23.4 三角形的中位线与重心（第1课时 三角形的中位线）课件【满分全攻略备课系列】-2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册教学课件

八年级沪教版数学下册 第二十三章 四边形 23.4 三角形的中位线与重心 第一课时 三角形的中位线 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解三角形中位线的概念；（重点） 2.能够利用三角形的中位线的性质解决相关问题.（难点） 在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研究四边形的有关问题. 现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 任意画一个△ ABC，然后分别取边AB、AC的中点D、E，连接DE.通过观察或测量等方法，你发现DE与BC之间有怎样的位置关系?有怎样的数量关系?据此，你能得到什么结论? 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ ABC的一条中位线.每一个三角形有三条中位线. A B C D E 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 在△ABC中, ∵ AD=BD，AE=CE， ∴ DE∥BC，且 （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）. 符号语言： 你能证明这个定理吗？ 延长DE至点F，使EF=DE，联结CF． DF=BC DF∥BC 只要证明四边形DBCF是平行四边形． 7 延长DE至点F，使EF=DE，联结CF． > > √ √ √ √ AD=CF． 只要证明四边形DBCF是平行四边形． 只需要证明BD∥CF且DB=CF． 只需要证明∠A=∠ECF ， 只需要证明△ADE≌△CFE． 8 由三角形两边的“中点” 想到了什么？ 线段GF是△CAB的中位线 线段DE是△OAB的中位线 GF∥AB，且　　　 ． DE∥AB，且　　　 ． GF∥DE GF=DE 教材 例题 例题 如图，已知:点O是△ ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OA、OB、BC、AC的中点. 求证:四边形DEFG是一个平行四边形. 9 例题 如图，已知:点O是△ ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OA、OB、BC、AC的中点. 求证:四边形DEFG是一个平行四边形. ∵F、G分别是BC、AC的中点 ∴GF//AB，且GF= AB(三角形的中位线定理). 同理，可得DE//AB，且DE=AB. GF//DE,且GF=DE. ∴四边形DEFG是一个平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 教材 例题 动图显示 教材P38-39 练习 课内练习 1.填空:如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且 AD=DB, AE=EC. (1)如果BC= ，那么DE=____ (2)如果DE=5，那么BC=____ 10 2.如图，B、C两点被海水隔开，在B、C外选择一点A，找到AB、AC的中点E、F，测得EF=22m，这样就能求出B、C两点间的距离，请说明理由. 答：∵ 点E、F分别为AB、AC的中点， ∴ EF∥BC，且BC=2EF=44米 （三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半）． 证明:连接AC， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴EF//AC,EF= AC ∵G，H分别是边CD，AD的中点 ∴GH//AC,GH= AC, ∴EF//GH，EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形。 3.如图，已知:在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点.求证:四边形EFGH是一个平行四边形 1.求证：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形AOBC中，D、E、F、G分别是AO、OB、BC、CA的中点． 求证：四边形DEFG是平行四边形． 由三角形两边的“中点” 想到了什么？ 线段GF是△CAB的中位线 线段DE是△OAB的中位线 GF∥AB，且　　　 ． DE∥AB，且　　　 ． GF∥DE GF=DE 变式训练 14 2.顺次联结对角线相等的四边形四条边的中点，所得的四边形是 ． 菱形 四边形DEFG是平行四边形 顺次联结四边形四条边的中点 线段GF是△CAB的中位线 线段DG是△AOC的中位线 一组邻边相等 AB=OC 变式训练 15 3.顺次联结对角线互相垂直的四边形四条边的中点，所得的四边形是 ． 矩形 有一个直角 DG∥OC GF∥AB 四边形DEFG是平行四边形 顺次联结四边形四条边的中点 线段GF是△CAB的中位线 线段DG是△AOC的中位线 AB⊥OC Q AB⊥OC 变式训练 16 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？ 解：能画出 3 个， 分别为 ▱BDFE，▱DECF，▱DEFA. 理由如下： 由三角形的中位线定理可得 DF ∥ BC，DE ∥ AC，EF ∥ AB， ∴ 四边形 BDFE，四边形 DECF，四边形 DEFA 均为平行四边形. 基础巩固题 2.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中 点，连接DE，CD，过点E作EF∥CD交AC的延长线于点 F．求证：CF＝AC． B C A E D F G O 3. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 证明：∵ BD 和 CE 是 △ABC 的两条中线， ∴ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE =BC，DE ∥ BC. ∵ F，G 分别是 OB，OC 的中点， ∴ FG 是 △OBC 的中位线， ∴ FG = BC，FG ∥ BC， ∴ DE = FG，DE ∥ FG， ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形. 4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF=ED，连接CF．四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由． F E D C B A 解：是，理由如下： ∵ D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴ DE = BC，DE ∥ BC， 又 EF = DE， ∴ DF = DE + EF = BC， ∴ 四边形 DBCF 是平行四边形. 5.【2024山东泰安期末】如图，已知四边形中， ， ，，点,分别是边,的中点，连接 ， 则 的长是_____. 【解析】如图，取的中点，连接,,分别是边 , 的中点，且， 且 ， ， .故答案为 . 能力提升题 21 6.【2025河南许昌期中】如图，中， ， ，，点，，分别是边， ， 的中点；点，，分别是边，， 的中 点； ，以此类推，则 的周长是_ _____． 【解析】，，， 的周长为 点,,分别是边,,的中点，, , 是的三条中位线，的周长是.同理， 的周长是， ，的周长是 ， 的周长是，故答案为 ． 22 7.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE. (1)若ABCD的周长为36，BD＝12， 求△DOE的周长； (2)若∠ABC＝60°,∠BAC＝80°, 求∠ 1 的度数. 解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°－60°－80°＝40°. 由(1)知OE是△BCD的中位线， ∴OB∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°. 7.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE. 课堂小结 教科书第38-39页练习 第1，2，3题 布置作业 证明：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝AC，DE∥AC. ∵EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形． ∴DE＝CF. ∴CF＝AC. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12， ∴OD＝OB＝BD＝6，AB＝DC，AD＝BC. ∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝18. ∵E是边CD的中点， ∴DE＝CD，OE是△BCD的中位线． ∴OE＝BC.∴OE＋DE＝(BC＋CD)＝ ×18＝9. ∴△DOE的周长为OE＋DE＋OD＝9＋6＝15. $