精品解析：湖北十堰市第一中学2025-2026学年第一学期期末考试试卷高二数学

十堰一中2025-2026学年第一学期期末考试试卷高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：卢杰 审题人：毛士永 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 等比数列前n项和为，则公比等于（ ） A. B. C. 1 D. 1或 5. 点M 为双曲线 的渐近线上一点，点N 为圆 上一点，则的最小值为 （ ） A. 1 B. C. D. 6. 数列中，，，前项和为，则下面正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. D. 7. 设椭圆 的左右焦点分别为，，点在椭圆外，过的直线交椭圆于，两点，且是线段的中点，如图所示，若直线，的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆 ，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上截距相等，则或 B. 过点且与圆M相切的直线方程为或 C. 直线l与圆可能相交，可能相切，也可能相离 D. 当且仅当时，直线l被圆M截得的弦最短 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 当且仅当时，数列的前项和最小 D. 数列的前项和为，则 11. 已知O为坐标原点， 点在抛物线上， 过点的直线交C于两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线 C的焦点坐标为 B. 为定值3 C. D. 若点P关于y轴的对称点为T，则直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量，点在内，则原点O到的距离为______. 13. 已知抛物线 的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点.若是锐角三角形，则的取值范围是____. 14. 某校数学兴趣小组创作了右下图数表，该数表的第一行是数列{n}，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和.如：3=1+2，12=5+7..各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为和的等比中项． （1）求数列通项公式； （2）若数列单调递增，求数列 的前n项和. 16. 如图， 四边形为矩形， 平面平面， ，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 17. 已知椭圆的离心率为 点是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线与椭圆交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求此平行四边形的面积. 18. 如图，在三棱柱中，，点在平面上的射影为的中点O. （1）若. ①求证：； ②求平面与平面夹角的余弦值； （2）记线段的中点为，线段的中点为，线段 的中点为，如此得到点列.已知三棱柱 的体积为常数，三棱锥的体积为，数列前n项和为，求证: 19. 已知 R 是圆 上的动点，点，直线NR 与圆M的另一个交点为S，点L 在直线MR上，且，如图1，图2所示，记动点L 的轨迹为曲线 C. （1）求证:为定值，并求曲线C的方程； （2）若过点的直线l与曲线C交于两点， 且位于x轴同侧. ①若的面积不大于，求直线l斜率的取值范围； ②在x轴上是否存在定点Q，使得的内心在一条定直线上?请给出你的结论，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰一中2025-2026学年第一学期期末考试试卷高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：卢杰 审题人：毛士永 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角定义即可得到答案. 【详解】因为两点横坐标相同，所以直线AB的倾斜角为. 故选：A. 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 3. 方程 表示焦点在轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程及焦点所在的位置列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意，，可得. 故选：B 4. 等比数列前n项和为，则公比等于（ ） A. B. C. 1 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式和求和公式，结合方程思想求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则由， 可得， 即，解得或. 故选：D. 5. 点M 为双曲线 的渐近线上一点，点N 为圆 上一点，则的最小值为 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出圆心到渐近线的距离，减去半径得答案． 【详解】由圆，得， 可得圆心坐标为，半径为1， 双曲线 的渐近线方程为，根据对称性取直线， 圆心到直线的距离， 而为直线上的动点，N为圆上的动点， 则的最小值是． 故选：B 6. 数列中，，，前项和为，则下面正确的是（ ） A. B. 有最大值 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式求出的值，可判断A选项；分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用分组求和法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，解得，A错； 对于C选项，由可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，C对； 对于B选项，对任意的，，所以数列单调递增，故无最大值，B错； 对于D选项， ，D错. 故选：C. 7. 设椭圆 的左右焦点分别为，，点在椭圆外，过的直线交椭圆于，两点，且是线段的中点，如图所示，若直线，的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值. 【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，而，点为线段的中点， 由为的中点，得，取线段的中点，连接，如图： 则，即， 因此，， 设点、，则点， 于是，两个等式作差得，整理得， 因此， 所以椭圆的离心率为. 故选： 8. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆 ，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上截距相等，则或 B. 过点且与圆M相切的直线方程为或 C. 直线l与圆可能相交，可能相切，也可能相离 D. 当且仅当时，直线l被圆M截得的弦最短 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据结论和过原点两种情况讨论即可判断；对B，分直线斜率存在和不存在讨论即可；对C，求出直线所过定点与圆位置关系即可判断；对D，根据直线被圆所截弦最短结论即可判断. 【详解】对A，当直线的斜率为时，直线在轴和轴上截距相等， 此时，，符合题意； 当直线经过原点时，此时，解得， 综上，或，故A正确； 对B，，即，圆心，半径， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意； 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 则有，解得，则直线方程为， 综上，直线方程为或，故B正确； 即，令，解得，则其过定点， 将其代入圆的方程得，则定点在圆内，则其与圆一定相交，故C错误； 对D，因为，当直线与直线互相垂直时，此时直线l被圆M截得的弦最短，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 当且仅当时，数列的前项和最小 D. 数列的前项和为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，将代入等式中即可验证；对于B，写出的等式，然后两式相减化简即可求得；对于C，先求出数列，然后根据等差数列的性质判断即可；对于D，根据数列的周期性计算即可. 【详解】已知等式：① 当时，左边，右边，得，因此选项A错误； 当时，写出的对应等式 ②， ①②得， 约去得. 验证时，也满足，因此对任意，，选项B正确； 对数列，代入， 得，这是公差为的递增等差数列. 令，得，即前项均为负数，从第项开始为正数， 因此前项和最小当且仅当，选项C正确； 的周期为，则时； 时；时；时. 每连续项的和为， 所以， 选项D错误. 11. 已知O为坐标原点， 点在抛物线上， 过点的直线交C于两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线 C的焦点坐标为 B. 为定值3 C. D. 若点P关于y轴的对称点为T，则直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用待定系数法求解可判断A,利用联立方程组，结合韦达定理和向量的运算可判断B，利用向量运算来求，即可判断C，利用计算直线与轴交点的纵坐标为定值可判断D. 【详解】由点在抛物线上，可得， 所以抛物线C的焦点坐标为，故A正确； 过点的直线与联立消可得： ，其中， 设，则， 又因为， 所以，故B错误； 又因为 由 ， 又因为，所以，故C正确； 由点P关于y轴的对称点为T，所以， 直线方程为：， 令，得， 故直线恒过定点，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量，点在内，则原点O到的距离为______. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出向量，再利用点到平面距离公式来计算原点到平面的距离. 【详解】已知点，点，那么向量. 已知，，则. 对于向量，根据向量模长公式. 计算原点到平面的距离： 根据点到平面距离公式，把，代入可得，. 故答案为：7. 13. 已知抛物线 的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点.若是锐角三角形，则的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据即可得到答案. 【详解】如下图所示： 在轴上取点，由抛物线的定义可得，则， 由于为锐角三角形，则为锐角， 由已知可得轴，所以，，则为锐角， 设点，，，则，解得. ， 因此，. 故答案为：. 14. 某校数学兴趣小组创作了右下图数表，该数表的第一行是数列{n}，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和.如：3=1+2，12=5+7..各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和_________ 【答案】 【解析】 【分析】由数列可知记各行的第一个数组成的数列为，则，，两边除以可得数列为等差数列，从而可求出，再利用错位相减法可求出. 【详解】由数表规律可知，第4行的第1个数为，第行是公差为的等差数列， 记各行的第一个数组成的数列为， 则，， 两边同除以，得， 故是首项为，公差为的等差数列， 则，则， ， ， 两式相减得 ， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，为和的等比中项． （1）求数列通项公式； （2）若数列单调递增，求数列 的前n项和. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为， 根据等差数列通项公式和等比中项的定义得到方程组，解出即可； （2）根据等差数列单调性得到，代入得到，再利用分组求和法即可得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为为和的等比中项，可得， 即， 即，解得或， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 因为数列单调递增，则结合（1）知， 则， 则 . 16. 如图， 四边形为矩形， 平面平面， ，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在平面中，因为，，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 所以，且， 由余弦定理可得， 所以，则， 因为，、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质推导出平面，可得出，利用余弦定理结合勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， ， 设直线与平面所成角为，则. 又，所以直线与平面所成角的大小为. 17. 已知椭圆的离心率为 点是椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线与椭圆交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求此平行四边形的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式乘以2倍计算可得所求值． 【小问1详解】 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线l的方程为：，设，， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 18. 如图，在三棱柱中，，点在平面上的射影为的中点O. （1）若. ①求证：； ②求平面与平面夹角的余弦值； （2）记线段的中点为，线段的中点为，线段 的中点为，如此得到点列.已知三棱柱 的体积为常数，三棱锥的体积为，数列前n项和为，求证: 【答案】（1）①证明见解析；②； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）①首先连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质证明； ②首先以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.然后分别求平面与平面的法向量，最后利用面面角的夹角公式进行求解即可. （2）首先根据三棱锥的体积公式确定数列是等比数列，并求其通项公式，再利用裂项相消法求和，并结合放缩法即可得证. 【小问1详解】 ①如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， ②由①知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设平面与平面夹角为， 则. 【小问2详解】 由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：. 19. 已知 R 是圆 上的动点，点，直线NR 与圆M的另一个交点为S，点L 在直线MR上，且，如图1，图2所示，记动点L 的轨迹为曲线 C. （1）求证:为定值，并求曲线C的方程； （2）若过点的直线l与曲线C交于两点， 且位于x轴同侧. ①若的面积不大于，求直线l斜率的取值范围； ②在x轴上是否存在定点Q，使得的内心在一条定直线上?请给出你的结论，并证明. 【答案】（1）证明见解析，； （2）①；②存在点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何图形可得，进而求得的值，再利用双曲线定义求出曲线C的方程. （2）①设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理表示出三角形面积并建立不等式求解；②假定存在定点，由①结合斜率坐标公式计算判断即可. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 由，，得，则， 因此为定值， 而，则，于是点的轨迹是以为左右焦点， 实轴长的双曲线（除顶点外），半焦距，则虚半轴长， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为，，， 由消去得，由， 得，则，， 原点到直线距离为，而， 因此的面积 ，整理得， 因此，解得或，则或， 所以直线l斜率的取值范围是. ②在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上， 证明如下：由①知，，， 假定在x轴上存在定点Q，使得的内心在一条定直线上，令点， 直线的斜率分别为， ，当时，，直线关于直线， 即直线平分，的内心在直线上， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $