对数与对数函数重在引进一种运算 “逆运算”与一个“翻折变换”模型讲义-2026届高三数学一轮复习（解锁“高考数学学科素养”专题系列）

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——13对数与对数函数重在 引进一种运算 “逆运算”与一个 “翻折变换”的模型 对数是进行科学计算不可缺少的重要工具，而对数函数在社会科学和自然科学中有着很重要的应用.解决函数综合题,以及利用图象研究互为反函数的问题. 解锁一：对数的本质属性 1.对数与对数运算 (1)对数的定义: 如果，那么数叫做以为底的对数.记作 ，其中叫做对数的底数，叫做真数. 说明:对数的定义说明，①表示一种特殊的数，②对数、对数函数的运算；③指、对数之间的相互转化; ④互为反函数之间的关系. 探点.已知，且均不为，，则 . 探点:连等式，可设出连等值，解出代入所求进行多元变少元的运算.设,则,代入得，所以. (2)常用的对数： ①常用对数：以为底的对数叫做常用对数，并把常用对数简记为lgN，即； ②自然对数：以为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作，即. 2. 解锁定义 ❶利用对数运算要注意运算的条件. 悟惑.的零点个数为 . 错解：令，则，即，由图象可知交点由一个，所以零点个数为. 探点：，所以零点个数为个. ❷指、对数要会灵活转化 3.对数的本质属性 对数是指数运算中的逆运算；利用对数的运算性质将乘除降维为加减运算；对数的关键特性：简化复杂计算、压缩数量级. 解锁二：解对数运算题的原则 第一步:搞清研究对象； 第二步:确定参数的条件； 第三步:是否可用对数运算的性质？ 第四步：是，直接运算求解；否，先变形，后运算； 第五步：给出精准的结论（幂数的指数不能写成方式形式，分式的分母不能含有根号，最后结果是最简式.）. 探点.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 探究： (1)原式； (2)原式 (3)原式. 解锁三：对数的有关性质 (3)对数性质: 如果 且,，那么： ①②③；④⑤； ⑥；⑦ (4)对数运算性质: 若，,则 ①; ②; ③ 悟惑：对数之积不能直接运算 探点、函数 的最小值为________. 探究：因为，而，所以时最小，故的最小值为. 解锁四：对数函数的本质属性 1.对数函数的定义 函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是. 2. 解锁定义 (1)注意定义的结构形式：说明研究指、对数函数要分底 和 ； (2)对数式函数 (正弦式 ) 悟惑.若指数函数在上的最值之和为，则的减区间为 . (3)指数函数与对数函数的图象关于对称. 3.对数函数的本质属性 以真数为自变量，通过反函数关系定义、具有特定单调性与渐近行为，并能将乘除运算降维加减运算的特殊初等函数. 解锁五：对数函数的图象与性质 1.图象如右： 2.特殊性如下： (左一、二图为指数函数图象，右一、二为对数函数图象) 说明:一般性质略，注意特殊性. (1)正确理解：是一个满足的常数；可以是一个代数式. 悟惑.函数，则实数的取值范围为 . 探点: ,解得，故实数的取值范围为. (2)过定点： 悟惑.函数的图象过定点为 探点：定点即为与参数无关的点，故. (3)指、对函数值的变化参数:与.指、对数函数的函数值变化特征：对数值， 在的同侧，则,在的异侧，则. 悟惑.已知，则 探点:，，，，所以，选D. (4)函数图象的凸凹性: 下凸； 当时上凸，当时下凸； (5)渐近线: 轴 轴 (6)图象的相对位置: ①同类对数函数与指数函数图象关于对称.即图象在的右侧当底大于时，底大图象越靠近坐标轴即越陡峭或平；当底大于小于时，底越小图象越靠近坐标轴交叉的另一端相对位置相反. ②异类:与，当时，最多有两个公共点；当时，最多有三个公共点. 悟惑.函数与交于三点，上一点. (7)反函数: 函数与互为反函数； 悟惑1.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 探点：函数与函数互为反函数，图象关于对称，函数上的点到直线的距离为，设函数,则,所以,即，由图象关于对称得：点与点最小值为,故选. 变式: 已知分别为函数，上两点，则点与点的距离的最小值是__________． 探究；因为函数与函数的图象均过点，所以点与点的距离的最小值是. 题思:求两条曲线上两点间距离，首先要判定这两条曲线的位置关系，后求解；求解时要注意关注两条曲线之间的关系，在选择解题方法. 探究:已知两个函数是互为反函数，所以只需不等式有解.---- (8)指数爆炸，对数平稳，即当很大时，. (9)函数的图象: 探点1.①若，则满足的关系为 ; ②若，则的取值范围为 探究1:利用对数函数性质 探究2:利用的性质知①；②或 探点2.已知，则的大小关系为 . 探究1: (利用对数函数性质)设，则由知,且 .. 探究2(利用的性质): ，可得. 3.关于对数函数的几点说明: (1)对数函数问题主要研究复合问题和合成问题，因此要当心存在域和局部值域！以及参数的取值问题. 探点1.函数的 ①值域是，则实数的取值范围为 ； ②在单调递增，则实数的取值范围为 . 探点: ①,因为函数的值域是，所以 ，解得； ②设，则解得，所以实数的取值范围为. 探点2.函数图象与图象关于对称，记 ，若在，则实数的取值范围为 . 探究:，由知，若，则，因为的对称轴方程为，解得，这与矛盾，所以，此时，所以，解得，故实数的取值范围为. (2)对数函数的合成运算必须是对数函数的同性的组合 探点.若函数在上恒有意义，则实数的取值范围为 . 探究：，即，因为函数在上恒成立，所以，故实数的取值范围为. (3)灵活恰当变形后再求解指、对数函数问题 探点.已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 探究：(1)因为函数是偶函数，所以，所以 ，解得. (2)由(1)知，,不等式即为,令.则,函数在单调递减，，所以的取值范围是. （4）对数函数的图象变换 探点.已知函数若互不相等，且则的取值范围是 探点1:不妨设，取特例，如取，则易得，从而，选． 探究2:不妨设，则由，再根据图像易得，故选C． 探究3:不妨设，则由，再根据图像易得，故选． (5)多个对数函数 ①图象的相对位置关系与第的大小关系； ②利用多个函数构成一个函数的性质解题； ③过定点问题, (6)对数混合型:主次分明，灵活运用函数性质 探点1.函数的定义域恰好为区间，恰在上取正值，且，则 . 探究:由知，，又定义域恰好为区间，所以 ，解得，再由恰在上取正值得，，由，得. 探究1(解方程组):可解得，所以. 探究2(整体求块):，所以，又则. 探点2.定义在上的函数满足，当时， ，则与的大小关系为 . 探究:由知是周期函数，且一个周期为，所以，即，解得，又，解得.从而当时，,,,所以，所以，所以，故. 探点3.若，则 . 探究: ,而 ，即，因为，所以. 探点3.知函数. (1)若定义域是，求的取值范围； (2)若值域是，求的取值范围． 探究:(1)的定义域为，所以对恒成立． 2 当时，左边只对区间内的成立． ②当时，解得.综上，的取值范围为. (2)因为函数的值域为，只需使包含于的值域内 ①当时，显然满足条件． ②当时，应有解得或.综上，的取值范围为或. (7)对数方程与不等式 ①形如:. 解题策略:造底用单调性，注意存在域. ②形如:. 解题策略:直接用单调性，注意存在域. ③形如:. 解题策略:先换元再解一元二次. ④形如: 解题策略:先换元再求解. (8)已知指、对数函数的混合方程或不等式，一般需要利用图象求解 探点.不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 探究：已知函数可变为.设，利用图象可知,故实数的取值范围为. (9)对数函数与函数性质的综合问题 4.指、对数模型 指数型，；对数型，. 探点.已知函数与的图象在存在关于 轴对称点，则的取值范围是 提示:有解，选 解锁六：解对数函数题的原则 求对数函数题的解题原则： 第一步:搞清变量； 第二步:求定义域； 第三步:研究关系式要三看:一看底要统一，二看底要讨论，三借助图象回答问题； 第四步:求解； 第五步:回答问题. 说明: 1.解对数题要遵循代数题的解题原则，否则易出现丢失存在域的现象. 探点.已知函数，则函数的取值范围为 . 易错探点：因为，所以. 从而所求函数的取值范围为. 正解：因为，所以的存在域满足，即，所以，且故从而所求函数的取值范围为. 2.为了统一底常需: (1)造底（“无底”造底.对象：两项式，一端有底一端无底，且不可消底.）: . (2)换底（对象:两底，但“底不统一或不符合要求”，且不易直接求解的问题.）: ①对数换底常见模型: ;(). ②幂、对数的复合： 如:解不等式:.因为函数在其定义域内单调递增，而，所以，故不等式的解集为. 题思:多个函数的代数运算式可设为一个函数研究简单，直观，便以理解！再如:对单调性来说，“同性之和”、“异性之差”可用合成法，这里均需将被研究的对象设为一个函数研究;另外，一个函数问题不易求解时就要将这个函数分解为两个函数求解. 如:当时，恒成立，则 . 探究:直接研究不等式不方便，构造函数研究也不方便.可考虑分解为两个函数进行研究.设 ，则过定点，所以过，解得. (3)取底（对象:指数式，且一端是幂数，但幂指数是对数的或需要将幂的指数请下来的一类特殊指数式）: 探点1.(). 探点2.与的大小关系为 探究1：幂数的大小，底不同，指数不同. 利用单调性造同底: ,不可；造同指数：不可.故用比较大小的运算法，即取底. 与的大小.取对数与（平方）与，而 ，故. 探究2：取对数，两数同时除以得，故构造函数. 3.讨论的原因是当涉及到指、对数函数的单调性或对幂数归类时，需知道底与的大小或对底的分类. 悟惑.满足的实数的取值范围为 . 探点:若，则问题是指数函数值的大小问题，利用函数的单调性可知，取其它值时利用方程的理念可知，综上实数的取值范围为. 4.借助图象直观方便,尤其是指、对数函数的平移问题. 5.解指、对数问题应注意的几个基本理念 (1)指、对数函数是超越函数，“超越”什么？ “超越”了代数运算，即在具有某个运算的集 中，任意两个元素通过这个运算仍得到中的一个确定元素，称这个运算为的一个 “代数运算”.对实数集来说，四则运算和整数次乘方开方都是代数运算. (2)指、对数函数的运算依据指、对数的运算法则与运算性质； (3)指、对数函数是互为反函数.因此遇到指、对数函数有关的混合题要及时运用互为反函数的图象与性质解题; (4)对数函数反应曲线系的理念.因此要善于研究图象的相对位置; (5)对数函数均有对偶式.指数函数研究幂数问题；对数函数与研究对数问题. 如:方程的实根为，方程的实根为, . 探究:超越函数与代数函数的混合方程的根，用图象法.问题变为函数与的交点横坐标问题，而与互为反函数，图象关于对称，又图象也关于对称，所以图象分别于、的交点也关于对称.由 得，所以，故. 6.注意对数函数的综合运算 严格运用求解代数问题的一般性原则进行求解. 探点1.已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性并加以证明； (3)当＞1时，在上取得最大值4，求的值． 探究: (1)因为是奇函数，所以在其定义域内恒成立，即恒成立，所以恒成立，所以或(舍去)，所以. (2)由(1)得，设， 则 ，因为，所以，所以，所以当时，，，即，由减函数的定义知在上是减函数；当时，在上是增函数． (3)由(2)知在上单调递减，所以当时，取到最大值 ，所以 ，解得. 变式:已知函数是偶函数．设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 探究:由函数是偶函数可知：恒成立，解得 函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，即有且只有一个正根. 法一：①若，则不合题意； ②若 ，则由得或.当时，，不合题意；当时，,即（舍去） ；一个正根与一个负根，即，解得.综上：实数的取值范围． 法二:分离法. .解得.综上：实数的取值范围． 探点2.设函数，若函数的定义域为，则函数的值域为，求实数的取值范围. 探究：(1)由知，已知函数的定义域为，由题意知， ，所以.而在上单调递增，所以在上单调递减.以，所以是方程的两个大于的实根，所以,解得，故实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $