2025-2026学年华东师大版九年级数学下册高频考点专练之圆(十考点)

高频考点专练之圆2025-2026学年华东师大版 九年级下册(十考点) 考点一：圆的认识 1.已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.如图，的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为(   )    A．3 B．4 C．5 D．6 3.已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 4.下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 考点二：垂径定理 1.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ． 2.如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ． 3.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 4.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．    (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 考点三：弧、弦、圆心角与圆周角 1.下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 2.如图，中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3.如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，若连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5.如图，点A，B，C在上，，，则等于 ． 6.如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 7.如图，是的弦，，点B是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则的最大值是 ． 8.如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 考点四：点与圆的位置关系 1.已知的半径是8，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（  ） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 2.如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在外 D．点在内 3.在同一平面上，外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则的半径为 cm． 考点五：直线与圆的位置关系 1.在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3.如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 4.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 考点六：与切线有关的计算 1.如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．RtABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则RtABC的周长等于_______． 3．如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度． 4．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________． 考点七：正多边形与圆 1.如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（    ） A． B． C．1 D． 2.如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 3.如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（    ）． A．六 B．八 C．十 D．十二 4.如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 5.如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为 ． 考点八：扇形的相关计算 1.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ． 3.如图，矩形的对角线，相交于点，是等边三角形，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    4.如图，在扇形中，圆心角，，分别以的中点为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为 ．      5.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    考点九：圆锥的相关计算 1.如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 2.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 3.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　）度． A．120° B．135° C．150° D．160° 4.如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为 cm2．    5.如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 考点十：圆综合计算与证明 1.如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 3.如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)若，，求线段的长． 【答案】 高频考点专练之圆2025-2026学年华东师大版 九年级下册(十考点) 考点一：圆的认识 1.已知是半径为2的圆的一条弦，则的长可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 2.如图，的半径为5，点到圆心的距离为，如果过点作弦，那么长度为整数值的弦的条数为(   )    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 3.已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 4.下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 考点二：垂径定理 1.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ． 【答案】7 2.如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ． 【答案】 3.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 【答案】 4.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．    (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】(1)5米 (2)2米 【详解】（1）解：如图，作于点E，交于点D． 则米，米． 设圆的半径为r米，在中，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为5米；    （2）解：当米时，米． 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）． 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 考点三：弧、弦、圆心角与圆周角 1.下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．弦相等，圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等 【答案】B 2.如图，中，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 4.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，若连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，点A，B，C在上，，，则等于 ． 【答案】136° 6.如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 【答案】 7.如图，是的弦，，点B是上的一个动点，且，若点M、N分别是的中点，则的最大值是 ． 【答案】 8.如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所对圆心角； （2）证明：∵是的外角的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴； （3），证明：如图，延长至，使，连接， ∵四边形是圆内四边形， ∴, ∵， ∴, 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴，, ∴是等边三角形， ∴, 即． 考点四：点与圆的位置关系 1.已知的半径是8，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（  ） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 【答案】A 2.如图，中，于点，点为上的点，，以点为圆心为半径画圆，下列说法错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在外 D．点在内 【答案】A 3.在同一平面上，外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则的半径为 cm． 【答案】5或3 考点五：直线与圆的位置关系 1.在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 3.如图，∠ACB＝30°，点O是CB上的一点，且OC＝6，则以4为半径的⊙O与直线CA的公共点的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】C 4.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（     ） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 【答案】D 考点六：与切线有关的计算 1.如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 2．RtABC的斜边为13，其内切圆的半径等于2，则RtABC的周长等于_______． 【答案】30 3．如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度． 【答案】65 4．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________． 【答案】10cm 考点七：正多边形与圆 1.如图，已知的内接正方形的边长为1，则的半径为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 2.如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 3.如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（    ）． A．六 B．八 C．十 D．十二 【答案】D 4.如图，正六边形和正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 5.如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 考点八：扇形的相关计算 1.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ． 【答案】2 3.如图，矩形的对角线，相交于点，是等边三角形，，分别以点，为圆心，长为半径画弧，与该矩形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 4.如图，在扇形中，圆心角，，分别以的中点为圆心的长为半径作半圆，两个半圆相交于点，则图中阴影部分的周长为 ．      【答案】 5.如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    【答案】 考点九：圆锥的相关计算 1.如图，正六边形的边长为12，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】D 2.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 3.如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是（　　）度． A．120° B．135° C．150° D．160° 【答案】C 4.如图是一张直角三角形卡片，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB．若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为 cm2．    【答案】16π＋16π． 5.如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ． 【答案】 考点十：圆综合计算与证明 1.如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②的半径为5． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）①证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的中点E， ∴， ∴， ∴； ②解：设,则， 由①知， ∴和都是直角三角形， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去），即，， 在中，， ∴， 解得：，即的半径为5． 2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【答案】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 3.如图，是的直径，点C是上一点，与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线与的延长线相交于点P，G是的内心，连接并延长，交于E，交于点F，连接． (1)求证：平分； (2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，见解析 (3)6 【详解】（1）∵是切线 ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，即平分； （2）为等腰三角形，理由如下， ∵为的直径， ∴． ∵G是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）连接，作交于点M，如图所示： 由圆周角定理可知． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 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