专题6.1平方根、立方根（高效培优讲义，5知识&7题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题6.1平方根、立方根 教学目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号正确表示。 2.掌握平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会求非负数的平方根、算术平方根与任意实数的立方根。 3.理解平方根、立方根的性质，能区分平方根与算术平方根、平方根与立方根。 教学重难点 教学重点 1. 平方根、算术平方根、立方根的概念与求法。 2. 平方根与立方根的性质。 3. 开方与乘方的互逆运算。 教学难点 1. 平方根与算术平方根的概念区分（符号、个数、非负性） 2. 算术平方根的双重非负性（被开方数非负、结果非负） 3. 平方根与立方根的性质差异（负数有无平方根 / 立方根、根的个数） 知识点01 平方根及其性质 1.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 ，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ，表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 . 2. 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如果一个正数的平方根是和，那么的值是______． 知识点02 算术平方根 1.算术平方根的定义：非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 . 表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” . 2.算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 个数不同  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ± 区别 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数  正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 4. 开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）16的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．256 知识点03 立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 ，那么x 叫作a 的立方根 . 表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 . 特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 则表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 . 2. 开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方 . 特别解读：立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）的立方根是（   ） A． B． C． D． 知识点04 立方根的性质 1.立方根的性质 (1)正数的立方根是一个正数； (2)负数的立方根是一个负数； (3)0 的立方根是 0. 2.平方根与立方根的比较 平方根  立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在中，被开方数 a 是任意数 联系  ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）下列说法错误的是（　　） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是 知识点05 用计算器求一个数的立方根 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 . 步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 . 【即学即练】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 题型01 有关平方根、算数平方根和立方根的计算 【例1-1】求一个正数的平方根和算数平方根 （24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C．－3 D． 【例1-2】求一个数的立方根 （24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若一个正数m的平方根分别是和． (1)求m，n的值； (2)若，求c的立方根． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）的立方根与4的平方根之和是（   ） A．0 B．4 C．0或4 D．0或 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是___________． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若与互为相反数，则的算术平方根是__________． 【变式1-4】（24-25七年级下·安徽六安·期中）一个正数x的平方根是与，则x是多少？ 【变式1-5】（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型02 求值问题 【例2-1】根据平方根的性质求值 （23-24七年级下·安徽滁州·月考）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【例2-2】根据算数平方根的性质求值 （23-24七年级下·安徽池州·期末）若、为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【例2-3】根据立方根的性质求值 （23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知与相等，则b的值为______． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若实数m，n满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知，则的值是_________． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． （1）若点是“理想点”，则x的值为_______． （2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为________． 题型03 立方根与算数平方根的综合 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）若，则的立方根为_____． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是 3， 求 的平方根． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【变式3-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式3-5】（23-24七年级下·安徽池州·期中）如图所示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ． (2)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 题型04 估值问题 【例4】（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【变式4-1】（23-24七年级下·安徽六安·月考）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 题型05 利用平方根或立方根的定义解方程 【例5】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 题型06 平方根、立方根的实际应用 【例6-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为______．（结果保留） 【例6-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是________． 【例6-4】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布的面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整的圆形绣布，用于绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【变式6-3】（23-24七年级下·安徽淮南·月考）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【变式6-4】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型07 与算术平方根、立方根有关的规律探索题 【例7-1】（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【例7-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（   ） A． B． C． D． 【例7-3】（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A． B．381 C．12 D．120 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下表，___________． 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列代数式的值一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）以下说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．算术平方根是本身的数只有1 C．任何数都有立方根 D．正数才有平方根 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根为（   ） A． B．2 C．1 D．0 5．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若a，b，c为实数， 且 ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 9．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知实数a，b，给出以下几个判断： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 二、填空题 10．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若，则________． 11．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若且满足，则_____________． 12．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）已知，、是有理数，且，则的算术平方根是________． 13．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_______． （2）当时，的值是_______． 三、解答题 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知的立方根为，是的一个平方根，求的平方根． 15．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 16．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知的值满足下列等式，求的值． (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）和是正数的两个不同的平方根． (1)求的值； (2)求的立方根． 18．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 20．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）已知． (1)求x，y的值； (2)求的值． 21．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 22．（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 23．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 24．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1平方根、立方根 教学目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号正确表示。 2.掌握平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会求非负数的平方根、算术平方根与任意实数的立方根。 3.理解平方根、立方根的性质，能区分平方根与算术平方根、平方根与立方根。 教学重难点 教学重点 1. 平方根、算术平方根、立方根的概念与求法。 2. 平方根与立方根的性质。 3. 开方与乘方的互逆运算。 教学难点 1. 平方根与算术平方根的概念区分（符号、个数、非负性） 2. 算术平方根的双重非负性（被开方数非负、结果非负） 3. 平方根与立方根的性质差异（负数有无平方根 / 立方根、根的个数） 知识点01 平方根及其性质 1.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 ，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ，表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 . 2. 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如果一个正数的平方根是和，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 算术平方根 1.算术平方根的定义：非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 . 表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” . 2.算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 个数不同  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ± 区别 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数  正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 4. 开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）16的算术平方根是（   ） A．4 B． C． D．256 【答案】A 【详解】解：， ∴16的算术平方根为4． 故选：A． 知识点03 立方根 1.立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 ，那么x 叫作a 的立方根 . 表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 . 特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 则表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 . 2. 开立方：求一个数的立方根的运算叫作开立方 . 特别解读：立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了求立方根．根据立方根的定义和性质直接计算即可． 【详解】解： 故选：A 知识点04 立方根的性质 1.立方根的性质 (1)正数的立方根是一个正数； (2)负数的立方根是一个负数； (3)0 的立方根是 0. 2.平方根与立方根的比较 平方根  立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在中，被开方数 a 是任意数 联系  ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）下列说法错误的是（　　） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：、的算术平方根是，原选项说法正确，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法正确，不符合题意； 、没有平方根，原选项说法错误，符合题意； 、的算术平方根是，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 知识点05 用计算器求一个数的立方根 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 . 步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 . 【即学即练】用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 题型01 有关平方根、算数平方根和立方根的计算 【例1-1】求一个正数的平方根和算数平方根 （24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴ 解得 ∴ ∴的算术平方根是， 故选：A 【例1-2】求一个数的立方根 （24-25七年级下·安徽阜阳·期末）若一个正数m的平方根分别是和． (1)求m，n的值； (2)若，求c的立方根． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ， ； （2）解：，，， ， 的立方根是3， 的立方根是． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）的立方根与4的平方根之和是（   ） A．0 B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【详解】解：的立方根等于， 4的平方根等于， ∴， ∴的立方根与4的平方根之和是0或； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是___________． 【答案】25 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴一个正数的两个不同的平方根为， ∴这个正数为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若与互为相反数，则的算术平方根是__________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴，， 解得：， ∴， ∵49的算术平方根为7， ∴的算术平方根是7， 故答案为：7． 【变式1-4】（24-25七年级下·安徽六安·期中）一个正数x的平方根是与，则x是多少？ 【答案】49 【详解】解：∵一个正数x的平方根是与， ∴， 解得， 当时，， ∴． 【变式1-5】（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵，c是的整数部分， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型02 求值问题 【例2-1】根据平方根的性质求值 （23-24七年级下·安徽滁州·月考）若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这个数为； 故选C． 【例2-2】根据算数平方根的性质求值 （23-24七年级下·安徽池州·期末）若、为实数，且，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【例2-3】根据立方根的性质求值 （23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知与相等，则b的值为______． 【答案】6 【详解】解：∵与相等 ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若实数m，n满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴， 解得：， ， 故选：B． 【变式2-2】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， ∴， 故选：． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知，则的值是_________． 【答案】 【详解】解：由题意得，，． 解得，，， 则， 故答案为：． 【变式2-4】（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． （1）若点是“理想点”，则x的值为_______． （2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为________． 【答案】 【详解】（1）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； （2）∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， ∵m为正整数， ∴， ∴． 故答案为：． 题型03 立方根与算数平方根的综合 【例3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）若，则的立方根为_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是 3， 求 的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的算数平方根是2， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴，                   把x的值代入解得：，       ∴， ∴的平方根为． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，， ∴． 【变式3-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， （2）解：当时，， ∴16的平方根为． 【变式3-5】（23-24七年级下·安徽池州·期中）如图所示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ． (2)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【详解】（1）解：如图所示： 点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点， 点所表示的数为，即； （2）解：与互为相反数， ，则，且，解得，， ， 则的立方根为． 题型04 估值问题 【例4】（22-23七年级下·安徽池州·期中）估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴； 故选：B 【变式4-1】（23-24七年级下·安徽六安·月考）估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察表格中的数据：由表格中的数据可知（   ） x 42 43 44 45 46 47 48 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【详解】解：， 在之间， 在之间， 故选：C． 题型05 利用平方根或立方根的定义解方程 【例5】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：， 整理，得， 两边都除以，得， 开立方，得； （2）解：， 整理，得， 两边都除以，得， 开平方，得， 解得或． 【变式5-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ， ． 题型06 平方根、立方根的实际应用 【例6-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 【例6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为______．（结果保留） 【答案】 【详解】解：根据题意可知，， 所以，． 故答案为：． 【例6-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是________． 【答案】 【详解】解：由题意图2中正方形的面积为， ∴图2中正方形的边长为． 故答案为：． 【例6-4】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布的面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整的圆形绣布，用于绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得，即，解得：， ， ， 绣布的长为，宽为， 绣布的周长为． （2）解：不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为， 根据题意，得：，即， ，解得：（负值舍去）． ，即圆形绣布的直径大于长方形绣布的宽， 不能够裁出来． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【详解】（1）设正方体的棱长为，由题意得：， 解得：， 答：该正方体的棱长为6cm； （2）当正方体的体积变为原来的8倍，即体积为 设此时正方体的棱长为， 由题意得：， 解得：， 答：它的棱长变为原来的2倍． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系． (1)当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（参考数据：） (2)当所花时间为秒时，求此时细线的长度． 【详解】（1）解：已知，当时， 答：小重物来回摆动一次所用的时间约为1.47秒． （2）解：当时， 答：此时细线的长度是22.5米． 【变式6-3】（23-24七年级下·安徽淮南·月考）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【详解】（1）解：依题意，， 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． （2）解：依题意，， 解得：， 答：冰川约是在28年前消失的． 【变式6-4】（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 题型07 与算术平方根、立方根有关的规律探索题 【例7-1】（23-24七年级下·安徽铜陵·期末）若，，则（    ） A．2938 B．6329 C．293.8 D．632.9 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 【例7-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】观察数阵，第行有个元素，每行最后一个数的根号内数值为． 第八行有16个元素，最后一个数的根号内数值为，即． 根据规律左边的数值依次减1，所以倒数第三个数是． 故选：B． 【例7-3】（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A． B．381 C．12 D．120 【答案】A 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ， ， 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）观察下表，___________． 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 256 259.21 262.44 265.69 268.96 【答案】 【详解】解：由表中数据可知，当时，， ， 则， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列代数式的值一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、立方根概念理解 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的意义，根据算术平方根和立方根的意义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，，故不符合题意； B．当时，，故不符合题意； C．当时，，故不符合题意； D．∵，∴，∴，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）以下说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．算术平方根是本身的数只有1 C．任何数都有立方根 D．正数才有平方根 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了立方根，平方根和算术平方根的概念，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、0有平方根，原说法错误，不符合题意； B、算术平方根是本身的数只有1和0，原说法错误，不符合题意； C、任何数都有立方根，原说法正确，符合题意； D、正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念及运算，需根据定义逐一判断各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、， 故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）一个正数的两个平方根分别是和，则的立方根为（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于，列出方程，解出，再将代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数，将算出后，求立方根即可． 【详解】解：和是正数的平方根， ， 解得， 将代入， 正数， ， 的立方根为：， 故选：B． 5．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了算术平方根的规律，根据算术平方根的意义找到规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 6．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）按一定规律排列的单项式：x，，，，…，第n个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查与算术平方根有关的探究规律探究．通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，…，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】解：通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵，…， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：B． 7．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键． 根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得． 【详解】解：， A、； B、； C. ； D. ． 故选：B． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）若a，b，c为实数， 且 ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0求出a、b、c的值，再代值计算即可． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）已知实数a，b，给出以下几个判断： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 其中不正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根等相关知识，属于基本题型，熟练掌握基础知识是解题关键． 根据算术平方根和立方根的意义逐项进行判断，进而可得答案． 【详解】解：因为，所以只有当，时，才满足，所以①不正确； 因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以②正确； 因为，所以a，b中必有一个数是非正数，而负数没有平方根，所以③不正确； 因为实数的立方根的符号与被开方数相同，所以当时，，所以④正确． 故选B 二、填空题 10．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）若，则________． 【答案】4 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了被开方数的非负性质，绝对值的非负性，偶次幂的非负性，解题的关键是熟练掌握被开方数、绝对值，偶次幂的非负性； 根据被开方数、绝对值，偶次幂的非负性求解即可 【详解】解：且 ， 解得， ， 故答案为：4 11．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若且满足，则_____________． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】该题考查了利用平方根解方程，求出，结合，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）已知，、是有理数，且，则的算术平方根是________． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2， 故答案为：2． 13．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）（1）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_______． （2）当时，的值是_______． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知式子的值，求代数式的值、求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】本题考查立方根定义与性质，涉及解一元一次方程及代数式求值等知识，熟练掌握立方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，结合立方根的性质求解即可得到答案； （2）由（1）中所得结论，列方程求解得到，，，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）设这个非零实数为， 一个非零实数的立方根等于这个数本身， ，则或， 故答案为：； （2）由（1）中结论可知，当时，或或，解得，，， 或或， 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知的立方根为，是的一个平方根，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查平方根以及立方根，根据立方根、平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根为，是的一个平方根， ， 解得， ， 的平方根为：． 15．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，绝对值的化简，根据算术平方根的双重非负性求得的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案．结合已知条件求得的取值范围是解题的关键． 【详解】解：实数满足， ， ， ， 原式化为， 整理得：， 两边同时平方得：， 则． 16．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知的值满足下列等式，求的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查的是平方根、立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键． （1）依据平方根的性质可得到，然后解关于x的方程即可； （2）先依据立方根的性质得到，然后解关于x的方程即可． 【详解】（1）解：， ． 或． 解得或． （2）解：移项，得，即． ， ，解得． 17．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）和是正数的两个不同的平方根． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查的是平方根、立方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题， 解得：； （2）解：， 正数的两个平方根分别为3和， ， ， ， ∴的立方根为3． 18．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根 【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识． （1）根据立方根、算术平方根的定义得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解； （2）先求出，即可求出的平方根为． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 19．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)m＝12，n＝1 (2)的算术平方根是11 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出m的值，根据立方根的定义求出n的值即可； （2）把（1）中的m、n的值代入代数式计算，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵121的算术平方根是11， ∴的算术平方根是11． 20．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）已知． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ； 21．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 22．（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 23．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 24．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【知识点】平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $