精品解析：四川绵阳市梓潼县文昌初级中学校等四校联考2025-2026学年九年级下学期阶段数学试卷

2025-2026学年九年级下学期开学 九年级数学 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：是轴对称图形；是中心对称图形； 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形． 2. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A. x2﹣2x+5＝0 B. x2﹣2x﹣5＝0 C. x2+2x﹣5＝0 D. x2+2x+5＝0 【答案】B 【解析】 【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可． 【详解】解：（x-1）2=6， x2-2x+1-6=0， x2-2x-5=0， 即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x2-2x-5=0， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 煮熟的鸭子飞了 D. 买一张彩票，一定不会中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，符合题意； C、煮熟的鸭子飞了是不可能事件，不符合题意； D、买一张彩票，一定不会中奖是随机事件，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，根据题意可得的半径为，再由，则可以求出，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】解：连接， ∵的直径， ∴的半径为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 5. 设圆内接正六边形的一个内角的度数为，一条边所对的圆心角度数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接多边形，正多边形的内角问题以及弧、弦、圆心角的关系等知识，分别求出圆内接正六边形的一个内角度数和一条边所对的圆心角度数，再分析两者的数量关系，即可获得答案． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴一个内角的度数， ∵圆周为，正六边形六条边所对的圆心角相等， ∴一条边所对的圆心角度数， ∴． 故选：B． 6. 从开始，当时针与分针第一次成角时，所经过的时长（答案四舍五入到整数）约是（ ）分钟． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】从开始，时针与分针夹角，时针在前，分针每分钟追赶，设经过t分钟两针成，列方程求解． 钟表问题需根据相对速度列方程，注意角度差变化． 【详解】解：∵ 在时，时针角度为，分针角度为， ∴ 夹角为， 时针在前． 设经过t分钟，两针第一次成角时，分针在时针前． 则分针角度：，时针角度：， ∴ 即， ∴ 四舍五入得25分钟． ∴ 所经过时长约25分钟． 故选：C． 7. 如图，内接于，若半径为，，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据圆周角定理可得，然后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径， ∴阴影部分的面积=扇形的面积的面积 ， 故选：C． 8. 反比例函数的图象一定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可． 【详解】解：A、因为，所以此点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、因为，所以此点在反比例函数的图象上，符合题意； C、因为，所以此点不在反比例函数的图象上，不符合题意； D、因为，所以此点不在反比例函数的图象上，不符合题意． 故选：B． 9. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键． 先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过作轴的垂线交x轴于点D，证明可得，再运用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第2025秒旋转结束时，绕点逆时针旋转了，过作轴的垂线交x轴于点D，如下图， 由旋转可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 10. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 【答案】C 【解析】 【分析】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：假设修建的路宽应x米，则， ， 整理得： 解得：米，米(不合题意舍去)， 故选C． 11. 使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解与一元二次方程根的判别式，解题的关键是分别求出不等式组中的取值范围和方程有实数根时的取值范围，再确定符合条件的整数并求和． 先解不等式组得到解集，根据整数解个数确定的范围；再根据一元二次方程有实数根的条件（判别式且二次项系数不为0）确定的范围，取公共部分的整数求和． 【详解】解：由解得：； 由解得：． 故解集为． 因有且只有3个整数解（0、1、2），故，解得． 对于一元二次方程， 由得； 由，得． 结合得且，整数为3、4，和为． 故选：B． 12. 题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（ ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长，切线的判定和性质等．连接，根据圆周角定理可得，从而得到，可判断①；连接，其中与交于点D，根据题意可得，从而得到，再由圆周角定理可得，可判断②；当与圆O相切时，此时与圆O交于点K，证明与圆O相切，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与半圆O相切，故①正确； 如图，连接，其中与交于点D， ∵直径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， 即在旋转过程中，的长为定值，故②正确； 如图，当与圆O相切时，此时与圆O交于点K， 此时， ∴， 此时点O到的距离等于， ∵圆O的半径为， ∴与圆O相切，， 此时满足，满足题意， 由①得：， ∴当点K在半圆O内时，的取值范围为，故③错误． 故选：B 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，连接，，，，．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】作关于的对称点，连接，，，，． 则， ∴时， 当共线时，取得最小值时， 点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 【点睛】最短路径问题常见的一种方法是利用轴对称将两条线段的和化折为直． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是． 则，，． ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， 则． 故答案是：． 15. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键； 设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴长为． 故答案为：5． 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 17. 关于二次函数，以下说法：①函数图象的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而减小；⑤是二次函数图象上一点，若，则或；正确的有___________．（填写正确的序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的图象及性质等．根据二次函数的顶点形式，判断开口方向、对称轴、最值及增减性；对于不等式，求解满足条件的自变量范围． 【详解】解∶∵， ∴， 故图象开口向上，①正确； 函数图象的顶点坐标是，最小值为 5，故②错误； 对称轴为直线 ，故③正确； 当 时，函数值随自变量增大而增大，故④错误； 由 得 ，即 ，解得 或 ，故⑤正确． 故答案为①③⑤． 18. 如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内心和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．根据圆周角定理得到，由点I为的内心得到，由三角形内角和等于可知，，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵与分别是所对的圆周角与圆心角， ∴， ∵点I为的内心， ∴，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由三角形内角和等于可知， ，， ∴， 代入得． 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程； （2）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 【答案】（1）；（2）长方形菜园的长是，宽是 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的实际应用等． （1）利用配方法直接解一元二次方程即可； （2）根据题意设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，再列方程计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，符合题意． 答：长方形菜园的长是，宽是． 20. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ （2）先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，一元二次方程根的判别式，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据判别式可得，且，再画树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到满足，且的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四个小球，每个小球被摸出的概率相同，且数字是奇数的小球有2个， ∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是奇数的概率为； 【小问2详解】 解：∵a，b能使有两个实数根成立， ∴， ∴，且， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中满足，且的结果数有3种， ∴a，b能使有两个实数根成立的概率为． 21. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 【答案】（1） （2）10分米 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标F，根据抛物线的对称性计算出点E坐标，利用横坐标之差计算线段长． 【小问1详解】 解：根据题意，点，，， 设抛物线解析式为：，将坐标代入解析式得：， 解得：， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 设直线解析式为，将坐标代入得，，解得， ∴直线解析式为：， 联立函数解析式：， 解得：，或， ∴点F坐标为； 抛物线的对称轴是y轴， ∴点E的坐标为， ∴（分米）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 22. 如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）， （1）则 ； （2）求出等边的边长； （3）通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长． 【答案】（1）150 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，推出，进而得到是等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，即可得出； （2）过点作，交的延长线于，则，求出，，，最后由勾股定理进行计算即可； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H，通过旋转性质得到，，在中，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，进而可求出，再利用勾股定理求出，进而可求出正方形的周长． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形的周长为． 23. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得，即； 由周长为m，得，即，满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标； （2）画出函数图象：请先描出反比例函数的图象上的三个格点，再画出此反比例函数的图象；我们知道的图象可由直线平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围； （4）得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，则周长m的取值范围是 ． 【答案】（1）一 （2） 图象如下所示： （3）8；交点个数情况还有：0个和2个两种情况；当交点个数为0个时，；当交点个数为2个时，； （4） 【解析】 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （4）运用（3）的相关结论即可． 【小问1详解】 解：x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①把点代入得： ，解得：； ②在直线平移过程中，交点个数情况还有：0个、2个两种情况， 联立和并整理得：， 当交点个数为0个时，，解得， 当交点个数为2个时，时，解得或（舍去）， 综上，当交点个数为0个时，；当交点个数为2个时，； 【小问4详解】 解：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，此时． 24. 如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出，再由等面积法列式求出，最后再由勾股定理求出即可； （2）先证明，结合切线性质，等量代换得到即可得证； （3）先得到、，在中，求出，数形结合，得到，代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ∵为的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： ∵为的直径， ， 点是的中点， 在中，是斜边上的中线，则， ， ， ， 是的切线， ， ， 为半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ∵为的直径， ， 在中，，，，则， ∴， 则， ． 【点睛】熟记常用等面积法求边长的直角三角形、切线的判定方法—连半径证垂直、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 25. 已知抛物线过点 和 两点，交x轴于另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是上方抛物线上一点，连接，，，当平分 时，求P点坐标； （3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点． ①直线的解析式是 ； ②点G、H是“心形”图案上两点且关于对称，当线段的最长时，直接写出G点和H点的坐标分别为 ． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴交延长线于点，过作于点，证明，求得点坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解； （3）①根据顺时针旋转后的坐标特征可知对称轴为直线； ②连接，交与点，则，过点作轴的垂线，交于点,当最大时，面积最大，设，则，根据以及二次函数的性质求得当时,面积最大，求出此时点坐标，再根据①求出点坐标. 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交延长线于点，过作轴交轴于点． 由，令，则， 解得：，， 则， ∵，. ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， 则； 【小问3详解】 解：①∵抛物线关于轴对称，所以旋转后图形关于轴对称， ∴对于抛物线上任意一点关于原点旋转后对应点为在旋转后图形上，关于轴对称的点在旋转后图形上， ∵与关于对称， ∴图形关于直线对称， ∴直线解析式为， 故答案为：； ②如图，连接，交于点，则， 过点作轴的垂线，交于点， ∴当最大时，面积最大， 又∵，其中是定值， 设，则， ∴， ∴当时，面积最大， ∴， ∴由①可知关于的对称点． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期开学 九年级数学 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A. x2﹣2x+5＝0 B. x2﹣2x﹣5＝0 C. x2+2x﹣5＝0 D. x2+2x+5＝0 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 煮熟的鸭子飞了 D. 买一张彩票，一定不会中奖 4. 如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 设圆内接正六边形的一个内角的度数为，一条边所对的圆心角度数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 从开始，当时针与分针第一次成角时，所经过的时长（答案四舍五入到整数）约是（ ）分钟． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 如图，内接于，若半径为，，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 反比例函数的图象一定经过（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 2.5米 11. 使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于x的一元二次方程有实数根，所有整数的值之和为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. 题目：如图，将三角尺绕零刻度落在点A，直径为的量角器（半圆O）的点B旋转，分别交于点P，Q．已知，，，，点P在量角器上的读数为．下列说法正确的有（ ） ①若，则与半圆O相切； ②在旋转过程中，的长为定值； ③若点K在上，且，当点K在半圆O内时，的取值范围为． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在轴上，若的面积为5，则的值为___________． 15. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为______． 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 17. 关于二次函数，以下说法：①函数图象的开口向上；②二次函数的最小值为1；③该函数图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而减小；⑤是二次函数图象上一点，若，则或；正确的有___________．（填写正确的序号） 18. 如图，在中，若点O为外心，，若点I为的内心，求________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程； （2）一位农民计划用长的篱笆围成一个封闭式长方形菜园，菜园一边靠墙（墙的长度为），靠墙的一边不需要用篱笆．若菜园的面积为，则长方形菜园的长和宽分别是多少？ 20. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ （2）先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 21. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离． 22. 如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）， （1）则 ； （2）求出等边的边长； （3）通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长． 23. 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得，即； 由周长为m，得，即，满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标； （2）画出函数图象：请先描出反比例函数的图象上的三个格点，再画出此反比例函数的图象；我们知道的图象可由直线平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围； （4）得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，则周长m的取值范围是 ． 24. 如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 25. 已知抛物线过点 和 两点，交x轴于另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是上方抛物线上一点，连接，，，当平分 时，求P点坐标； （3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点． ①直线的解析式是 ； ②点G、H是“心形”图案上两点且关于对称，当线段的最长时，直接写出G点和H点的坐标分别为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $