8.4梯形（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第八章 四边形 8.4梯形 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.让学生掌握梯形以及等腰梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关特征。 2.会用梯形的性质进行有关的论证和计算。 3.培养学生的观察能力、动手能力、计算能力、逻辑思维能力，让学生熟悉梯形中的问题经常转化成一个平行四边形。 小学里，我们已经认识了梯形，你能在下图中找出一些梯形吗? 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形(trapezi-um) B A C D 上底 下底 腰 腰 如图，四边形ABCD是梯形． 互相平行的一组对边中，较短的边叫作梯形 的上底，较长的边叫作梯形的下底． 另外两条边叫作梯形的腰． 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形(straight angle trapezium). 两腰相等的梯形叫作等腰梯形(isoscelestrapezium). B A C D 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC． 如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°． B A C D B A C D B A C (D) B A C (D) D D D B A C D B A C D B A C D B A C D 顶点D为直线AD上的动点．随着点D的移动，当AD缩短为一点时，梯形变成了三角形． 当AD延长至与BC相等时，梯形变成了平行四边形． 问题 梯形、三角形和平行四边形之间有什么关系? 梯形、三角形、平行四边形的面积之间有如下关系： h h h B A C B A C D B A C D a a a b S△ABC＝ah S梯形ABCD＝(a＋b)h b＝0 b＝a S▱ABCD＝ah B A C D 如图，完成下列操作，并回答问题： (1) 剪一张梯形纸片ABCD； (2) 分别取腰AB，CD的中点E，F，过点E，F作BC的垂线，垂足分别为G，H； (3) 沿EG，FH将纸片剪成三部分，你能拼得怎样的图形？ E F G H 矩形 活动 例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，如果AD=4，BC=8，∠B=60°，求AB的长. 解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于E， 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， ∴四边形AECD是平行四边形. ∴AE=CD，CE=AD=4.∴AB=AE. ∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE， ∵BE=BC-CE=8-4=4，∴AB=4. 例2.如图所示，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=CD=3，BC=4，AB=8，求梯形ABCD的面积. 解：如图，过点C作CM∥AD交AB于M，作CN⊥AB于N， ∵AD=CD=3，CD∥AB，CM∥AD，∴四边形ADCM是菱形， ∴CM=AM=AD=3，∵AB=8，∴BM=5， ∵CM2+BC2=32+42=25，BM2=25，即CM2+BC2=BM2， ∴∠BCM=90°.∵S△BCM=BC·CM=BM·CN， ∴×4×3=×5×CN，解得CN=， ∴S梯形ABCD=(CD+AB)·CN=×(3+8)×=. 证明：因为AD∥BC，∠A＝90°， 所以∠ABC＝90°，所以∠ABD＝90°－∠EBC. 因为CE⊥BD，所以∠ECB＝90°－∠EBC， 所以∠ABD＝∠ECB. 又因为∠A＝∠BEC＝90°，BD＝BC，所以△ABD≌△ECB. 例3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为点E. (1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 解：因为∠DBC＝50°，BC＝BD，所以∠CDE＝65°. 因为∠BEC＝90°，所以∠DCE＝25°. 例4.如图所示，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=CD，作CE∥AD交AB于点E. (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若AC⊥BC，∠B=60°，求证：梯形ABCD是等腰梯形. （1）证明　∵CD∥AB，CE∥AD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AD=CD，∴四边形AECD是菱形. （2）证明　∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°， ∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=30°， ∵四边形AECD是菱形，∴EC=EA=AD. ∴∠ACE=∠BAC=30°，∴∠BEC=60°， ∴∠BEC=∠B，∴EC=CB，∴AD=CB，∴梯形ABCD是等腰梯形. 教材P93 练习 课内练习 1.如图，DE是ABC的中位线，四边形DBCE是怎样的四边形?为什么? 解：四边形DBCE是梯形 理由是：∵DE是△ABC 的中位线 ∴DE∥BC ∵ AB与AC不平行， ∴四边形DBCE是梯形 2.如图，在□ABCD中，点E在边BC的延长线上，连接DE，DE=DC.求证:四边形ABED是等腰梯形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BE，AB＝DC． ∵DE＝DC， ∴ AB＝DE． ∵ DE与AB不平行， ∴四边形ABED是等腰梯形． 3.如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含多少个等腰梯形？ 教材P93 习题 5. 如图，在梯形ABCD中，∠B＝∠C，E，F是下底BC上的两点，BE＝CF，连接DE，AF．求证：DE＝AF． B A C D E F G 证明：过D点作DG∥AB，交BC与点G． ∵ 四边形ABCD是梯形，∴ AD∥BC． ∴ 四边形ADGB是平行四边形，∴ AB＝DG． ∵ DG∥AB，∴ ∠B＝∠DGC． ∵ ∠B＝∠C，∴ ∠C＝∠DGC． ∴ DG＝DC．∴ AB＝DC． ∵ BE＝CF，∴ BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE． ∴ △ABF≌△BCE，∴ DE＝AF． 4 .如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝8，CD＝10， 求梯形ABCD的面积． B A C D E 解　如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E， ∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形. ∴BE=AD=2，DE=AB=8. ∴CE=BC-BE=8-2=6. 在△CDE中，CE2+DE2=62+82=102=CD2， ∴△CDE为直角三角形，∠DEC=90°. ∴DE为梯形的高. ∴S梯形ABCD=(AD+BC)×DE=×(2+8)×8=40. 基础巩固题 知识点1 梯形的概念及性质 1.【2025湖北武汉质检】如图，在梯形中，， 分 别是梯形的上底和下底，与相交于点，若 的面 积是，的面积是，则与 的大小关系是( ) B A. B. C. D.无法确定 【解析】 四边形是梯形，,分别是梯形的上底和下底， ， ，， ．故选B. 2.【2025上海长宁区调研】如图，梯形中， ，且 ，设 ， ，那么与 的函数关系式 是_____________． 【解析】如图，在上截取，连接， 四边形 是平行四边形， ， 关键点拨 作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． ，， ， ， ， ，故答案为 ． 20 知识点2 等腰梯形与直角梯形 3.【2025湖北武汉二模】如图，在四边形中， , ,为等边三角形，若 ，则 的大 小是( ) C A. B. C. D. 【解析】 四边形中，,， 四边形 是等腰梯形， 为等边三角形， , ， ， .又，， ， ， ， ，故选C. 21 4.【2025上海嘉定区期末】如图，在等腰梯形中， ， 对角线，相交于点 ，有以下四个结论： ；； ； ．其中结论正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 等腰梯形中，，对角线，相交于点 , ，正确；又， , , ,， ， ，即，正确；和 不一定相等， 错误；, , ,， 正确.故选C. 22 能力提升题 7 5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE平分∠BCD，若AD＝3，BC＝4，则CD的长是________. 【点拨】如图，延长CE交DA的延长线于点F， ∵AD∥BC，∴∠1＝∠3. ∵E是AB的中点，∴AE＝EB. 又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，∴AF＝BC. ∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3，∴CD＝DF＝AD＋AF＝AD＋BC＝7. 29 6.[无锡月考]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，点M，N分别为AB，CD的中点，CD＝7，MN＝11，则线段AB＝________. 【点拨】过点N作NE∥AD，交AB于点E，作NF∥BC，交AB于点F，则∠NEF＝∠A，∠NFE＝∠B. ∵∠A＋∠B＝90°，∴∠NEF＋∠NFE＝90°， ∴∠ENF＝90°. ∵AB∥CD，∴四边形ADNE、四边形BCNF均为平行四边形，∴AE＝DN，BF＝NC，∴AE＋BF＝DC＝7. ∵点M，N分别为AB，CD的中点， ∴DN＝NC，AM＝MB，∴AE＝BF， ∴EM＝MF，∴EF＝2MN＝22， ∴AB＝AE＋BF＋EF＝7＋22＝29. 24 证明：因为AB∥DC，∠A＝90°，所以∠ADE＝90°. 由折叠易得AD＝DE，∠DEF＝90°，所以四边形ADEF是正方形． 7.如图，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，展开纸片并连接EF. (1)求证：四边形ADEF为正方形； 解：易知EG与BC不平行．因为CE∥BG，所以四边形ECBG是梯形．连接DG，易证△ADG≌△FEG，所以GE＝DG.又易证四边形DGBC是平行四边形，所以DG＝BC，所以BC＝GE，所以梯形GBCE是等腰梯形． (2)取线段AF的中点G，连接EG，如果BG＝CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形． 25 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝20 cm，BC＝10 cm，DC＝12 cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4 cm/s的速度沿A－B－C－D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s. 解：∵AB∥CD，∴当PQ＝BC＝10 cm且BC与PQ不平行时， 四边形BCQP是等腰梯形．如图，过Q，C分别作QE⊥AB， CF⊥AB，垂足分别为E，F，则易得四边形DAEQ为矩形， ∴AE＝DQ，若PQ＝BC，则易得PE＝BF＝AB－CD＝8 cm. ∵AE＝DQ，∴4t＋8＝12－t，解得t＝. ∴当t＝ 时，四边形BCQP是等腰梯形． (1)当t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形？ 26 8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝20 cm，BC＝10 cm，DC＝12 cm，P，Q同时从A，C出发，点P以4 cm/s的速度沿A－B－C－D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s. (2)是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由. 课堂小结 教科书第93页练习 第1，2题 布置作业 解：不存在．理由：易求得AD＝6 cm，则梯形ABCD的周长＝20＋10＋12＋6＝48(cm)，梯形ABCD 的面积＝＝96( cm2)．若线段PQ平分梯形ABCD的周长，则AP＋DQ＋AD＝×48＝24(cm)，即4t＋12－t＋6＝24，解得t＝2，此时，梯形APQD的面积为＝54(cm2)≠×96＝48(cm2)． ∴不存在某一时刻，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分． $