专题06 二次根式讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题06 二次根式 二次根式是中考数学的基础核心专题，是实数运算的延伸与拓展，也是后续学习勾股定理、二次函数、分式化简等知识的重要工具。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的化简求值步骤中，占分比重约4%-6%。 核心考点 ①二次根式有意义的条件（被开方数非负、结合分式/零指数幂的综合条件）； ②二次根式的性质及化简（非负性、、同类二次根式识别）； ③二次根式的乘法运算（含化简）； ④二次根式的加减运算（同类二次根式合并）； ⑤二次根式的混合运算（含平方差、完全平方公式的应用）； ⑥二次根式与整式、分式的化简求值（含分母有理化）； ⑦二次根式与指数幂、三角函数的综合计算。 考情分析 ①基础题型：侧重二次根式有意义的条件、简单性质应用、同类二次根式识别、基本乘除加减运算，难度较低； ②中档题型：侧重二次根式混合运算、化简求值（含分母有理化、整体代入）、与指数幂/三角函数的综合计算，难度中等； ③创新题型：侧重二次根式的非负性与其他非负数（绝对值、平方）的综合应用，或结合几何图形的化简求值，难度稍高。 （一）基本概念 1.二次根式的定义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式（根号下的数叫被开方数，必须是非负数）； 注意：二次根式的结果是非负数（，），即双重非负性。 2.二次根式有意义的条件 单一二次根式：被开方数非负（）； 结合分式：被开方数非负且分母不为0； 结合零指数幂：被开方数非负且零指数幂的底数不为0。 3.二次根式的性质 双重非负性：（），即被开方数非负，二次根式的结果非负； 平方性质：（）； 化简性质：； 乘积性质：（，）； 商的性质：（，）。 4.同类二次根式与最简二次根式 最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式（同类二次根式才能合并）。 5.二次根式的运算法则 乘法：（，）； 除法：（，）； 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加，被开方数不变）； 混合运算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，可结合乘法公式简化运算。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.非负性的综合应用：若，则、、（三个常见非负数的和为0，各数均为0）； 2.化简技巧：的化简需先判断的符号，再去掉绝对值，避免直接写成； 3.同类二次根式的隐含条件：合并前必须化为最简二次根式，非同类二次根式不能合并（如与无法合并）； 4.分母有理化的常用方法： 单分母：（）； 多项式分母：（，，）； 5.混合运算的简便策略：遇到形如的式子，直接用平方差公式计算，避免复杂展开。 考点1：二次根式有意义的条件 例1（2025·江苏连云港·中考真题改编）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式题1若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 变式题2请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 变式题3若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 考点2：二次根式的性质及化简 例2（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式题1（2025·湖南·中考真题）化简的结果是 ． 变式题2若，则的平方根是 ． 考点3：二次根式的乘法运算 例3（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 变式题1（2025·广西·中考真题） ． 变式题2实数的整数部分为 ． 考点4：二次根式的加减运算 例4（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式题1计算： ． 变式题2计算： 考点5：二次根式的混合运算 例5（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式题1（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 变式题2（2025·甘肃·中考真题）计算：． 考点6：二次根式的化简求值 例6（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 变式题1（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 考点7：二次根式与指数幂、三角函数的综合计算 例7（2025·云南·中考真题）计算：． 变式题1（2025·四川南充·中考真题）计算：． 一．选择题（共12小题） 1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．若式子有意义，则实数的值可能是　　 A． B．0 C．1 D．2 3．若式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．计算的结果是　　 A．9 B．3 C． D． 5．计算的结果是　　 A． B． C．14 D． 6．已知，化简的结果为　　 A． B．1 C． D． 7．下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 8．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 9．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 10．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 11．实数，在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是　　 A．2 B． C． D． 12．将化简为，其中、为整数，求之值为何？　　 A．5 B．3 C． D． 二．填空题（共8小题） 13．若二次根式有意义，则的取值范围是 　 　． 14．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　 　． 15．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 　 　． 16．化简：　 　． 17．计算的结果是 　 　． 18．计算：　 　． 19．计算：　 　． 20．计算的结果为 　 　． 三．解答题（共4小题） 21．计算：． 22．计算：． 23．计算：． 24．计算：； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式 二次根式是中考数学的基础核心专题，是实数运算的延伸与拓展，也是后续学习勾股定理、二次函数、分式化简等知识的重要工具。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的化简求值步骤中，占分比重约4%-6%。 核心考点 ①二次根式有意义的条件（被开方数非负、结合分式/零指数幂的综合条件）； ②二次根式的性质及化简（非负性、、同类二次根式识别）； ③二次根式的乘法运算（含化简）； ④二次根式的加减运算（同类二次根式合并）； ⑤二次根式的混合运算（含平方差、完全平方公式的应用）； ⑥二次根式与整式、分式的化简求值（含分母有理化）； ⑦二次根式与指数幂、三角函数的综合计算。 考情分析 ①基础题型：侧重二次根式有意义的条件、简单性质应用、同类二次根式识别、基本乘除加减运算，难度较低； ②中档题型：侧重二次根式混合运算、化简求值（含分母有理化、整体代入）、与指数幂/三角函数的综合计算，难度中等； ③创新题型：侧重二次根式的非负性与其他非负数（绝对值、平方）的综合应用，或结合几何图形的化简求值，难度稍高。 （一）基本概念 1.二次根式的定义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式（根号下的数叫被开方数，必须是非负数）； 注意：二次根式的结果是非负数（，），即双重非负性。 2.二次根式有意义的条件 单一二次根式：被开方数非负（）； 结合分式：被开方数非负且分母不为0； 结合零指数幂：被开方数非负且零指数幂的底数不为0。 3.二次根式的性质 双重非负性：（），即被开方数非负，二次根式的结果非负； 平方性质：（）； 化简性质：； 乘积性质：（，）； 商的性质：（，）。 4.同类二次根式与最简二次根式 最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式（同类二次根式才能合并）。 5.二次根式的运算法则 乘法：（，）； 除法：（，）； 加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加，被开方数不变）； 混合运算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，可结合乘法公式简化运算。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.非负性的综合应用：若，则、、（三个常见非负数的和为0，各数均为0）； 2.化简技巧：的化简需先判断的符号，再去掉绝对值，避免直接写成； 3.同类二次根式的隐含条件：合并前必须化为最简二次根式，非同类二次根式不能合并（如与无法合并）； 4.分母有理化的常用方法： 单分母：（）； 多项式分母：（，，）； 5.混合运算的简便策略：遇到形如的式子，直接用平方差公式计算，避免复杂展开。 考点1：二次根式有意义的条件 例1（2025·江苏连云港·中考真题改编）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据二次根式有意义的条件“被开方数非负”，列不等式：，解得，故选B。 变式题1若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】代数式同时含二次根式、零指数幂，需满足两个核心条件： 二次根式有意义：被开方数非负，即，解得； 零指数幂有意义：底数不为0，即，解得； 综上，取值范围为且。 变式题2请写出一个使在实数范围内有意义的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】由二次根式有意义的条件得，解得，因此只要取大于等于2的任意实数即可，如3、4等。 变式题3若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】式子含二次根式和分式，需满足： 二次根式有意义：，解得； 分式有意义：分母不为0，即，解得； 综上，的取值范围是且。 考点2：二次根式的性质及化简 例2（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 变式题1（2025·湖南·中考真题）化简的结果是 ． 【答案】 【解析】将化为最简二次根式，分解被开方数：，其中是能开得尽方的因数，因此。 变式题2若，则的平方根是 ． 【答案】10 【解析】先利用二次根式的非负性求的值： 由有意义得，由有意义得； 联立得，解得； 代入原式得，即； 则. 考点3：二次根式的乘法运算 例3（2025·广东·中考真题）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【详解】． 故选：B． 变式题1（2025·广西·中考真题） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 变式题2实数的整数部分为 ． 【答案】3 【解析】利用二次根式的估值： 因为，即； 所以的整数部分为3。 考点4：二次根式的加减运算 例4（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误； B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误； C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确； D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误； 故选：C 变式题1计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 变式题2计算： 【答案】 【解析】. 考点5：二次根式的混合运算 例5（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 变式题1（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 变式题2（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 考点6：二次根式的化简求值 例6（2025·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 变式题1（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 考点7：二次根式与指数幂、三角函数的综合计算 例7（2025·云南·中考真题）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 变式题1（2025·四川南充·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 一．选择题（共12小题） 1．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】在实数范围内有意义， ， 故选． 2．若式子有意义，则实数的值可能是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】 【解析】式子有意义， ， 解得：， 则，0，1不符合题意，2符合题意， 故选． 3．若式子有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意得：， 解得：， 故选． 4．计算的结果是　　 A．9 B．3 C． D． 【答案】 【解析】． 故选． 5．计算的结果是　　 A． B． C．14 D． 【答案】 【解析】． 故选． 6．已知，化简的结果为　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【解析】， ， 故选． 7．下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】，因此选项不符合题意； ．，因此选项符合题意； ，因此选项不符合题意； ，因此选项不符合题意． 故选． 8．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】、，故此选项符合题意； 、与不能合并，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选． 9．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】选项和不是同类二次根式，不能合并，不合题意； 选项，正确，符合题意； 选项，所以错误，不合题意； 选项， ，故错误，不合题意． 故选． 10．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】、，故选项错误； 、，故选项错误； 、，故选项正确； 、，故选项错误； 故选． 11．实数，在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【解析】由数轴可知，，， ， 原式． 故选． 12．将化简为，其中、为整数，求之值为何？　　 A．5 B．3 C． D． 【答案】 【解析】， ，， ． 故选． 二．填空题（共8小题） 13．若二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 【答案】 【解析】根据题意，使二次根式有意义，即， 解得； 故答案为：． 14．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 【答案】． 【解析】根据题意得， 解得：． 故答案为：． 15．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 　　． 【答案】． 【解析】代数式在实数范围内有意义， ， 解得：， 故答案为：． 16．化简：　3　． 【答案】3． 【解析】， 故答案为：3． 17．计算的结果是 　　． 【答案】． 【解析】， 故答案为：． 18．计算：　　． 【答案】． 【解析】原式． 故答案为：． 19．计算：　　． 【答案】． 【解析】原式 ， 故答案为：． 20．计算的结果为 　10　． 【答案】10． 【解析】原式 ． 故答案为：10． 三．解答题（共4小题） 21．计算：． 【解析】 ． 22．计算：． 【解析】原式 ． 23．计算：． 【解析】原式 ． 24．计算：； 【解析】（1）原式 ； 学科网（北京）股份有限公司 $