9.1因式分解的概念导学案2025-2026学年苏科版八年级数学下册

《9.1因式分解的概念》导学案 学科 数学 年级册别 八年级下册 共1课时 教材 苏科版八年级数学下册 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 本节是苏科版八年级数学下册第九章《整式乘法与因式分解》的起始课。此前，学生已系统学习了整式的加减和乘法运算，特别是乘法公式的应用，为本节学习奠定了知识基础。因式分解是整式乘法的逆向变形，它不仅是后续学习分式运算、解一元二次方程的重要基础，也为解决代数式化简求值、整数分解质因数等问题提供了有力工具。 教材从整式乘法的逆运算入手，通过具体实例引导学生观察、归纳因式分解的概念。首先呈现形如m(a+b+c)=ma+mb+mc的整式乘法，然后提出"如何将ma+mb+mc变形为m(a+b+c)的形式"的问题，引发学生思考。在此基础上，给出因式分解的定义，并通过正例与反例的辨析，帮助学生准确理解概念的内涵与外延。 本节的学习，旨在培养学生的逆向思维能力，体会数学中的互逆关系。同时，因式分解的过程体现了化归与转化的数学思想，对学生后续数学学习方法的形成具有重要意义。 课时教学目标 1.理解因式分解的概念，能准确判断一个变形是否为因式分解。 2.能说出因式分解与整式乘法的区别与联系，理解两者之间的互逆关系。 3.能初步运用提公因式法（直接提公因式）对简单的多项式进行因式分解。 4.通过观察、比较、归纳等数学活动，体验数学概念的形成过程，发展抽象思维能力。 教学重点、难点 重点 1.因式分解的概念及其与整式乘法的关系。 2.运用提公因式法对多项式进行因式分解。 难点 1.理解因式分解的本质是把一个多项式化为几个整式的积的形式。 2.准确找出多项式各项的公因式，并正确运用提公因式法进行因式分解。 【课前预习·自主探究】 活动一：温故知新——整式乘法回顾 计算下列各式： 1. m(a+b) = _____________ 2. (x+2)(x-3) = _____________ 3. (a+3)² = _____________ 4. (2x-5)(2x+5) = _____________ 思考：这些运算的共同特点是什么？（将__________式转化为__________式） 活动二：逆向思考——初识因式分解 1. 观察下列等式，它们与活动一中的等式有什么关系？ （1）ma + mb = m(a + b) （2）x² - x - 6 = (x + 2)(x - 3) （3）a² + 6a + 9 = (a + 3)² （4）4x² - 25 = (2x - 5)(2x + 5) 2. 上述等式左边是什么形式？右边是什么形式？ 左边：____________________ 右边：____________________ 3. 尝试给这种变形下一个定义：____________________________________ 活动三：辨析概念——判断与举例 1. 判断下列变形是否是因式分解，并说明理由： （1）x² - 4 + 3x = (x + 2)(x - 2) + 3x ( ) 理由：________________ （2）6x²y = 2x·3xy ( ) 理由：________________ （3）a(a - b) = a² - ab ( ) 理由：________________ （4）x² - 2x + 1 = (x - 1)² ( ) 理由：________________ 2. 你能举出一个因式分解的例子吗？ ____________________________________ 【课堂检测·巩固提升】 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. (x+3)(x-3) = x² - 9 B. x² - 2x + 1 = x(x - 2) + 1 C. 8a²b³ = 2a²·4b³ D. x² - 8x + 16 = (x - 4)² 2. 若多项式x² + mx + n可分解为(x+2)(x-3)，则m=_____，n=_____。 3. 把下列多项式分解因式： （1）3x + 6y 解：____________________________________ （2）a²b - 5ab 解：____________________________________ （3）-4x³ + 12x² - 8x 解：____________________________________ （4）3(x - y) + a(x - y) 解：____________________________________ 4. 已知x + y = 5，xy = 3，求代数式x²y + xy²的值。 解：____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 5. 思考：多项式3a²b³ + 6a³b² - 9ab⁴的公因式是什么？如何分解？ 公因式：________________ 分解：____________________________________ 【课后拓展·实践应用】 1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A. x² - y B. x² + 2x C. x² + y² D. x² - xy + y² 2. 把下列各式分解因式： （1）-15a²b + 3ab 解：____________________________________ （2）6(x - 2) + x(2 - x) 解：____________________________________ （3）a(m - n)² + b(n - m)² 解：____________________________________ 3. 利用因式分解计算： （1）7.6×202.4 + 4.3×202.4 - 1.9×202.4 解：____________________________________ ____________________________________ （2）1001² - 1001 解：____________________________________ ____________________________________ 4. 若a + b = 7，ab = 12，求a²b + ab² - a - b的值。 解：____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ 5. 探索与思考： 观察下列等式： ① 1×2×3×4 + 1 = 25 = 5² ② 2×3×4×5 + 1 = 121 = 11² ③ 3×4×5×6 + 1 = 361 = 19² …… （1）根据以上规律，写出第④个等式：________________________ （2）用含n（n为正整数）的代数式表示上述规律，并说明理由。 规律：____________________________________ 理由：____________________________________ 【参考答案】 【课前预习·自主探究】 活动一： 1. ma + mb 2. x² - x - 6 3. a² + 6a + 9 4. 4x² - 25 思考：积；和（或差） 活动二： 2. 左边：多项式；右边：几个整式的积 3. 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）。 活动三： 1. （1）否，右边不是积的形式；（2）否，左边是单项式；（3）否，这是整式乘法；（4）是，符合因式分解定义。 2. （答案不唯一）如：x² - 4 = (x+2)(x-2) 【课堂检测·巩固提升】 1. D 2. m = -1，n = -6 3.（1）3(x + 2y)；（2）ab(a - 5)；（3）-4x(x² - 3x + 2)；（4）(x - y)(3 + a) 4. x²y + xy² = xy(x + y) = 3×5 = 15 5. 公因式：3ab²；分解：3ab²(ab + 2a² - 3b²) 【课后拓展·实践应用】 1. B 2.（1）-3ab(5a - 1)；（2）(x - 2)(6 - x)；（3）(m - n)²(a + b) 3.（1）202.4×(7.6 + 4.3 - 1.9) = 202.4×10 = 2024；（2）1001×(1001 - 1) = 1001×1000 = 1001000 4. a²b + ab² - a - b = ab(a + b) - (a + b) = (a + b)(ab - 1) = 7×(12 - 1) = 77 5.（1）4×5×6×7 + 1 = 841 = 29² （2）规律：n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n² + 3n + 1)² 理由：n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1 = (n² + 3n + 1)² 学科网（北京）股份有限公司 $