精品解析：四川绵阳市盐亭县嫘祖实验中学等校2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题

2025-2026学年度下学期开学九年级数学 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故A不符合题意； B．是中心对称图形，故B不符合题意； C．不中心对称图形，故C符合题意； D．是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（　　） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D. 明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类与概率的意义，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故该选项不符合题意； B、200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； C、汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故该选项符合题意； D、明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 4. 若圆锥的底面直径为6，高为4，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键． 先求圆锥母线，再根据公式求侧面积． 【详解】解：如图所示， ∵圆锥的底面直径为6，高为4， ∴半径，高， 由勾股定理得：母线， ∴该圆锥的侧面积． 故选B． 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：中含有两个未知数，因此不是一元二次方程，故A选项不合题意； 不是整式方程，因此不是一元二次方程，故B选项不合题意； 中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，因此是一元二次方程，故C选项符合题意； 中含有两个未知数，因此不是一元二次方程，故D选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，解题的关键是掌握定义，即通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 6. 某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“销售单价每上涨1元，每天销量减少个”结合“当销售单价定为元时，每天可售出个”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售纪念品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解． 【详解】解：由题可得： ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来． 7. 一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的基本性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由圆周角定理得到，由圆的半径相等，设，由勾股定理求出，进而得到答案．熟练掌握圆周角定理、圆中求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， ， 设， 在中，，，，则由勾股定理可得， 解得，即， 直径为， 故选：B． 8. 如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 9. 已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象G，设经过点且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分如图1和如图2两种临界情况，求出对应的t的值即可得到答案． 【详解】解：如图1所示， ， 顶点坐标为， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， 此时最大值为5，最小值为0； 如图2所示，当时，此时最小值为，最大值为4． 综上所述，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是， 故选D． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键． 10. 如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（ ） A. P， B. A， C. P， D. A， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键．根据条件得出，，确定旋转中心，根据条件得出，确定旋转角度数． 【详解】解：∵是由按顺时针方向旋转而得， ∴， ∴，，， ∴， ∴是以点A为旋转中心顺时针旋转得到的． 故选：D． 11. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 12. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 若点与点关于y轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标特征． 根据关于y轴对称的点坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此m与1互为相反数． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数， 即， 故答案为：． 14. 如果、是一元二次方程的两个实数根，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了韦达定理，一元二次方程解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据、是一元二次方程的两个实数根，可得，，，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， 、是一元二次方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 15. 已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 16. 如图,是 的外接圆， 则 的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵是 的外接圆，和都对， ∴． 故答案为：． 17. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】作，由勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切， 设切点为F，连接，则． 等边中，， ∴． 在中， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键． 18. 如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到圆距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值． 【详解】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于， ∵是等边三角形，半径为1 ∴， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 三．解答题（共90分） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解题关键 ． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解； 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， ． 20. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】（1） （2）为了安全起见，气体的体积应不小于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于理解体积和气压的关系，气压越大体积越小． （1）设表达式为，取点A，代入解得k值即可； （2）令，代入表达式解得，则由图可知，为了安全起见，气体的体积应不小于． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， ∵该函数的图象过点A， ， 解得，， ∴这一函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令得，． 解得，， 由图象可知：当时，， 答：为了安全起见，气体的体积应不小于． 21. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，已知为的切线，通过证明，即可得到是的切线，易知，，由，通过等腰三角形三线合一证明即可； （2）在中，利用勾股定理先求解的长，易证，在中，利用勾股定理列式解方程求解的长，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ，， ， 为的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得， 、为的切线， ， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， ． 22. 阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； （2）参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； （3）类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 【答案】（1）4，4，图象见详解； （2）①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； （3）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【解析】 【分析】本题考查画函数图象，图象的平移，解题的关键是综合运用相关知识解题． （1）求出a，b，利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 小问1详解】 解：观察表格数据发现，当时，；当时，； 所以，； 函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：函数的性质为：①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； 【小问3详解】 解：把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 23. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1）方程是“黄金方程”，理由见解析 （2） （3）m的值为1或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【小问1详解】 解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． 【小问2详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 24. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．求证：是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，已知为的切线，通过证明，即可得到是的切线，易知，，由是的直径，，根据直径所对的圆周角为，结合两直线平行，同位角相等可得，进而通过等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】证明：如图， 连接， 是的切线， ， 是的直径， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， 点在上， 是的切线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； （3）将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 【答案】（1），对称轴为直线 （2） （3）的面积最大值为12 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理． （1）将分别代入，求出，即可求出抛物线的表达式，进而根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，设，根据勾股定理求出，根据列方程求解即可； （3）先求出，根据折叠的性质得到，且抛物线仍然经过，进而求出抛物线的表达式为，过点作轴于点，设点的坐标为，则，即，根据，得到，求出的表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴将分别代入， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设． ∵， ∴． 当时，即， 解得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：当时，解得， 即， ∵将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点 ∴，且抛物线仍然经过， 设的表达式为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 如图，过点作轴于点， 设点的坐标为， 则， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为12， ∵是直线上方抛物线上的一点， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期开学九年级数学 一．选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 C. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件 D. 明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若圆锥的底面直径为6，高为4，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 6. 某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，截取该函数图象在间部分记为图象G，设经过点且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是由按顺时针方向旋转某一角度得到的，若，，则在这旋转过程中，旋转中心和旋转的角度分别为（ ） A. P， B. A， C. P， D. A， 11. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 二．填空题（每小题4分，共24分） 13. 若点与点关于y轴对称，则______． 14. 如果、是一元二次方程的两个实数根，则______________． 15. 已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 16. 如图,是 的外接圆， 则 的度数是______ 17. 如图，以边长为2的等边顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交于D，E，则图中阴影部分的面积是______． 18. 如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ____． 三．解答题（共90分） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）写出这一函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 21. 如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； （2）参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； （3）类比二次函数图象平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 23. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 24. 如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．求证：是的切线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； （3）将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $