18.2菱形1．菱形的性质同步练习2025-2026学年 华东师大版八年级数学下册

18.2　菱形 1．菱形的性质 第1课时　菱形的性质 　菱形的定义及对称性 1．如图，四边形ABCD是菱形(∠B≠90°)，直线l是菱形ABCD的一条对称轴，点E、F、G分别是边AB、CD、AD的中点，则点E关于直线l的对称点是(　　) A．点C B．点D C．点F D．点G 2．(开放题)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，根据菱形的定义，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是______________．(写出一个即可) 　性质定理1：菱形的四条边都相等 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为________． 4．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，BE＝DF，连结EA、FA. 求证：EA＝FA. 　性质定理2：菱形的对角线互相垂直 5．将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数－2，点C表示数6.若BD的长为6，则该菱形的边长为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝ cm，BD＝2 cm，则AC的长为________cm. 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为边AB的中点，DE⊥AB. (1)求∠DAB的度数． (2)如果AC＝4，求菱形ABCD的面积． 1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连结OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为(　　) A．12 B．10 C．6 D．24 2．如图，菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为10，E是线段CD上一点，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，则线段EF的长为(　　) A． B．8 C． D．10 3．若边长是6的菱形有一个内角为120°，则这个菱形的面积是________． 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，且DE∥AC，AE∥BD. (1)试判断四边形ODEA的形状，并说明理由． (2)连结OE，求OE的长． 5．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，点M在BC上，点N在AC上，且MN＝BN. (1)如图1，若AC、BD相交于点O，点N恰好与点O重合，求∠DMN的度数． (2)如图2，当点N在AC上运动时，∠DMN的度数会发生变化吗？请说明理由． 微专题7 含60°角的菱形 由菱形的性质：“四条边都相等，对角线互相垂直”可以得到菱形的每一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，当菱形有一个内角为60°(或120°)时，菱形较短的对角线把菱形分成两个全等的等边三角形． 1.已知菱形ABCD的周长是8，∠A＝60°，则较短对角线的长为(　　) A．1 B． C．2 D．2 2．如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点E、F分别在边BC、CD上，连结EF、AE、AF.若∠EAF＝60°，AB＝12，AE＝11，则△ECF的周长为________． 　　 3．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB的中点，点F是AC上一动点，则EF＋BF的最小值为________．(提示：根据轴对称的性质) 【详解答案】 基础达标 1．D　2.AB＝AD(答案不唯一)　3.8 4．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴EA＝FA. 5．A　6.4 7．解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵E为边AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴BD＝AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°. (2)∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝4， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD， ∴∠AOB＝90°， ∵AB＝BD＝2OB， ∴OA＝＝＝OB＝2， ∴OB＝2， ∴BD＝2OB＝4， ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8. 能力提升 1．A　解析：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB于点H，OH＝2，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH＝4，∵OA＝3，∴AC＝2OA＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12.故选A. 2．A　解析：连结BD，交AC于点O，如图： ∵菱形ABCD的周长为52，对角线AC的长为10，∴AB＝×52＝13，AB∥CD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB＝＝＝12，则BD＝2OB＝24，∵EF⊥AB，AB∥CD，∴EF是菱形AB边上的高，∴S菱形ABCD＝BD·AC＝AB·EF，∴×24×10＝13EF，解得EF＝.故选A. 3．6　解析：如图，设这个菱形是菱形ABCD，∠BAD＝120°， ∴AD∥BC，AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝6，∠AOB＝90°，∴AO＝AC＝3，∴BO＝＝，∴BD＝2BO＝2，∴这个菱形的面积＝×6×2＝6. 4．解：(1)四边形ODEA是矩形． 理由如下： ∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形ODEA是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴四边形ODEA是矩形． (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝AC，OD＝BD， ∵AC＝12，BD＝16， ∴AO＝6，OD＝8， ∵∠AOD＝90°， ∴AD＝＝10， ∵四边形ODEA是矩形， ∴OE＝AD＝10. 5．解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，OB＝OD， ∵∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD＝60°， ∵MN＝BN， ∴△BMN是等边三角形， ∴∠BNM＝60°， ∴∠DNM＝180°－∠BNM＝120°， 又∵MN＝BN，BN＝DN， ∴DN＝MN， ∴∠DMN＝(180°－∠DNM)＝×(180°－120°)＝30°. (2)当点N在AC上运动时，∠DMN的度数不发生变化，始终等于30°. 理由如下： 连结BD交AC于点O，连结DN， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴BN＝DN， ∴设∠NBO＝∠NDO＝α， 由(1)可知△BCD是等边三角形， ∠DBC＝60°， 依题意有以下两种情况： ①当点N在线段OA上时，如图所示： ∴∠NBM＝∠DBC＋∠NBO＝60°＋α， ∵MN＝BN， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°＋α， 在△NBM中，∠BNM＋∠NMB＋∠NBM＝180°， ∴∠BNM＋60°＋α＋60°＋α＝180°， ∴∠BNM＝60°－2α， ∵AC⊥BD，∠NBO＝∠NDO＝α， ∴∠BNO＝∠DNO＝90°－α， ∴∠MNO＝∠BNO－∠BNM＝90°－α－(60°－2α)＝30°＋α， ∴∠MND＝∠MNO＋∠DNO＝30°＋α＋90°－α＝120°， ∵BN＝DN，MN＝BN， ∴MN＝DN， ∴∠DMN＝(180°－∠MND)＝×(180°－120°)＝30°； ②当点N在线段OC上时，如图所示： ∴∠NBM＝∠DBC－∠NBO＝60°－α， ∵MN＝BN， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°－α， 在△NBM中，∠BNM＋∠NMB＋∠NBM＝180°， ∴∠BNM＋60°－α＋60°－α＝180°， ∴∠BNM＝60°＋2α， ∵AC⊥BD，∠NBO＝∠NDO＝α， ∴∠BNO＝∠DNO＝90°－α， ∴∠MNC＝180°－(∠BNO＋∠BNM)＝180°－(90°－α＋60°＋2α)＝30°－α， ∵∠CND＝180°－∠DNO＝180°－(90°－α)＝90°＋α， ∴∠MND＝∠MNC＋∠CND＝30°－α＋90°＋α＝120°， ∵BN＝DN，MN＝BN， ∴MN＝DN， ∴∠DMN＝(180°－∠MND)＝×(180°－120°)＝30°. 综上所述，当点N在AC上运动时，∠DMN的度数不发生变化，始终等于30°. 微专题7 1. C　解析：如图， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝＝2，∴较短对角线的长为2.故选C. 2．23　解析：连结AC，如图． ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD＝12，∴∠D＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠D＝60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠DAC＝∠ACD＝60°，AC＝AD，∵∠EAF＝60°，∴∠DAC＝∠EAF，∴∠DAF＝∠CAE，∵∠ACE＝∠BCD－∠ACD＝60°，∴∠D＝∠ACE，∴△ADF≌△ACE(ASA)，∴AF＝AE，DF＝CE，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF＝AE＝11，∴△ECF的周长＝CE＋CF＋EF＝DF＋CF＋EF＝CD＋EF＝12＋11＝23. 3.　解析：如图，连结DB、DE，设DE交AC于点M，连结MB、DF， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC、BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为点D，∴FD＝FB，∴FE＋FB＝FE＋FD≥DE，只有当点F运动到点M时，取等号(两点之间线段最短)，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形．∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝AB＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＋BF的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　菱形性质的运用 知识点 菱形性质的运用 1.如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，则小路BD的长为(　　) A．40 m B．4 m C．20 m D．2 m 2．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠ABC＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠AOE的度数为(　　) A．15° B．30° C．25° D．20° 3．(2025云南中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是________． 4.如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，C村庄的村民分别在两条公路的旁边各建一个加工厂B、D.已知四边形OBCD是菱形，C村庄到公路l1的距离为4 km，则C村庄到公路l2的距离是________ km. 5．如图1是一种彭罗斯瓷砖的图案，它是由两种不同的菱形非周期性拼接而成(不重叠、无缝隙)，图2是其中一部分抽象出的几何图形，图中的∠α＝________°. 6．如图，菱形ABCD的边长为5，以菱形ABCD的对称中心为原点O，平行于AD的直线为x轴建立平面直角坐标系，已知A(－1，2)，点D在双曲线y＝上． (1)写出点B、D的坐标，并求双曲线的表达式． (2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由． 7．(教材变式)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P、Q分别是边BC、线段OD上的点，连结AP、QP，AP与OB相交于点E. (1)如图1，连结QA，当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由． (2)如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，求证：PB＝PC. 1．如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是BC、OB、OC的中点，则四边形EFOG的面积为(　　) A．S B．S C．S D．S 2．如图，在菱形ABCD中，正三角形AEF的两个顶点分别在边BC、CD上，且AB＝AE，则∠B＝(　　) A．85° B．80° C．75° D．70° 3．(传统文化)如图，以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．若最外层菱形的对角线长度分别为16 cm、12 cm，则它的两条对边间的距离为(　　) A．9.6 cm B．10.8 cm C．12 cm D．4.8 cm 4．如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，O为其对称中心，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．若∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为________． 5．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形ABCD，伞骨连结点A固定在伞柄AP顶端，伞圈C能沿着伞柄AP滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄AP的中点O到伞骨连结点B、D的距离都等于AP的一半，若夹角∠BAD＝2∠BOD，求∠BCD的度数． 6．(几何直观)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC于点F，下面是两位同学的对话． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明． (2)在(1)的条件下，如图2，若∠BAD＝60°，四边形CEGF是菱形，分别连结DB、DG，求∠BDG的度数． 【详解答案】 基础达标 1．D　2.D　3.15　4.4　5.36 6．解：(1)由题意可得B(－4，－2)， D(4，2). 把D(4，2)代入y＝得2＝， 解得k＝8， 所以双曲线的表达式为y＝. (2)点B在双曲线上． 理由：把x＝－4代入双曲线表达式得y＝＝－2， 所以B(－4，－2)在双曲线上． 7．解：(1)点Q在线段PC的垂直平分线上． 理由：如图，连结QC. ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴BD⊥AC，OA＝OC， ∴QA＝QC， ∵QA＝QP， ∴QC＝QP， ∴点Q在线段PC的垂直平分线上． (2)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB. ∵∠BAP＝∠ADB， ∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD. ∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∵∠APB＝90°， ∴PB＝PC. 能力提升 1．B　解析：如图所示，连结OE， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，又∵E是BC的中点，∴OE＝BE＝CE，又∵F、G分别是BO、CO的中点，∴EF∥OC，EG∥OB，∴EF⊥OB，EG⊥OC，∴∠EFO＝∠FOG＝∠EGO＝90°，∴四边形EFOG是矩形，∵菱形ABCD的面积为S，∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S.故选B. 2．B　解析：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B，AB＝AD，AD∥BC，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，∴AD＝AF，∴∠D＝∠AFD，∴∠B＝∠AEB＝∠D＝∠AFD，∴∠BAE＝∠DAF，设∠B＝x，则∠DAF＝∠BAE＝180°－2x，∴∠DAE＝60°＋180°－2x＝240°－2x，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，∴x＝240°－2x，解得x＝80°，∴∠B＝80°.故选B. 3．A　解析：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，AC＝16 cm，BD＝12 cm， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC＝8 cm，BE＝DE＝BD＝6 cm，∴∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝10(cm)，设菱形ABCD两条对边间的距离为h cm，∵S菱形ABCD＝AB·h＝AC·BD，∴10h＝×16×12，解得h＝9.6，∴它的两条对边间的距离为9.6 cm.故选A. 4．2　解析：如图，连结AC、BD. ∵O是菱形ABCD的对称中心，∴O是AC、BD的交点，且AC⊥BD，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABO＝∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝4，∴OA＝OC＝AC＝2，OB＝＝，∴S△CBD＝×2OB×OC＝×2×2＝2，设过点O的三条直线与菱形ABCD的各边分别交于点E、F、G、H、P、Q，∵AB∥CD，∴∠OBE＝∠ODH，∠OEB＝∠OHD，∵OB＝OD，∴△OBE≌△ODH(AAS)，∴S△OBE＝S△ODH，∵AD∥BC，∴∠OAQ＝∠OCG，∠OQA＝∠OGC，∵OA＝OC，∴△OAQ≌△OCG(AAS)，∴OQ＝OG，∵AD∥BC，∴∠OPQ＝∠OFG，∠OQP＝∠OGF，∴△OPQ≌△OFG(AAS)，∴S△OPQ＝S△OFG，∴S阴影＝S△OBE＋S△OBF＋S△OPQ＋S四边形OGCH＝S△ODH＋S△OBF＋S△OFG＋S四边形OGCH＝S△CBD＝2. 5．解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAO＝∠DAO，∠BCD＝∠BAD， ∵O是AP的中点， ∴OA＝PA， ∵OB＝OD＝AP， ∴OA＝OB＝OD， ∴∠OBA＝∠OAB，∠ODA＝∠OAD， ∵∠BAD＝2∠BOD， ∴∠BOD＝∠BAO， ∵∠BAD＋∠OBA＋∠BOD＋∠ODA＝360°， ∴5∠OAB＝360°， ∴∠OAB＝72°， ∴∠BAD＝2∠OAB＝144°， ∴∠BCD＝144°. 6．解：(1)选小丽． 证明：∵CE＝CF， ∴∠CEF＝∠F， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠CEF， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 选小杭． 证明：∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． (答案不唯一，任选其一即可) (2)如图，分别连结GB、GC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，AD∥BC， ∴∠ECF＝120°，∠ABC＝180°－∠BAD＝120°， ∵AB＝BE， ∴DC＝BE，∠BAE＝∠BEA＝30°， ∵四边形CEGF是菱形， ∴CE＝CF＝EG，CF∥EG， ∴∠CEF＝∠BEA＝∠CFE＝30°，∠CEG＝∠BCD＝60°， ∴△ECG为等边三角形， ∴∠EGC＝∠ECG＝60°，EG＝CG， ∴∠DCG＝∠BCD＋∠ECG＝120°， ∵∠CEG＝60°，四边形CEGF是菱形， ∴∠GEF＝∠CEG＝30°， ∴∠BEG＝180°－∠AEB－∠GEF＝120°， ∴∠BEG＝∠DCG， 在△BEG和△DCG中， ∴△BEG≌△DCG(SAS)， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠BGE＋∠DGE＝∠DGC＋∠DGE＝∠EGC＝60°， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°. 学科网（北京）股份有限公司 $