专题08 一元二次方程及其应用讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题08 一元二次方程及其应用 一元二次方程是中考数学的核心重点专题，是方程与函数体系的重要组成部分，也是解决实际问题（如增长率、面积、利润等）的关键工具。该专题在中考中覆盖基础题、中档题和难题，分布于选择题、填空题及解答题（含压轴题中的基础步骤），占分比重约8%-10%。 核心考点 ①一元二次方程的定义及一般形式（，）； ②一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）； ③根的判别式（）的应用（判断根的个数、求参数取值范围）； ④根与系数的关系（韦达定理）及其应用（代数式求值、构造新方程）； ⑤一元二次方程的实际应用（增长率问题、面积问题、销售利润问题、古数学问题）； ⑥判别式与韦达定理的综合应用（含参数方程的根的性质分析）。 考情分析 ①基础题型：侧重一元二次方程的定义、解法、根的判别式的直接应用，难度较低； ②中档题型：侧重韦达定理的应用、简单实际问题（增长率、面积），难度中等； ③创新题型：侧重含参数方程的根的综合分析、复杂利润问题与二次函数的结合，难度稍高。 （一）基本概念 1.一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，等号两边都是整式的方程； 一般形式：（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：适用于形如（）的方程，解得； 配方法：步骤为“移项→化二次项系数为1→配方→开方→求解”，配方时需在等式两边加“一次项系数一半的平方”； 公式法：对于一般形式（），当时，根为； 因式分解法：将方程化为的形式，解得或（优先用于能快速因式分解的方程）。 3.根的判别式（） ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根； 注意：使用判别式前需确保方程是一元二次方程（即）。 4.根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程（，），若两根为、，则： ； 。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.解方程的优选策略：能因式分解先因式分解，不能则用配方法或公式法，含平方项的优先直接开平方法； 2.判别式的隐含应用： 若方程有实数根，分两种情况：（一元一次方程，有一个实数根）或且； 若方程有两个不相等的实数根，则且； 3.韦达定理的常见变形： ； ； ； 4.实际问题的建模技巧： 增长率问题：若初始量为，年增长率为，则年后的量为； 面积问题：利用“总面积=各部分面积之和”或“图形变形前后面积不变”列方程，注意单位统一； 利润问题：利润=（售价-成本）×销量，销量常与售价成线性关系（如售价每降1元，销量增件）。 考点1：一元二次方程的解法 例题1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 变式题1解方程： 【答案】， 【解析】采用配方法： 移项：； 配方：两边加4（一次项系数一半的平方），得，即； 开方：； 求解：，。 变式题2解方程： 【答案】， 【解析】采用公式法，其中，，： 计算判别式：； 代入公式：； 求解：，。 考点2：根的判别式的应用 例题2（2025·安徽·中考真题改编）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别计算各选项的判别式： 选项A：，无实数根； 选项B：，有两个相等的实数根； 选项C：，无实数根； 选项D：，有两个不相等的实数根； 故选D。 变式题1（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 变式题2（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 考点3：根与系数的关系（韦达定理） 例题3已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．5 B．-5 C．6 D．-6 【答案】A 【解析】对于方程，，，， 根据韦达定理，，故选A。 变式题1（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 变式题2（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 考点4：一元二次方程的应用——增长率问题 例题4（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 变式题1某景区2022年接待游客25万人，2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B 【解析】设年平均增长率为，2022年游客25万人，2024年为36万人， 列方程：， 解得：，（舍去负根），故，故选B。 变式题2某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第一季度包括一月、二月、三月， 一月产量：560吨； 二月产量：吨； 三月产量：吨； 总产量为1860吨，故方程为，故选B。 考点5：一元二次方程的应用——面积问题 例题5（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 变式题1（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 变式题2（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识； 如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． 考点6：一元二次方程的应用——销售利润问题 例题6（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【解析】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 变式题1 某商场销售一批衬衫，每件进价为100元，售价为160元，每天可售出20件．为扩大销售，商场决定降价销售，经调查发现，每件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利1400元，每件衬衫应降价多少元？ 【解析】设每件降价元， 解得，， 故每件衬衫应降价30元或10元。 变式题2 阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转/分，三档风是转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为元/件，售价为元/件，每天可售件．当每降价元时，可多售件． 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率； (2)该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 【分析】（1）根据“一档转速×(1+增长率)² =三档转速”列一元二次方程，舍去负根，得到平均增长率； （2）根据“每件利润×销量=总利润”列一元二次方程，得到两个解，根据“尽快清理库存”的要求选择销量更高的方案． 【详解】（1）解：设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得方程： ，解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为． （2）解：设应降价元，根据题意得方程：， 方程整理得：，解得：，， 当时，销量为（台）， 当时，销量为（台）， 为了尽快清理库存，则应选择销售量高的方案，故应降价元． 答：要尽快清理库存且使该电器每天的利润达到元，应降价元． 一．选择题（共25小题） 1．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　 A．2 B． C．2或 D． 【答案】 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义 【解析】关于的一元二次方程的一个根是， 且， 解得：， 故选． 2．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为　　 A． B．2024 C． D．1 【答案】 【考点】解一元二次方程配方法 【解析】由题知， ， ， ， ， 所以，， 所以． 故选． 3．一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】， ， 则或， 解得：，． 故选． 4．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为　　 A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系；解一元二次方程因式分解法；一元二次方程的解 【解析】， ， 解得，， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是． 故选． 5．下列方程中，有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】、化简为方程， ，，， △， 此方程没有实数根，不符合题意； 、，化简为， ，，， △， 此方程有两个相等实数根，符合题意； 、，化简为方程中， ，，， △， 此方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 、方程，化简为可化为， ，，， △， 此方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 故选． 6．以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个相等实数根，故符合题意； 故选． 7．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】因为关于的一元二次方程有实数根， 所以△， 解得． 故选． 8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　 A． B．4 C． D．1 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 解得：， 故选． 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 【答案】 【考点】一元二次方程的定义；根的判别式 【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得且； 故选． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B． C．4 D．16 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以△， 解得． 故选． 11．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【考点】一元二次方程的定义；根的判别式 【解析】根据题意得， 解得且． 故选． 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】关于的方程有两个不相等的实数根， △， ， ． 故选． 13．已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是　　 A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】， △ ， 原方程有两个不相等的实数根， 故选． 14．规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【考点】解一元一次不等式；根的判别式 【解析】根据题意得， 整理得， 关于的方程【，】★有两个不相等的实数根， △且， 解得且． 故选． 15．关于的方程根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【考点】根的判别式 【解析】关于的方程中， ，，， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 16．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　 A． B． C． D．6 【答案】 【考点】根与系数的关系 【解析】关于的一元二次方程两根为、， ，， ， ， 即， 解得：． 故选． 17．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【解析】设原来的方程为， 由题知， ，， 所以，， 所以原来的方程为， 则． 故选． 18．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】若设长为步，则宽为步， ， 故选． 19．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】由题意可得， ， 故选． 20．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】根据题意得：． 故选． 21．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】根据题意得：． 故选． 22．某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】根据题意得：， 故选． 23．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则　　 A．1 B． C． D．1或 【答案】 【考点】一元二次方程的应用 【解析】根据题意得，， 解得， ， ． 故选． 24．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一元二次方程的应用 【解析】设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选． 25．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　　 A．或 B．或 C． D． 【答案】 【考点】一元二次方程的应用 【解析】设长为 ，则的长为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：长为， 故选． 二．填空题（共20小题） 26．一元二次方程的一个解为，则　2　． 【答案】2． 【考点】一元二次方程的解 【解析】由题知， 将代入一元二次方程得， ， 解得． 故答案为：2． 27．已知，，则的值为 　3　． 【答案】3． 【考点】一元二次方程的解 【解析】， ， ， ， 即， 解得：，（舍去）， 即的值为3， 故答案为：3． 28．已知是方程的一个根，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】一元二次方程的解 【解析】把代入， ， ， 故答案为：． 29．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　2　． 【答案】2． 【考点】根的判别式 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：2． 30．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的的值：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】根的判别式 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：（答案不唯一）． 31．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　9　． 【答案】9． 【考点】根的判别式 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △，即， 解得． 故答案为：9． 32．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　1　． 【答案】1． 【考点】根的判别式 【解析】一元二次方程有两个相等的实数根， △，即， 解得 故答案为：1． 33．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】根的判别式 【解析】因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以△， 解得． 故答案为：． 34．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 【考点】根的判别式 【解析】由题意得： △， 解得：， 故答案为：． 35．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　． 【考点】根的判别式 【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 即：， 解得：， 故选答案为． 36．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 　　． 【答案】． 【考点】根的判别式 【解析】一元二次方程无实数根， △， ， 故答案为：． 37．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】根的判别式 【解析】一元二次方程有两个相等的实数根， △，即， 解得； 故答案为：． 38．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】根的判别式 【解析】关于的方程有两个相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 39．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 　4　． 【答案】4． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【解析】令方程的另一个根为， 因为方程的一个根为， 所以， 解得， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 40．若一元二次方程的两根为，，则的值为 　6　． 【答案】6． 【考点】根与系数的关系 【解析】一元二次方程的两根为，， ，，， ． 故答案为：6． 41．已知方程的两根分别为，，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】根与系数的关系 【解析】方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 42．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　14　． 【答案】14． 【考点】根与系数的关系 【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ，． ． 故答案为：14． 43．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　7　． 【答案】7． 【考点】根与系数的关系 【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：7． 44．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 【答案】． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【解析】根据题意得：． 故答案为：． 45．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 【答案】． 【考点】一元二次方程的应用 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该公司这两年缴税的年平均增长率是． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 46．解方程：． 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】， ， ， ，． 47．解方程：． 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】， ， 则或， 解得，． 48．解方程： （1）； （2）． 【考点】解一元二次方程因式分解法；解一元一次方程 【解析】（1）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）， ， 或， ，． 49．（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【考点】解一元二次方程因式分解法；勾股定理 【解析】（1）， ， 或， ，； （2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边， 当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边， 第三边的长为或． 50．关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【考点】绝对值；分式的乘除法；根的判别式 【解析】（1）根据题意得△， 解得； （2）， ， ． 51．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【解析】（1）， 这里，，， △ ． ， △． 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，， 则，． ，即， ． 整理，得． ． 解得，． 的值为或1． 52．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【解析】（1）原方程有两个不相等的实数根， △， △， 解得． （2）， 整数的值为2，3，4， 当时，方程为，解得，， 当或4时，此时方程解不为整数． 综上所述，的值为2． 53．已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：　　，　　； （2）求，； （3）已知，求的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【解析】（1）由根与系数的关系得：，， 故答案为：，1； （2），， ； 关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和， ， ，即； （3）由根与系数的关系得：，， ， ， ， 解得：，， 当 时，△； 当 时，△； ． 54．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 45 55 65 日销售量件 55 45 35 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用 【解析】（1）由题意，设一次函数的关系式为， 又结合表格数据图象过，， ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，销售额， 又销售额是2600元， ． ． △ ． 方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次方程及其应用 一元二次方程是中考数学的核心重点专题，是方程与函数体系的重要组成部分，也是解决实际问题（如增长率、面积、利润等）的关键工具。该专题在中考中覆盖基础题、中档题和难题，分布于选择题、填空题及解答题（含压轴题中的基础步骤），占分比重约8%-10%。 核心考点 ①一元二次方程的定义及一般形式（，）； ②一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）； ③根的判别式（）的应用（判断根的个数、求参数取值范围）； ④根与系数的关系（韦达定理）及其应用（代数式求值、构造新方程）； ⑤一元二次方程的实际应用（增长率问题、面积问题、销售利润问题、古数学问题）； ⑥判别式与韦达定理的综合应用（含参数方程的根的性质分析）。 考情分析 ①基础题型：侧重一元二次方程的定义、解法、根的判别式的直接应用，难度较低； ②中档题型：侧重韦达定理的应用、简单实际问题（增长率、面积），难度中等； ③创新题型：侧重含参数方程的根的综合分析、复杂利润问题与二次函数的结合，难度稍高。 （一）基本概念 1.一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，等号两边都是整式的方程； 一般形式：（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项。 2.一元二次方程的解法 直接开平方法：适用于形如（）的方程，解得； 配方法：步骤为“移项→化二次项系数为1→配方→开方→求解”，配方时需在等式两边加“一次项系数一半的平方”； 公式法：对于一般形式（），当时，根为； 因式分解法：将方程化为的形式，解得或（优先用于能快速因式分解的方程）。 3.根的判别式（） ：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根； 注意：使用判别式前需确保方程是一元二次方程（即）。 4.根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程（，），若两根为、，则： ； 。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.解方程的优选策略：能因式分解先因式分解，不能则用配方法或公式法，含平方项的优先直接开平方法； 2.判别式的隐含应用： 若方程有实数根，分两种情况：（一元一次方程，有一个实数根）或且； 若方程有两个不相等的实数根，则且； 3.韦达定理的常见变形： ； ； ； 4.实际问题的建模技巧： 增长率问题：若初始量为，年增长率为，则年后的量为； 面积问题：利用“总面积=各部分面积之和”或“图形变形前后面积不变”列方程，注意单位统一； 利润问题：利润=（售价-成本）×销量，销量常与售价成线性关系（如售价每降1元，销量增件）。 考点1：一元二次方程的解法 例题1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 变式题1解方程： 变式题2解方程： 考点2：根的判别式的应用 例题2（2025·安徽·中考真题改编）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A． B． C． D． 变式题1（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 变式题2（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点3：根与系数的关系（韦达定理） 例题3已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．5 B．-5 C．6 D．-6 变式题1（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式题2（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 考点4：一元二次方程的应用——增长率问题 例题4（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 变式题1某景区2022年接待游客25万人，2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A．10% B．20% C．30% D．40% 变式题2某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是（ ） A． B． C． D． 考点5：一元二次方程的应用——面积问题 例题5（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 变式题1（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 变式题2（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 考点6：一元二次方程的应用——销售利润问题 例题6（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 变式题1 某商场销售一批衬衫，每件进价为100元，售价为160元，每天可售出20件．为扩大销售，商场决定降价销售，经调查发现，每件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利1400元，每件衬衫应降价多少元？ 变式题2 阅读材料： 信息一 美的风扇灯是风扇和灯一体的双功能家用电器，既可以照明又可以降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转/分，三档风是转/分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进购这种商品，进货价为元/件，售价为元/件，每天可售件．当每降价元时，可多售件． 根据以上材料，解决下列问题： (1)求一档至三档转速的平均增长率； (2)该商店要尽快清理该电风扇库存，且使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 一．选择题（共25小题） 1．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为　　 A．2 B． C．2或 D． 2．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为　　 A． B．2024 C． D．1 3．一元二次方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 4．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为　　 A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 5．下列方程中，有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 6．以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　 A． B．4 C． D．1 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D． 10．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　 A． B． C．4 D．16 11．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 13．已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是　　 A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 14．规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 15．关于的方程根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 16．若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　　 A． B． C． D．6 17．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是　　 A． B． C． D． 18．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 19．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为　　 A． B． C． D． 20．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 21．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 22．某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是　　 A． B． C． D． 23．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则　　 A．1 B． C． D．1或 24．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　　 A． B． C． D． 25．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　　 A．或 B．或 C． D． 二．填空题（共20小题） 26．一元二次方程的一个解为，则　　． 27．已知，，则的值为 　　． 28．已知是方程的一个根，则的值为 　　． 29．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 30．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的的值：　　． 31．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 32．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则　　． 33．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 34．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 35．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　． 36．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 　　． 37．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 38．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 39．已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 　　． 40．若一元二次方程的两根为，，则的值为 　　． 41．已知方程的两根分别为，，则的值为 　　． 42．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　　． 43．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 　　． 44．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 45．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 三．解答题（共9小题） 46．解方程：． 47．解方程：． 48．解方程： （1）； （2）． 49．（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 50．关于的方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简：． 51．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 52．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 53．已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：　　，　　； （2）求，； （3）已知，求的值． 54．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 45 55 65 日销售量件 55 45 35 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $