9.2提公因式法 导学案2025-2026学年苏科版八年级数学下册

《9.2提公因式法》导学案 学科 数学 年级册别 八年级下册 共1课时 教材 苏科版八年级数学下册 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 本节内容是苏科版八年级数学下册第九章《因式分解》的第二节。因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它与整式乘法是互逆运算，是后续学习分式化简、解方程及代数式变形的重要基础。 提公因式法是因式分解的最基本、最常用的方法，其理论依据是乘法分配律的逆运用。教材首先通过具体实例引导学生观察多项式各项的公因式，然后引出提公因式法的概念和操作步骤。学好提公因式法，不仅能为后续学习公式法因式分解奠定坚实基础，也能培养学生的观察、分析和归纳能力，提升代数变形的技能。 教材注重从具体到抽象的认知过程，通过例题示范和练习巩固，帮助学生掌握确定公因式的方法和提公因式的步骤，强调提公因式要彻底，以及提公因式后另一个因式的确定。 课时教学目标 1.理解公因式和提公因式法的概念，能准确找出多项式各项的公因式。 2.掌握提公因式法分解因式的步骤和方法，能熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。 3.经历探索提公因式法的过程，体会从具体到抽象、类比、转化的数学思想，培养观察、分析和解决问题的能力。 4.在解决问题的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。 教学重点、难点 重点 1.理解公因式的概念，会准确找出多项式各项的公因式。 2.掌握提公因式法分解因式的步骤，并能正确运用提公因式法进行因式分解。 难点 1.准确找出多项式中各项的公因式，特别是当公因式为多项式时。 2.提公因式后，对另一个因式的正确确定，确保分解彻底。 【课前预习·自主探究】 活动一：回顾旧知，引入新知 1. 计算： (1) 3a(2b + c) = _____________ (2) x(x - 5) = _____________ (3) (a + b)(m + n) = _____________ 2. 思考：上述运算是什么运算？它们的逆运算是什么？ _________________________________________________ 活动二：探索公因式 观察下列多项式的各项，看看它们有什么共同的特点： 1. 6a²b - 9ab² 各项系数的最大公约数是：______ 各项中相同的字母是：______ 相同字母的最低次数分别是：______ 因此，这个多项式各项的公因式是：______ 2. 4x²y³ + 8x³y² - 12x⁴y 各项系数的最大公约数是：______ 各项中相同的字母是：______ 相同字母的最低次数分别是：______ 因此，这个多项式各项的公因式是：______ 3. 通过以上两题，你认为如何确定一个多项式各项的公因式？ _________________________________________________ 活动三：尝试分解 根据乘法分配律的逆运算，尝试将下列多项式写成两个整式乘积的形式： 1. 6a²b - 9ab² = _____________ 2. 4x²y³ + 8x³y² - 12x⁴y = _____________ 3. 你能给这种分解方法起个名字吗？_________________ 【课堂检测·巩固提升】 1. 指出下列多项式中各项的公因式： （1）5x² - 15x：公因式是_________ （2）7a²b³ - 21ab²c：公因式是_________ （3）-4x³y² + 6x²y - 2xy：公因式是_________ （4）a(x - y) + b(x - y)：公因式是_________ 2. 用提公因式法分解下列因式： （1）8m²n + 2mn 解： （2）12xyz - 9x²y² 解： （3）-4a³b² + 6a²b - 2ab 解： （4）3(x - 1)³y - (1 - x)³z 解： 3. 利用因式分解计算： （1）7.6×202.4 + 4.3×202.4 - 1.9×202.4 解： （2）999² + 999 解： 4. 若多项式x² + mx + 15可以分解为(x + 3)(x + n)，求m、n的值。 解： 【课后拓展·实践应用】 1. 把下列各式分解因式： （1）-a²b - ab² + abc （2）(a + b)² - (a + b)(a - c) （3）x(x - y)² - y(y - x)² （4）3a²(x - y)³ - 4b²(y - x)² 2. 已知x + y = 5，xy = 3，求代数式x²y + xy²的值。 3. 已知a² + a - 1 = 0，求代数式a³ + 2a² + 2023的值。 4. 观察下列等式： ① 1×2 + 2×1 = 2×2 ② 2×3 + 3×2 = 2×6 ③ 3×4 + 4×3 = 2×12 ④ 4×5 + 5×4 = 2×20 ... ... （1）根据以上规律写出第⑤个等式：_____________________ （2）用含字母n（n为正整数）的等式表示这个规律，并说明理由。 5. 阅读材料：分解因式时，如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。 请依照以上材料分解因式：-2x³ + 8x² - 8x 【参考答案】 【课前预习·自主探究】 活动一： 1. (1) 6ab + 3ac；(2) x² - 5x；(3) am + an + bm + bn 2. 整式乘法；它们的逆运算是因式分解。 活动二： 1. 3；a, b；a¹, b¹；3ab 2. 4；x, y；x², y¹；4x²y 3. 确定公因式的方法：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项中相同的字母；③相同字母的指数取最低次幂。 活动三： 1. 3ab(2a - 3b) 2. 4x²y(y² + 2xy - 3x²) 3. 提公因式法 【课堂检测·巩固提升】 1. （1）5x；（2）7ab²；（3）-2xy；（4）(x - y) 2. （1）8m²n + 2mn = 2mn(4m + 1) （2）12xyz - 9x²y² = 3xy(4z - 3xy) （3）-4a³b² + 6a²b - 2ab = -2ab(2a²b - 3a + 1) （4）3(x - 1)³y - (1 - x)³z = 3(x - 1)³y + (x - 1)³z = (x - 1)³(3y + z) 3. （1）7.6×202.4 + 4.3×202.4 - 1.9×202.4 = 202.4×(7.6 + 4.3 - 1.9) = 202.4×10 = 2024 （2）999² + 999 = 999×(999 + 1) = 999×1000 = 999000 4. 解：∵ (x + 3)(x + n) = x² + (3 + n)x + 3n，又∵x² + mx + 15 = (x + 3)(x + n) ∴ 3n = 15，m = 3 + n 解得 n = 5，m = 8 【课后拓展·实践应用】 1. （1）-a²b - ab² + abc = -ab(a + b - c) （2）(a + b)² - (a + b)(a - c) = (a + b)[(a + b) - (a - c)] = (a + b)(b + c) （3）x(x - y)² - y(y - x)² = x(x - y)² - y(x - y)² = (x - y)²(x - y) = (x - y)³ （4）3a²(x - y)³ - 4b²(y - x)² = 3a²(x - y)³ - 4b²(x - y)² = (x - y)²[3a²(x - y) - 4b²] = (x - y)²(3a²x - 3a²y - 4b²) 2. 解：x²y + xy² = xy(x + y)，当x + y = 5，xy = 3时，原式 = 3×5 = 15 3. 解：∵ a² + a - 1 = 0，∴ a² + a = 1 a³ + 2a² + 2023 = a³ + a² + a² + 2023 = a(a² + a) + a² + 2023 = a×1 + a² + 2023 = (a² + a) + 2023 = 1 + 2023 = 2024 4. （1）5×6 + 6×5 = 2×30 （2）规律：n(n + 1) + (n + 1)n = 2n(n + 1) 理由：左边 = n(n + 1) + n(n + 1) = 2n(n + 1) = 右边，所以等式成立。 5. 解：-2x³ + 8x² - 8x = -2x(x² - 4x + 4) = -2x(x - 2)² 学科网（北京）股份有限公司 $