23.4 三角形的中位线与重心随堂检测 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 23.4 三角形的中位线与重心随堂检测 （适用沪教版（五四制）新教材数学2025-2026学年八年级下册） 一、单选题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 2．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C． D． 6．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 7．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 8．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 9．如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 10．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 11．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 12．如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二、填空题 13．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 14．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 15．如图，D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为______． 16．在四边形中，已知，点为的中点，连接和，设的面积为，四边形的面积为，则与的关系为______． 17．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为_______． 18．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 19．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 20．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 21．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 三、解答题 23．如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 24．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 25．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 26．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 27．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 28．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 23.4 三角形的中位线与重心随堂检测 （适用沪教版（五四制）新教材数学2025-2026学年八年级下册） 一、单选题 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点． ∵四边形是矩形， ∴，，∠QCE＝90°， ∵， ∴, ∵点F点关于BC的对称点G， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴GH＝DF＝6，∠H＝90°, ∵点E是CD中点， ∴CE=2， ∴EH＝2+4＝6， ∴∠GEH＝45°， ∴∠CEQ＝45°， 设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x， 在△CQE中， ∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°， ∴CQ＝EC， ∴6﹣x＝2， 解得x＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 2．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 3．在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 4．在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角板和多边形内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．明确邻补对等四边形的定义，再根据定义判断即可得解． 【详解】①如图，两个三角板斜边重合，此时，是邻等对补四边形； ②当等腰直角三角板的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ③当等䃌直角三角坂的直角边和所对的直角边重合时， 此时不满足邻等对补四边形的定义； ④当直角边和斜边重合时，不满足至少有一组邻边相等，也不满足对角互补． 综上，只有1个． 故选：A． 5．如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知E＝BE＝1，DE−E即为所求． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，D取得最小值． 根据折叠的性质，△EBF≌△EB’ F， ∴E⊥F， ∴E＝EB， ∵ ∴E＝1， ∵，， ∴AE=3-1=2， ∴DE＝， ∴D＝-1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，D的值最小，是解决问题的关键． 6．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 7．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 8．在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（   ） A．垂直 B．相等 C．垂直且互相平分 D．互相平分 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 9．如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形重心的性质；根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点，与交于点G． ∴G点为的重心， ∴， 故选：B． 10．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 11．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（    ） A．10米 B．12米 C．16米 D．18米 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握由三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 由三角形中位线定理得到，再结合米即可解答． 【详解】解：∵和的中点D、E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴米， ∴A、B两点间的距离为12米． 故选B． 12．如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 13．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 14．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 【答案】③ 【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：图2是③的反例示意图． 真命题为命题①和②， 命题①的证明： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，， 命题②的证明如下： 证明：如图，延长至点， 使，连接， 是边的中点， ． 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， 是边的中点， 是的中位线． 故答案为：③． 15．如图，D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为______． 【答案】5 【分析】根据中位线定理可得，再结合的周长为10，即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴． 16．在四边形中，已知，点为的中点，连接和，设的面积为，四边形的面积为，则与的关系为______． 【答案】/ 【分析】分别计算出，和，即可得到结论． 【详解】解：如图， 设，△中，AB边上的高为h， ∵点为的中点，AB//CD 则△中，CD边上的高也为h， ∴，， ∵AB//CD ∴ ∴ ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了梯形以及三角形面积的计算，正确识别图形和运用面积计算公式是解答本题的关键． 17．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据题意，对点M在和上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上时， ∵，且， ∴点到的距离为定值5， 即； 当点在上时， 过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 连接，则， ∵点在上， ∴， 则当时，的值最小为3． 综上所述，的最小值为3． 故答案为：3． 18．如图，在长方形中，，．延长到，使，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为．当取某个值时，使得和全等，则满足条件的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定、矩形的性质、动点问题，分情况讨论即可作答． 【详解】①当点在上时，由题意得 要使，则需 解得： ②当在上时，不构成 ③当在 上时，由题意得 要使，则需，即 解得： 综上，当或时， 故答案为或． 19．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形． 连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O， E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴四边形是菱形． ∴． ∴的值为． 故答案为：． 20．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 21．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 三、解答题 23．如图，已知是等边三角形，点D、点E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，进而证明结论． 【详解】证明：∵点D、点E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴． 24．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 25．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质即可得到OC=OD，再根据翻折，即可得到四边相等，即可求证菱形； （2）作于，交于，证明OP=PE，所以转化为OP+PQ，当时，即OQ最短，即可解决． 【详解】解：（1）证明：四边形是矩形 与相等且互相平分 关于的对称图形为 ， 四边形是菱形 （2）解：作于，交于，则如图所示： 沿所在直线折叠，得到 ， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和最短路径问题，熟练菱形的判定方法以及最短路径的方法是解决本题的关键． 26．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【答案】或 【分析】本题主要考查了与平行四边形有关的动点问题，结合平行四边形的性质准确分析计算是解题的关键． 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间 若四边形是平行四边形，则，进而求出运动的时间． 【详解】解：设后，四边形或四边形是平行四边形， 根据题意可得，，，，若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 若四边形是平行四边形，则， ，解得：， 后四边形是平行四边形． 综上所述，或后，两个四边形中有一个是平行四边形． 27．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 28．如图，已知等边三角形和，，，，三点在同一直线上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，作一条与平行的直线； (2)在图②中，作一条与平行的直线． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图①，直线即为所求． （2）如图②，直线即为所求． 试卷第26页，共26页 试卷第1页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $