________，宽=__________ （3）比较（1）和（2）的结果，你能得出什么结论？________________________ 【课后拓展·实践应用】 1. 分解因式： （1）-16x²+81y² = __________ （2）(x-1)² - 4(x-1)+4（提示：先将(x-1)看作一个整体）= __________ （3）16(a-b)² - 9(a+b)² = __________ 2. 已知x+y=5，x-y=3，求x²-y²的值。 解：________________________ 3. 若a、b为正整数，且a²-b²=21，求a、b的值。 解：________________________ 4. 如图，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆， （1）用含R、r的代数式表示剩余部分的面积； （2）当R=7.5cm，r=1.25cm时，求剩余部分的面积（π取3.14）。 解：（1）________________________ （2）________________________ 5. 观察下列各式： 1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7，… （1）根据以上规律，写出第n个等式（n为正整数）：________________________ （2）利用所学知识说明（1）中等式成立的理由。 【参考答案】 【课前预习·自主探究】 活动一： 1. x²-9；4a²-b² 2. 都是两数平方差的形式 3. (x+3)(x-3)；(2a+b)(2a-b) 4. 是整式乘法的逆运算 活动二： 1. (a+b)(a-b) 2. 二；平方；相反 3. 积；和；差 4. （1）能，a=x，b=2；（2）能，a=4，b=y；（3）不能，两项符号相同 活动三： 1. (x+1)(x-1) 2. (3a+4b)(3a-4b) 3. (x+2+y)(x+2-y) 【课堂检测·巩固提升】 1. C 2. （1）(a+5)(a-5)；（2）(2m+3n)(2m-3n)；（3）(xy+1)(xy-1) 3. （1）4mn；（2）(x²+4)(x+2)(x-2) 4. (2x+3y)(2x-3y)；(6+3)(6-3)；27 5. （1）a²-b²；（2）a+b，a-b；（3）a²-b²=(a+b)(a-b) 【课后拓展·实践应用】 1. （1）(9y+4x)(9y-4x)；（2）(x-3)²；（3）(7a-b)(a-7b) 2. x²-y²=(x+y)(x-y)=5×3=15 3. a²-b²=(a+b)(a-b)=21，a+b=7，a-b=3，解得a=5，b=2 4. （1）πR²-4πr²；（2）π(R²-4r²)=π(R+2r)(R-2r)=3.14×(7.5+2.5)(7.5-2.5)=157cm² 5. （1）n²-(n-1)²=2n-1；（2）n²-(n-1)²=(n+n-1)(n-n+1)=(2n-1)×1=2n-1 学科网（北京）股份有限公司 $