精品解析：北京市第四中学（广外校区）2025-2026学年下学期九年级开学学情反馈数学试卷

数学练习 学生须知 1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点 ，点 为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（ ） A. B. C. D. 5. 某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交于点，分别以点， 为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交 于点 ．若，，则的长为( ) A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 3 8. 图1是半径为的圆形硬币，点 是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点 为轨道上一定点（除轨道①外， 均为 的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点 与 重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点 第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 如果在实数范围内有意义，那么实数 的取值范围是________． 10. 分解因式：_________． 11. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 12. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是__________． 13. 某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下： A：89 91 92 93 95 B：88 91 92 93 96 则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______． 14. 如图，点 是正方形 对角线 上的一点，于点．连接并延长交 于点 ，连接．若，，则的长为______． 15. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，， ，为长度固定的支架，支架在 ， ，处与立柱连接（垂直于，垂足为 ），在， 处与篮板连接（ 所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点 处的螺栓改变的长度，使得支架绕点 旋转，从而改变四边形 的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点 离地面的高度为．调节伸缩臂，将由60°调节为，则点 离地面的高度升高了约______（结果保留整数，参考数据：，） 16. 某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19. 如图，在四边形 中， ，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是 的中点，，，求的长． 20. 南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 21. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． （1）计算：在图1中，已知，作于点 ．求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为 ，与半圆的切点为，连接交于点 ． （2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下： b．生长素浓度为10和15时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下： 生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度 10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7 15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2 c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下： 生长素浓度 0 5 10 15 20 方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计图，并标明数据； （2）从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______时对绿豆幼苗生长的促进作用更大； （3）若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）； ①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数 （4）请判断：______（填“”“”或“”）． 24. 如图，在 中，，以 为直径作交 于点D．点在线段 上，．连接并延长交于 ． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求的半径． 25. 科学兴趣小组利用不同材料制作了 ，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为 （单位：）时， 电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与 ，与 之间的关系，回答下列问题： （1）①可以看作是关于 的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与 电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交 轴于点，两点，交 轴于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点，求周长的最大值及此时点 的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使得以点， ， 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程． 27. 在 中， ，，点 为线段 上一动点，连接 ． （1）如图1，若，，求线段 的长； （2）如图2，以 为边在 上方作等边，点 是的中点，连接并延长，交 的延长线于点．若，请探究、、的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点 、 和图形 ，将图形 沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点 在图形上，则称点 为图形 关于点 的“位移点”． 如图，点、． （1）若半径为1， ①在、、中，关于点 的“位移点”是______； ②若在线段 上存在一点 ，使得点 为关于点 的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）已知点，半径为1，点在上，点 为线段 关于点的“位移点”．点，半径为，点 在上．若存在点D，P，使为以点 为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 学生须知 1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟． 2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定 的值以及的值． 3. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点 ，点 为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 4. 平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 5. 某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式求解即可. 【详解】解：用分别表示“福”字、春联、灯笼，画树状图如图： 由树状图可知，共有 种等可能的结果，其中 名顾客恰好领取同一类礼品的结果有种， 他们恰好领取同一类礼品的概率是． 故选：C. 【点睛】本题考查了概率，熟记概率为所求情况数与总情况数之比是解题的关键. 6. 如图，在中，以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交于点 ，分别以点 ， 为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交 于点 ．若，，则的长为( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点 作于点 ，勾股定理求得，根据作图可得 是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作于点 ， 在中，，， ∴， 根据作图可得 是的角平分线， ∴ 设， ∵ ∴ 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． 7. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，点在上，证明，根据 的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作 轴的垂线，垂足分别为，点在上， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵ 点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8. 图1是半径为的圆形硬币，点 是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点 为轨道上一定点（除轨道①外， 均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点 与 重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点 第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆的周长计算， 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点 第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；据此可得答案． 【详解】解：∵圆形硬币的半径为， ∴圆形硬币的周长为， ∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点 第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为； 当沿着轨道①滚动时，则的长为， ∴； 当沿着轨道②滑动时， ∵四边形 是长宽比为的矩形， ∴， ∵四边形 的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于H，连接， ∵点P为矩形 的对称中心， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当沿轨道③滑动时， ∵正方形 的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于H，连接， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当沿着轨道④滑动时， ∵正六边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴点是的中点， 如图所示，连接，则， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大， 故选：B． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 如果在实数范围内有意义，那么实数 的取值范围是________． 【答案】x≠-3 【解析】 【分析】根据分式有意义得出x+3≠0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须x+3≠0， 解得：x≠-3． 故答案为：x≠-3． 【点睛】考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 10. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查综合公式法和提公因式法进行因式分解，注意有公因式一定要先提公因式． 11. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为： ． 12. 若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题综合考查了数轴的有关内容，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 13. 某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下： A：89 91 92 93 95 B：88 91 92 93 96 则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，先求出各生产线平均数和方差，然后比较方差即可得出结论． 【详解】解：甲生产线的平均数为， 甲生产线的方差为， 乙生产线的平均数为， 乙生产线的方差为 ∵， ∴质量更为稳定的生产线是A， 故答案为：A． 14. 如图，点 是正方形 对角线 上的一点，于点 ．连接并延长交 于点 ，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据等腰直角三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，则 ，根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， 是四边形 的对角线， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， 即， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图， ， ，为长度固定的支架，支架在 ， ，处与立柱连接（垂直于，垂足为 ），在， 处与篮板连接（ 所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点 处的螺栓改变的长度，使得支架 绕点 旋转，从而改变四边形 的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点 离地面的高度为．调节伸缩臂，将由60°调节为，则点 离地面的高度升高了约______（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长 与底面交于点，过点 作于点，则四边形为矩形，可得，证明四边形 是平行四边形，可得，当时， 则，此时，，，当时，则，，即可求解． 【详解】解：如图，延长 与底面交于点，过点 作于点，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形 是平行四边形， ∴， 当时， 则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点 离地面的高度升高了约． 16. 某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是______； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为______元（用含a的式子表示）． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据工作总量计算即可； （2）列代数式，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：景点D：第1-2天，使用5人， 景点C：第1-5天，使用2人， 景点B：第3-6天，使用3人， 景点A：第6-8天，使用4人， 每天的人数安排如下： 第1-2天，D（5人）+C（2人）=7人， 第3-5天，B（3人）+C（2人）=5人， 第6天，B（3人）+A（4人）=7人， 第7-8天，A（4人）=4人， 所有景点在第8天完成，因此 的最小值为8天， 故答案为：8 （2）为了找到支付给工人的工资总额的最小值，需要安排四个景点的修复工作，使得在n天内完成，并且每天所需的工人数m尽可能小，从而使得最小． 每个景点的修复需求如下： 景点A：4人，3天 景点B：3人，4天 景点C：2人，5天 景点D：5人，2天 通过分析，我们可以找到一种最优的安排方式： 景点D在第1-2天进行，需要5人； 景点B在第1-4天进行，需要3人； 景点C在第1-5天进行，需要2人； 景点A在第3-5天进行，需要4人． 这样安排后，每天的工人需求如下： 第1-2天：5（D） + 3（B） + 2（C） = 10人； 第3-4天：3（B） + 4（A） + 2（C） = 9人； 第5天：4（A） + 2（C） = 6人． 总天数n=5天，最大工人数m=10人．因此，工资总额为元． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：． ． 18. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 …… 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②，③ （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【解析】 【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 19. 如图，在四边形 中， ，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是 的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合 即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，点F是 的中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 20. 南宁大桥是连接青秀区和良庆区的重要过江通道．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行．现有一辆自重7吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备． 【答案】（1）一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨 （2）该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键， （1）设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过55吨的车辆禁止通行”列不等式再结合m为整数求解即可． 【小问1详解】 解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：一个A的质量为1.2吨，一个B质量为0.8吨． 【小问2详解】 解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥， ∴， 解得：， 因为m为整数，所以最大整数解， 答：该卡车一次最多可运输13套这种设备通过此大桥． 21. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． （1）计算：在图1中，已知，作于点 ．求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为 ，连接交于点 ． （2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理，圆的性质，勾股定理解答即可． （2）根据题意，计算出的长度，计算就是水位下降的高度． 本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点 ，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ．    （2）∵与半圆的切点为 ， ∴， ∵ ∴于点 ， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当时，对于 的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：函数中，当 时，，当 时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近 轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 23. 某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下： b．生长素浓度为10和15时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下： 生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度 10 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7 15 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2 c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下： 生长素浓度 0 5 10 15 20 方差 0.108 0.083 n 0.067 0.041 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全统计图，并标明数据； （2）从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______时对绿豆幼苗生长的促进作用更大； （3）若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）； ①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数 （4）请判断：______（填“”“”或“”）． 【答案】（1） 补全统计图如下： （2） （3）④ （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，平均数方差，从统计图正正确获取数据是解题的关键． （1）求出生长素浓度为10的中位数为，生长素浓度为15时的平均数为，补全统计图即可； （2）由统计图得到生长素浓度为时对绿豆幼苗生长的促进作用更大，即可得到答案； （3）根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征，即可得到答案； （4）求出生长素浓度为10的方差，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：生长素浓度为10的中位数为， 生长素浓度为15时的平均数为， 补全统计图略 【小问2详解】 解：根据统计图得不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数分别为， 生长素浓度为时对绿豆幼苗生长的促进作用更大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征， 故答案为： ④； 【小问4详解】 解：生长素浓度为10的方差， ， ， 故答案为：． 24. 如图，在 中，，以为直径作交于点D．点 在线段 上，．连接 并延长交于 ． （1）求证：； （2）连接交于点．若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ，设， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，设，先证明，然后根据垂直平分线的性质定理证明，再逐步求得，即得答案； （2）连接 ，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 由（1）可得，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 科学兴趣小组利用不同材料制作了 ，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为 （单位：）时， 电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画与 ，与 之间的关系，回答下列问题： （1）①可以看作是关于 的正比例函数，则的值为______； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为时，电池板的输出电压与 电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）． 【答案】（1）①； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”如下： 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.6 1.2 1.8 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 （2） 在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象如下： ． （3）①；②31 【解析】 【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键． （1）①设，利用待定系数法求出，再将代入计算即可得； ②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得； （2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得； （3）①根据表格和函数图象求出当时，，的值，由此即可得； ②根据表格和函数图象求出当时，，的值，再根据都是随 的增大而增大即可得． 【小问1详解】 解：①由题意，设， 将点代入得：，解得， 则， 当时，， 故答案为：． ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，， 由表格和函数图象可知，当时，， 则， 即当光照强度为时，电池板的输出电压与 电池板的输出电压之差约为， 故答案为：． ②由表格数据可知，当时，， 当时，，， ∴当时，， ∵都是随 的增大而增大， ∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到， 故答案为：31． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交 轴于点，两点，交 轴于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作于点 ，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，求周长的最大值及此时点 的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使得以点， ， 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）周长的最大值为， （3）、或，过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由待定系数法求函数表达式即可得到答案； （2）由最大值，求出直线 的表达式为 ，设，则，表示出，求出最值代入即可得到答案； （3）根据题意，抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，得到平移后的解析式，设，在平面直角坐标系中标出，，过顶点作对边平行线，分别交于点，如图所示，分情况讨论，利用点的平移得到，结合菱形性质列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点，交 轴于点， 由题意得，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，解得 或，即点， 当 时，，即， 轴， ，则， ，， 设直线 的表达式为，将、代入得，解得， 直线 的表达式为 ， 设，则， ， 由得抛物线开口向下，当时，有最大值，为2，此时，点， 最大值， 周长的最大值为，此时点； 【小问3详解】 解：抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位， 平移后的抛物线为， 抛物线的对称轴为， 点 为平移后的抛物线的对称轴上一点， 设，在平面直角坐标系中标出，，过顶点作对边平行线，分别交于点，如图所示： ：在中，，，则由点的平移可得， 是菱形， ，即，解得， ； ：在中，，，则由点的平移可得， 是菱形， ，即，则，解得， 或； ：在中，，，则由点的平移可得， 是菱形， ，即，则，方程无解， 不存在； 综上所述，所有符合条件的点 的坐标为、或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法确定函数解析式、解直角三角形求线段长、一次函数的性质、二次函数图象与性质、函数图象平移、菱形的性质、平行四边形的性质、点的平移、两点之间距离公式、解方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型的解法是解决问题的关键，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 27. 在 中， ，，点 为线段上一动点，连接 ． （1）如图1，若，，求线段 的长； （2）如图2，以 为边在 上方作等边，点 是的中点，连接并延长，交 的延长线于点．若，请探究、、 的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）在 中，由 ，，可得，，即可得到； （2）取的中点，连接，证明为等边三角形，得，，可得，有，故，在上截取，连接，可证，得，，有，，可得，知，，从而得到，即可证得． 【小问1详解】 解：在 中， ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， 在 中，点为斜边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵点 是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点 、和图形 ，将图形 沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点 在图形上，则称点 为图形 关于点的“位移点”． 如图，点、． （1）若半径为1， ①在、、中，关于点 的“位移点”是______； ②若在线段上存在一点 ，使得点 为关于点 的“位移点”，直接写出的长的取值范围； （2）已知点，半径为1，点 在上，点 为线段关于点 的“位移点”．点，半径为，点 在上．若存在点D，P，使为以点 为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①将沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知关于点 的“位移点”在上，再逐个分析即可判断；②沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知点 在上，再利用线段的性质得到的最小值为，的最大值为，再对的长分情况讨论即可求解； （2）分①点 在的右侧；②点 在的左侧2种情况讨论，连接，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于 ，作于，连接，利用相似三角形的性质求出，利用全等三角形的性质求出点 的坐标，得出点 的轨迹是以点 为圆心，半径为1的圆，记为；将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，根据新定义可知在线段上存在一点，使得点 在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，再讨论与的位置关系即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①，半径为1， 沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， ，，， 、在上， 关于点 的“位移点”是、， 故答案为：、； ②由题意得，沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1， 点 为关于点 的“位移点”， 点 在上， ， ， ， 的最小值为，的最大值为， 点 在线段上， 当时，最小；当点 与点 重合时，最大， 当时， ，， 是等腰直角三角形，， 又， ，此时的最小值为； 当点 与点 重合时， 则，此时的最大值为， 综上所述，的长的取值范围为． 【小问2详解】 解：①当点 在的右侧，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，作轴于 ，作于，连接，如图所示， 和是等腰直角三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， 又，， ， ，， 设，， 由点可得，解得， ， 点 的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点 在上， ， 又点 为线段关于点 的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点 在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在 右侧）时，此时，有最大值，如图所示， 此时， ， 当，且与相切（在 左侧）时，此时，有最小值，如图所示，连接， 由（1）得，是等腰直角三角形，则有， 由平移的性质得，， ，， 轴， ， 是等腰直角三角形，， ， ； 的取值范围为； ②当点 在的左侧，连接，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，作轴于 ，作于，连接，如图所示， 同理①的方法可得，，， 点 的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为； 将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，， 半径为1，点 在上， ， 又点 为线段关于点 的“位移点”， 在线段上存在一点，使得点 在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为， 当点与点重合，且与相切（在 下方）时，此时，如图所示， ， ， 解得：， 当时，满足题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义、平移的性质、圆的轨迹问题、点、直线、圆的位置关系、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识点，理解“位移点”的定义画出对应的示意图是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的知识理解运用和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $