精品解析：黑龙江桦南县第一中学2025-2026学年高二下学期开学初考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期开学初考试 高二数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A 2. 已知为等差数列，，则的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为. 因为， 所以，即，解得. 故选：C 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由求导得：， 则，解得，即， 所以. 故选：A 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 5. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 6. 在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和在方向上的投影，即可由向量方法直接计算点到直线的距离． 【详解】因为平面，所以，又，所以. 可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离为． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用圆的半径为确定点坐标满足的方程，再结合双曲线方程求出点纵坐标，最后通过四边形面积公式建立与的关系，从而求得离心率. 【详解】已知双曲线的焦距为，则圆的方程为. 联立双曲线方程与圆的方程，消去得： 又因为，所以，故点纵坐标为. 四边形为平行四边形，面积为. 由题意，即. 又，故离心率. 故选：C 8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造常数列，求出，得出，继而求解对任意的恒成立的问题，构造函数，解，即可. 【详解】因，则， 则，即， 因，则，故数列是各项为的常数列， 则，即，则， 因对于任意的，，不等式恒成立， 则，即对任意的恒成立， 令，， 则，， 即，得或， 故实数t的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D. 已知函数在上可导，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，瞬时速度是位移函数的导数：，所以，故C正确； 对于D，根据导数的定义可得：，故D错误； 故选：AC 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 直线与圆可能相切 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，求出即可判断A；证明在圆内即可判断BC；利用几何法求出弦长，可判断D. 【详解】直线可化为， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 因为，所以定点在圆内， 所以直线与圆一定相交，故B正确，C错误； 当时，直线， 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ） A. 点到渐近线的距离为3 B. 若，则最小值是 C. 当时，的面积为 D. 若为坐标原点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三角形内切圆的性质结合双曲线的定义得到点为的左顶点确定，再由渐近线方程得到，进而得到双曲线方程即可判断A；对于B，由得，再由三点共线求解即可；对于C，由内切圆半径为、内切圆关系得到，利用三角形面积公式求解即可；对于D，由向量的线性运算和数量积的运算律结合余弦定理求解即可. 【详解】如图， 设的内切圆与，，的切点分别为，，，则，，， 因为点为上位于第二象限内一点，所以，因为，， 所以， 则点即为的左顶点，又，所以，因为，所以，所以， 所以，，双曲线：， 对于A，，渐近线为，所以点到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，，所以，所以， 当，，三点共线时，的最小值是，，如图， 所以，故B正确； 对于C，，即内切圆半径为，所以， 所以，即为直角三角形，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，，所以， 整理可得， 又， 两式相加可得， 即，所以，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由焦半径公式可求出点的坐标，进而求出圆的方程，令，即可求解. 【详解】由题意知，， 又点在抛物线上且在第一象限，所以，故点为， 则以点为圆心3为半径的圆的方程为， 令得或，故以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果. 【详解】由求导得，则， 故切线方程为，令，得，令，得， 即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：. 14. 在正方体中，若棱长为1，，分别为线段，上的动点，则下列结论中错误的序号为______. （1）平面 （2）直线与平面所成角的正弦值为定值 （3）平面平面 （4）点到平面的距离为定值 【答案】（2） 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合正方体的结构特征，线面垂直判定定理，结合空间向量的计算，逐个判断. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，. 令，得. 令，得，， 对于（1），，，， 显然， 即，而，平面， 因此平面，（1）正确； 对于（2），由平面，平面，得， 又因为，，平面， 所以平面，于是为平面的一个法向量. 由，设直线与平面所成角为，则，不是定值，（2）错误； 对于（3），由（1）知平面，即为平面的一个法向量. 易得，所以， 所以， 又，平面， 因此平面， 所以平面//平面，（3）正确； 对于（4），显然，因此点到平面的距离为，为定值，（4）正确. 故答案为：（2） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆. （1）求圆的半径； （2）若直线与圆相切于点，求直线的方程. 【答案】（1）5； （2）. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准形式即得答案； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，再根据，解出的值即得答案. 【小问1详解】 因为圆的方程为， 即为， 所以圆的半径为5； 【小问2详解】 显然切线不垂直于轴，设直线的方程为， 为圆心到直线的距离， 则有， 又因为线与圆相切， 所以， 即， 解得：， 所以切线的方程为， 即. 16. 已知函数的导函数为，数列满足. （1）求过点的曲线的切线方程； （2）若点在的图象上，求的通项公式. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出切线的切点，利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）利用代入法把点的坐标代入导函数解析式中，结合构造法、等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【小问1详解】 由， 设切点为，所以， 因此过该切点的直线方程为， 把点的坐标代入，得 ，或， 当时，切点为，，此时切线方程为； 当时，切点为，，此时切线方程为， 综上所述：切线方程为，或； 【小问2详解】 因为点在的图象上， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有. 17. 如图，正四棱台的高为3，且 （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可. 【小问1详解】 设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解． 【小问1详解】 因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 19. 已知椭圆过点． （1）求椭圆的方程以及离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论． 【答案】（1）椭圆方程为，离心率为 （2）定点为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入联立方程，解方程可得，，进而得到椭圆方程；即可由离心率公式求解 （2）联立直线与椭圆方程，运用韦达定理，令，代入化简可得，即可得直线恒过定点； 【小问1详解】 将代入椭圆方程可得且， 解得，故， 故椭圆方程为，离心率为 【小问2详解】 联立与椭圆方程，消去可得， 设,，,，可得，， 则的方程为，又， 令，则 故直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期开学初考试 高二数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知为等差数列，，则的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 5. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. 一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1 D. 已知函数在上可导，且，则 10. 已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定相交 C. 直线与圆可能相切 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 11. 已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ） A. 点到渐近线的距离为3 B. 若，则最小值是 C. 当时，的面积为 D. 若为坐标原点，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________. 13. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 14. 在正方体中，若棱长为1，，分别为线段，上的动点，则下列结论中错误的序号为______. （1）平面 （2）直线与平面所成角的正弦值为定值 （3）平面平面 （4）点到平面的距离为定值 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆. （1）求圆的半径； （2）若直线与圆相切于点，求直线的方程. 16. 已知函数的导函数为，数列满足. （1）求过点的曲线的切线方程； （2）若点在的图象上，求的通项公式. 17. 如图，正四棱台的高为3，且 （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆过点． （1）求椭圆的方程以及离心率； （2）设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $