精品解析：甘肃兰州市某校2025-2026学年九年级下学期启新测评数学试卷

九年级启心数学测评卷 （本试卷满分120分，时间120分钟） 一、单选题（本大题11小题，每小题3分，共33分．） 1. 如图是由5个大小相同的立方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 目前全世界人口约8010000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了这样问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图． 根据上述信息，下列推断合理的是（ ）（填写序号）． ①年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；②年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；③年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量． A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 11. 下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 二、填空题（每小题3分，共12分．） 12. 分式有意义的条件是___________． 13. 如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 15. 如图，菱形对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围； （3）连接，，求的面积． 20. 如图1，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图2，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：_____． （2）求喷出水流的竖直高度与距离原点的水平距离之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 21. 已知正方形中，，是边上的动点，连接和． （1）尺规作图：在图中分别作线段和的中点和，连接；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹） （2）请直接写出与的关系． 22. 学校为丰富校园文化生活，提升学生对政史学科的学习兴趣，开展了主题为“知史明政，鉴往知来”的政史学科节活动．活动结束后，七、八年级各有800名学生参加了学科节知识竞赛．为了解竞赛成绩的分布情况，学校从两个年级各随机抽取部分学生的竞赛成绩，按以下四个评价等级进行整理：，，，四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 评价等级 成绩分 频数 频率 八年级测试成绩评价等级为的全部分数（单位：分）如下：． （1）表格中，_____，_____； （2）八年级测试成绩的中位数是_____； （3）若测试成绩不低于分，则认为该学生为“学科节优秀参与者”，请估计该校七、八两个年级为“学科节优秀参与者”的学生一共有多少人？ 23. 在综合实践活动中，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下表： 实践报告： 活动课题 测量西安小雁塔的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图所示，在处用高的测角仪测得塔顶的仰角为； 测量过程 【步骤二】向塔的方向前进到达处，在处用高的测角仪测得塔顶的仰角为．（在同一水平直线上） 解决问题 根据以上数据，求小雁塔的高约为多少米（结果精确到米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据，，， 24. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画圆，与边相切于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 【操作与发现】 如图①，在正方形中，点，分别在边、上．连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：． （1）【实践探究】在图①条件下，若，，则正方形的边长是__________． （2）如图②，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，若，求证：是的中点． （3）【拓展】如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，已知，，则长是__________． 26. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”． （1）线段关于点的“垂直图形”为线段． ①若点的坐标为，则点的坐标为_____． ②若点的坐标为，则点的坐标为_____． （2），线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级启心数学测评卷 （本试卷满分120分，时间120分钟） 一、单选题（本大题11小题，每小题3分，共33分．） 1. 如图是由5个大小相同的立方体搭成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识．熟练掌握三视图的识别方法是解决此题的关键．注意左视图是指从物体的左边看物体．找到从左面看所得到的平面图形即可． 【详解】解：从左面看易得有2列，从左到右正方形的个数分别为2、1． 故选：A． 2. 目前全世界人口约8010000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】∵． 故选：B． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项，然后合并同类项即可求得答案． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 4. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 根据邻补角可得，再利用平行得到进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，得：， ， 故选：D． 5. 如图，在矩形中，的平分线交于点．若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可得是等腰直角三角形，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，平分线交于点． ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 故选：C． 6. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数； 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B； 7. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，先根据圆周角定理得到，再根据四边形是的内接四边形可得即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 8. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总重量和互换后重量相等两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：∵设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，六鸡、七鸭共重24千克， ∴可得第一个方程，可排除B、C选项； 互换其中一只后，一侧为5只鸡加1只鸭，另一侧为6只鸭加1只鸡，二者重量相等， ∴可得第二个方程； 联立得方程组． 9. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 10. 如图是年我国主要可再生能源发电装机容量（亿千瓦）统计图． 根据上述信息，下列推断合理的是（ ）（填写序号）． ①年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大；②年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定；③年，我国水电发电装机容量一直高于风电发电装机容量． A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【详解】解：① 年，我国主要可再生能源发电中，太阳能发电装机容量增幅最大， 从统计图可以看出，太阳能发电装机容量的增长幅度远大于水电、风电，故①正确，符合题意； ②年，相对于风电和太阳能发电，我国水电发电装机容量比较稳定， 水电的柱状图高度变化很小，而风电和太阳能的柱状图高度变化明显，故②正确，符合题意； ③年，我国水电发电装机容量低于风电发电装机容量， 观察年的柱状图，风电的高度已经超过水电，故③错误，不符合题意； 综上所述，推断合理的是①②． 11. 下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 二、填空题（每小题3分，共12分．） 12. 分式有意义的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，关键是熟练掌握知识点解题；根据分式有意义的条件，分母不为零进行求解． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， 解得， 故答案为：． 13. 如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴C点与A点关于原点对称， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 利用位似的性质得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心， ∴，即， ∴． 故答案是：6． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， 、， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 三、解答题（共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的计算法则，特殊三角函数值，负指数幂的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 利用配方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键； 先根据整式的运算法则进行化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解： ， ， ； 当，时， 原式． 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）将代入反比例函数表达式求出的值，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据图象中的交点求解即可； （3）求出点C的坐标，再根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数表达式为， 将代入得：， ， 将和代入一次函数得： ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知：当或时，反比例函数的值小于一次函数的值； 小问3详解】 解：将代入得：， ， 、、， ， 即． 20. 如图1，某农场需要用喷水装置灌溉果树．装置的喷头固定在一根竖直立柱顶端，如图2，以喷头正下方的地面为原点，竖直向上为轴的正方向，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，已知喷头喷出的水流轨迹为抛物线，水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，喷头所在位置的竖直高度为． （1）请直接写出水流最高处的坐标：_____． （2）求喷出水流的竖直高度与距离原点的水平距离之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） （3）为了适配不同高度的果树，工人可以调节喷头的竖直高度，调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变．要求水流落地点距离原点的最远水平距离不超过，求喷头高度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据建立平面直角坐标系写出点坐标即可； （2）设二次函数顶点表达式，再利用待定系数法求出二次函数的表达式； （3）根据水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变，设出调节后的抛物线函数表达式，再得出B点坐标，进而得到调节后的抛物线函数表达式，从而求出喷头高度的最大值． 【小问1详解】 解：由于水流的最高处距离原点的水平距离为，最大竖直高度为，‘ 则的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：、， 设抛物线函数表达式为， 将代入得： ， 解得， 因此，抛物线函数表达式为； 【小问3详解】 解：由于调节的过程中，水流的抛物线轨迹形状和对称轴保持不变， 则设抛物线函数表达式为， 当最大时，点的坐标为， 将代入得： ， 解得， 即抛物线函数表达式为， 将代入得： ， 因此，喷头高度的最大值为． 21. 已知正方形中，，是边上的动点，连接和． （1）尺规作图：在图中分别作线段和的中点和，连接；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹） （2）请直接写出与的关系． 【答案】（1）见解析 （2）（或）且． 【解析】 【分析】（）作的中点：分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过两点作直线，与的交点即为；作的中点：同理，分别以为圆心，大于的长度为半径画弧两弧分别交于两点，过两点作直线，与的交点即为， 连接，线段即为所求； （）根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即可解答． 【小问1详解】 解：利用尺规作图的方法分别找到和的中点，再连接即可， 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：（或）且． ∵在中，是中点，是中点， ∴位置关系：（或）， 数量关系． 22. 学校为丰富校园文化生活，提升学生对政史学科的学习兴趣，开展了主题为“知史明政，鉴往知来”的政史学科节活动．活动结束后，七、八年级各有800名学生参加了学科节知识竞赛．为了解竞赛成绩的分布情况，学校从两个年级各随机抽取部分学生的竞赛成绩，按以下四个评价等级进行整理：，，，四个评价等级进行整理，得到了不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 评价等级 成绩分 频数 频率 八年级测试成绩评价等级为的全部分数（单位：分）如下：． （1）表格中，_____，_____； （2）八年级测试成绩的中位数是_____； （3）若测试成绩不低于分，则认为该学生为“学科节优秀参与者”，请估计该校七、八两个年级为“学科节优秀参与者”的学生一共有多少人？ 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【分析】（）根据七年级等级的频数和频率求出总人数（(频率频数总数），再利用总人数和等级的频率求出，用等级的频数除以总人数得到； （）先求出八年级被抽取的总人数，根据扇形图的比例，分别算出等级的人数，得出八年级成绩的中位数是等级的全部分数从小到大排序后的第名学生的成绩的平均数，即可得到中位数； （）根据样本的频率估算总体的数量的计算方法；先计算七年级成绩不低于分的频率，用总人数乘以该频率得到七年级达标人数；再观察八年级抽取的成绩，确定达标频率，用总人数乘以该频率得到八年级达标人数，最后将两个年级的达标人数相加. 【小问1详解】 解：根据七年级等级的频数和频率求出七年级被抽取的总人数：， 故，； 【小问2详解】 解：八年级测试成绩评价等级为的人数为13人，所占百分比为， ∴八年级被抽取总人数为（人）， 根据中位数的定义可知，八年级成绩的中位数是从小到大排列的第名学生的成绩的平均数， ∵八年级等级的有（人），等级的有（人），等级的有（人）， ∴八年级成绩的中位数是等级的全部分数从小到大排序后的第名学生的成绩的平均数， ∵八年级测试成绩评价等级为的全部分数从小到大排序：， ∴八年级成绩的中位数是； 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计该校七、八两个年级为“学科节优秀参与者”的学生一共有人. 23. 在综合实践活动中，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下表： 实践报告： 活动课题 测量西安小雁塔的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图所示，在处用高的测角仪测得塔顶的仰角为； 测量过程 【步骤二】向塔的方向前进到达处，在处用高的测角仪测得塔顶的仰角为．（在同一水平直线上） 解决问题 根据以上数据，求小雁塔的高约为多少米（结果精确到米）． 请你帮助兴趣小组解决以上问题．（参考数据，，， 【答案】小雁塔的高约为． 【解析】 【分析】根据题意得：， 然后设， 则，再分别在和中，利用三角函数和表示出的长度，得到关于的方程并求解；最后将与相加，得到小雁塔的高度． 【详解】解：由题意得：， 设， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：小雁塔的高约为． 24. 如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画圆，与边相切于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，易证得，进而得到，从而得到结论； （2）根据可设、，根据勾股定理可列方程和，据此解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与边相切于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， 设、， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 半径为． 25. 【操作与发现】 如图①，在正方形中，点，分别在边、上．连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：，从而可得：． （1）【实践探究】在图①条件下，若，，则正方形的边长是__________． （2）如图②，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，若，求证：是的中点． （3）【拓展】如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，已知，，则的长是__________． 【答案】（1）12 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （１）根据旋转的性质得到，易证得，进而得到，在中，由勾股定理得到，设正方形的边长为，则、，从而求出正方形的边长； （２）设、，由（1）知，，根据，进而得到，在中，根据勾股定理得，从而得到结论； （３）延长至点P，使，过点P作的平行线交的延长线于点Q，延长交于点E，连接，设，则，易证得，进而得到，则，最后利用勾股定理计算求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 由旋转的性质可知，， ，，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 设正方形的边长为，则，， ， ，即正方形的边长是12， 故答案为：12； 【小问2详解】 证明：设，， 由（1）知，， ，， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， ， 点是的中点； 【小问3详解】 解：如图，延长至点P，使，过点P作的平行线交的延长线于点Q，延长交于点E，连接， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得：， 解得，即的长是8， 故答案为：8． 26. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”，例如，图1中线段为线段关于点的“垂直图形”． （1）线段关于点的“垂直图形”为线段． ①若点的坐标为，则点的坐标为_____． ②若点的坐标为，则点的坐标为_____． （2），线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为． ①求点的坐标（用含的式子表示）； ②若的半径为2，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①②根据“垂直图形”定义，结合旋转性质、坐标与图形即可求解； （2）①过点作轴于，轴于，证明得到，，进而可求得点的坐标；②根据旋转性质和“垂直图形”的定义可知，满足条件的点在第一象限的上时取得最大值，与原点重合时取得最小值，进而根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①如图： 点的坐标为，点坐标为， ； ②当时，如图，； 【小问2详解】 解：①作轴于，轴于，则， ， 点关于点的“垂直图形”为， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点的坐标为； ②如图，观察图象可知，满足条件的如图中阴影部分， 当点在第一象限的上，取得最大值， 则，， ， 解得：， ， ， ， 的最大值为， 当与原点重合时，取得最小值， 此时， 的最小值为， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $