精品解析：黑龙江绥化市望奎县五中等校2025-2026学年九年级下学期 数学试题(一)试题

第五中学初四下学期数学试题（一） 考试说明：本试卷共 三 大题，满分 120 分，时间 120分钟． 一．选择题（每小题3分，共36分）． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 5. 如图，已知直线//，含角的三角板的直角顶点C在上，角的顶点A在上，如果边AB与的交点D是AB的中点，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，逆命题是真命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 互为邻补角的两个角的和为180° C. 同位角相等，两直线平行 D. 矩形的对角线相等 7. 已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 54，55 B. 54，54 C. 55，54 D. 52，55 8. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 11. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 12. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，．则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（每小题3分，共30分）． 13 分解因式：________ 14. 若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是______． 15. 如图，等边，点在轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则的值是 ______ ． 16. 甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________． 17. 如图，无人机在离地面的点处，测得操控者的俯角为30°，测得教学楼顶部点的俯角为45°．已知操控者和教学楼之间的水平距离为80m，教学楼的高度是______m． 18. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 19. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 20. 已知是方程的两根，则的值为_________ 21. 如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，10，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为______． 22. 如图，在矩形中，，E为上一动点，连接．将沿折叠，当点恰好落在矩形的对角线上时，的长为 ____________________ ． 三．解答题：（共54分） 23. 如图，在中，，． （1）用尺规在线段上找一点，连接，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2），试求的长． 24. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中信息，解决下列问题： （1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； （2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整； （3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 25. 自主研发和创新让我国科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 26. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC． （1）求证：PA是⊙O切线； （2）证明：； （3）若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长． 27. 四边形是正方形，点在射线上，以点，点为顶点作正方形（点，，，按顺时针方向排列），连接，． （1）如图1，点在线段上，求证：； （2）如图2，点在线段上，连接．求证：； （3）当，以点，，，为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时的长． 28. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， （1）求抛物线的解析式； （2）当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ （3）若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五中学初四下学期数学试题（一） 考试说明：本试卷共 三 大题，满分 120 分，时间 120分钟． 一．选择题（每小题3分，共36分）． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的应用．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按照要求表示即可求解． 【详解】解：亿． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，二次根式的加减运算和负指数幂的运算法则逐项判断即可． 【详解】A．，本选项错误，不符合题意； B．，本选项错误，不符合题意； C．，本选项正确，符合题意； D．，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，二次根式的加减运算和负指数幂的运算法则，熟练掌握这些运算法则是解本题的关键． 4. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 5. 如图，已知直线//，含角的三角板的直角顶点C在上，角的顶点A在上，如果边AB与的交点D是AB的中点，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DC，则∠DCA=∠DAC=30°，再利用三角形外角性质得到∠2=60°，然后根据平行线的性质求∠1的度数． 【详解】如图，设∠1的同旁内角为∠2， ∵D是斜边AB的中点，∠ACB=90°， ∴DA=DC=BD， ∴∠DCA=∠DAC=30°， ∴∠2=∠DCA+∠DAC=60°， ∵， ∴∠1+∠2=180°， ∴∠1=180°-60°=120°． 故选：D． 【点睛】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了平行线的性质．利用斜边的中线等于斜边的一半求出∠DCA=∠DAC=30°是解答本题的关键． 6. 下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 互为邻补角的两个角的和为180° C. 同位角相等，两直线平行 D. 矩形的对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出四个命题的逆命题，根据对顶角，邻补角，矩形的定义，以及平行线的性质与判定进行判断即可． 【详解】逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题，不符合题意； 逆命题为：和为180°的角互为邻补角，为假命题，不符合题意； 逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真命题，符合题意； 逆命题为：对角线相等的图形为矩形，为假命题，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查对顶角，邻补角，矩形的定义，平行线的性质与判定，能够熟练掌握平行线的性质与判定间的关系是解决本题的关键． 7. 已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 54，55 B. 54，54 C. 55，54 D. 52，55 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义，直接求解即可． 【详解】解：58，53，55，52，54，51，55从小到大排序后：51，52，53，54，55，55，58， 中间一个数为54，即中位数为54， 55出现次数最多，即众数为55， 故选A． 【点睛】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键． 8. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型客车每辆坐人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设型客车每辆坐人， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得AE的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，结合函数关系式找到对应的图象. 【详解】如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠B＝60°，设边AB的长为x， ∴AE＝AB•sin60°＝x． ∵平行四边形ABCD的周长为12 ∴BC＝（12﹣2x）＝6﹣x， ∴y＝BC•AE＝（6﹣x）×x＝﹣x2+x（0≤x≤6） 则该函数图象是一开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C选项符合题意． 故选C． 【点睛】考查了动点问题的函数图象．掌握平行四边形的周长公式和解直角三角形求得AD、BE的长度是解题的关键． 10. 如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图得出最底层小正方体的个数，根据主视图得出第二层最多有几个小正方体，即可得出答案． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体所需的小正方体最多为个． 故选A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是根据主视图判断出第二层最多有几个小正方体． 11. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解． 详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴=2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 12. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点，．则由抛物线的特征写出如下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、图象与y轴的交点可分别确定a、b、c的符号，进而可判断①； 根据抛物线与x轴的交点的个数可判断②； 根据当时对应的函数值并结合图象可判断③； 设，则，把点A的坐标代入解析式即可判断④． 【详解】解：①观察图象可知，开口向上可得，对称轴在y轴右侧可得，与轴交于负半轴可得，∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点，∴，即，故②错误； ③当时，由图象知在第二象限，∴，故③正确； ④设，则，∵，∴，把点A代入抛物线得，又，∴，故④正确； 所以正确结论有①③④三个，故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，常数项决定抛物线与轴交点的位置；抛物线与轴交点个数由决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共30分）． 13. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 14. 若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解建立关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，等边，点在轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则的值是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义，得出，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点， 是正三角形， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提． 16. 甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如图所示： ， 共有9种等可能的结果，甲获胜的情况有3种， 甲获胜的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 17. 如图，无人机在离地面的点处，测得操控者的俯角为30°，测得教学楼顶部点的俯角为45°．已知操控者和教学楼之间的水平距离为80m，教学楼的高度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，作于点，由，得到的长，再由四边形是矩形以及，得出答案． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由题可知：，， 在中，， ， (米)， (米)， ， 四边形是矩形， (米) 在， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，三角函数的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是根据题意构造直角三角形． 18. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 19. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．解题的关键是熟知各自的性质． 【详解】解：依题意可得且， 解得，且． 故函数中自变量x的取值范围是． 故答案为：． 20. 已知是方程的两根，则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两根， ，， ， ∴． 故答案为：． 21. 如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，8，10，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，．则依图中所示规律，的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以发现规律，图中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，根据，可以判断点在x轴正半轴，横坐标为，纵坐标为0，然后按照规律即可求解． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ，，，，，，，，， ， ，，， ∴， ， 点在x轴正半轴，横坐标为，纵坐标为0， 的坐标为为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键． 22. 如图，在矩形中，，E为上一动点，连接．将沿折叠，当点恰好落在矩形的对角线上时，的长为 ____________________ ． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据勾股定理，得到，设，则，根据，得到， 利用勾股定理，三角函数的定义解答即可． 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：矩形中，， ∴，，， ∴， 当点恰好落在矩形的对角线上时，如图 根据折叠的性质，得，，， ∴， 设，则， ∴ 解得． ∴的长． 当点恰好落在矩形的对角线上时，如图 根据矩形的性质，得，， 根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴的长． 故答案为：3或． 三．解答题：（共54分） 23. 如图，在中，，． （1）用尺规在线段上找一点，连接，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2），试求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交线段于点，连接，可知，所以 ． （2）根据题目中角的度数及线段垂直平分线的性质，可求得，即为等边三角形，据此可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交线段于点，连接． 【小问2详解】 解：垂直平分， ． ． ． 又， 为等边三角形． ． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的作法（依据：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）及性质（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），熟记线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键. 24. 某校道德与法治学科实践小组就近期人们比较关注五个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统；D．电动汽车；E．光伏产品”，对学生进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）实践小组在这次活动中，调查的学生共有 人；最关注话题扇形统计图中的 ，话题D所在扇形的圆心角是 度； （2）将图中的最关注话题条形统计图补充完整； （3）实践小组进行专题讨论时，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．北斗导航；C．Harmony OS系统”中抽签（不放回）选一项进行发言．请利用树状图或表格，求出两个小组分别选择A，B话题发言的概率． 【答案】（1）200，25，36 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率： （1）用B的人数除以其人数占比即可得到答案；求出C的人数，进而求出A的人数，进一步计算即可求解； （2）根据（1）的结论补全统计图即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两个小组选择A、B话题发言的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 小问1详解】 解：调查的学生共有：（人）， 选择C的学生有：（人）， ∴选择A的学生有：（人）， ， ， 故答案为：200，25，36； 【小问2详解】 解：补全的条形统计图如图所示： ； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6个等可能的结果，甲、乙两个小组选择A、B话题发言的结果有2个， ∴两个小组选择A、B话题发言的概率为． 25. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出值________． 【答案】（1）购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【小问1详解】 设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 【小问2详解】 设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 【小问3详解】 ①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 26. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）证明：； （3）若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=． 【解析】 【分析】（1）先判断出PA=PC，得出∠PAC=∠PCA，再判断出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠CBA=90°，再判断出∠PCA+∠CAB=90°，得出∠CAB+∠PAC=90°，即可得出结论； （2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2=OP•OD，进而得出 ，，即可得出结论； （3）Rt△ADF中，设AD=a，得出DF=3a．，AO=OF=3a-4，最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2，即可得出结论． 【详解】（1）证明∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°． 又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线； （2）证明：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°， ∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴． 又，∴，即． （3）解：在Rt△ADF中，设AD=2a，则DF=3a．，AO=OF=3a-4． ∵，即，解得，∴DE=OE-OD=3a-8=． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出Rt△AOD∽Rt△POA是解本题的关键． 27. 四边形是正方形，点在射线上，以点，点为顶点作正方形（点，，，按顺时针方向排列），连接，． （1）如图1，点在线段上，求证：； （2）如图2，点在线段上，连接．求证：； （3）当，以点，，，为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，，证明，由全等三角形的性质得出； （2）连接，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出； （3）分两种情况，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ； ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图3，当点F在线段上时， 设，则， ∴， 过点E作于点M， ∵， ∴A，E，D，F四点共圆， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得，（舍去）， ∴； ②如图4，当点F在线段的延长线上时，连接， 设， ∴， ∵，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 28. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， （1）求抛物线的解析式； （2）当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ （3）若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （3）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【小问1详解】 解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， ∵， 当时，的面积最大，最大面积为； 【小问3详解】 解：， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $