23.4 三角形的中位线与重心 讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 ）八年级数学下册精讲精练

本讲义聚焦三角形中位线与重心核心知识点，从四边形与三角形的转化切入，系统梳理中位线定义、定理（平行且等于第三边一半）及证明（构造平行四边形），重心定义（三条中线交点）、性质（到顶点距离是到对边中点两倍）及证明，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以知识转化为特色，通过构造平行四边形证明定理培养推理意识，分层题型覆盖基础应用、综合探究等场景，助力学生用数学语言解决问题。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

23.4 三角形的中位线与重心 23.4引入：在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研究四边形的有关问题.现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 一、三角形的中位线 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图23-4-1,在△ABC中 ，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段 DE就是△ABC的一条中位线. 每一个三角形有三条中位线. 2.三角形的中位线定理 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 定理证明 如图23-4-1,已知：在△ABC中，D 、E分别是边AB 、AC的中点. 求证：DE//BC, 且DE=BC 如图23-4-2,延长DE到点F, 使得 EF=DE, 连接 FC. 因为 AE=EC,∠AED=∠CEF, 所以△ADE≌△CFE. 由此推出AD=CF,∠A=∠ECF, 所以AB//CF, 即 BD//CF. 又因为AD=DB,AD=CF, 所以DB=CF. 由平行四边形的判定定理2,得四边形 BCFD是一个平行四边形，所以DF//BC, 且DF=BC. 又因为DE=DF 所以DE//BC, 且DE=DF 2、 重心 问题：任意一个三角形的三条角平分线相交于一点，三条边的垂直平分线也相交于一点.试问：任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点?它又有怎样的性质呢? 1.三角形的重心： 如图23-4-4,已知：在△ABC中 ，BD、CE 分别是边AC、AB上的中线，BD 和CE交于点O, 连接AO并延长交边BC于点F. 求证：AF是边BC上的中线. 如图23-4-5,延长 AF到点G, 使 OG= AO, 分别连接 BG 、CG. ∵ EB=EA,OG=AO, ∴ EO//BG (三角形的中位线定理). ∴ OC//BG. 同理，可得OB//CG. ∴ 四边形BGCO 是一个平行四边形. ∴ BF=FC (平行四边形的对角线互相平分), ∴ AF是边BC上的中线. 本题的结论表明：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 2.三角形重心的性质 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 定理证明 如图23-4-6,已知：在△ABC中，AF、BD、CE分别是边BC、AC、 AB 上的中线，并交于点O. 求证：AO=2OF. 如图23-4-7,延长AF到点G, 使 OG=AO, 分别连接 BG 、CG. ∵ EB=EA,OG=AO, ∴ EO//BG (三角形的中位线定理). ∴ OC//BG. 同理，可得OB//CG. ∴ 四边形BGCO是一个平行四边形. ∴ OG=2OF. 又∵OG=AO, ∴AO=2OF. 题型1：三角形中位线性质的简单应用 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，是的中位线，若，则的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 3．如图，在中，是的中位线，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为 ． 题型2：根据三角形中位线性质求周长 5．如图，在中，分别是边的中点．若的周长为40，则的周长为 ． 6．如图，在中，已知，点分别是的中点，则四边形的周长为 ． 7．如图，已知在中，，D，E，F分别是三边的中点，，，则的周长是 ．    题型3：三角形中位线在平行四边形中的应用 8．如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为 9．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，点E是边的中点，若的周长为，则的周长为 ．    10．如图，点分别是的边的中点，连接，过点作交的延长线于点，若，则的长为 ． 11．如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是 ． 12．如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ． 题型4：三角形中位线性质的综合应用 13．如图，在四边形中，对角线，，，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为 ． 14．如图，在中，，，平分，于点，的延长线交于点，为的中点，则长为 ． 题型5：三角形的重心 15．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 16．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．如图，在中，点E为边中点，于D，平分，则的重心一定在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 18．对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（   ） A．长方形的任意一个顶点处 B．长方形两条对角线的交点处 C．长方形的一条边上 D．长方形的外部 题型6：三角形重心性质的应用 19．如图，中，是边上的中线，是重心，如果，那么线段 ． 20．如图，中，，I为重心，则 ． 21．已知中，，，若为重心，则 22．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为 ． 题型7：三角形重心性质在直角三角形的应用 23．一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是 ． 24．如图，在等腰直角中，中线，相交于点G，若，则长为 ． 题型8：三角形重心性质有关的面积问题 25．如图，已知：G是的重心，，那么 ． 26．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 27．如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型9：解答证明题 28．如图，在中，，分别是边，的中点，过点作，且，连接．求证：．    29．如图，在中，点，，分别是边，，的中点．求证：四边形为平行四边形． 30．如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 31．如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 32．如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 33．如图，等边的边长是4，D，E 分别为，的中点，延长至点F，使，连接，． (1)求证：． (2)求的长． 34．如图，是的重心，且，，，求中边上的高．    35．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图①中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题；并完成相关拓展应用． 【解决问题】 任务1：的三条中线，，交于O点，若的面积为m，则的面积为 ． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 （1）如图②，在中，点O是的重心．连接，并延长，分别交，于点D，E．若，，，求四边形的面积． （2）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 36．【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 一、单选题 1．如图在中，点点分别是边的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 3．如果等边三角形的边长为，那么等边三角形的中位线长为(   ) A． B． C． D． 4．在中，，，，点，，分别为边，，的中点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 6．如图，在中，，点是的重心，，则的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 二、填空题 7．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为 8．将菱形四边中点顺次连结，形成的四边形是 ． 9．如图，点是的重心，交于点交于点．已知的面积为，则的面积为 10．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连结、交于点，则 ． 11．如图，在与中，点，，分别是，，的中点，若的面积等于，则的面积为    12．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ． 13．如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为 ． 14．已知为边延长线上一点，为的中点，联结并延长交于点，则 ． 三、解答题 15．如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 16．如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：． 17．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点． 求证：（1）四边形AFDE是平行四边形； （2）周长等于AB+AC．        18．如图，在中，是边上的中线，，，交的延长线于点，，．    (1)求的长； (2)求证：垂直平分． 19．已知在中，，为中点，为边的中线且，连接、．    (1)求证：； (2)若，求的周长． 20．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 21．如图1，在中，点D为的中点，连接，若，求的取值范围时学生分析，决定延长到E，使，连接，可得到，进而在中得到的取值范围，于是可求得的取值范围． (1)请回答： ①如图1，连接，由已知和作图能得到的理由是______． A． B． C． D． ②求得的取值范围是______． A． B． C． D． (2)如图2，分别是的边的中点，求证：，且． (3)如图3，在等边三角形中，点P为射线位于点C右侧的一个动点，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C的对应点为点D，连接，点Q为的中点，连接．若，当时，直接写出的长度． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4 三角形的中位线与重心 23.4引入：在研究四边形时，通常会把它转化为三角形的问题，并利用三角形来研究四边形的有关问题.现在我们学习了平行四边形，反过来，也可以利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 一、三角形的中位线 1.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 如图23-4-1,在△ABC中 ，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段 DE就是△ABC的一条中位线. 每一个三角形有三条中位线. 2.三角形的中位线定理 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 定理证明 如图23-4-1,已知：在△ABC中，D 、E分别是边AB 、AC的中点. 求证：DE//BC, 且DE= BC 如图23-4-2,延长DE到点F, 使得 EF=DE, 连接 FC. 因为 AE=EC,∠AED=∠CEF, 所以△ADE≌△CFE. 由此推出AD=CF,∠A=∠ECF, 所以AB//CF, 即 BD//CF. 又因为AD=DB,AD=CF, 所以DB=CF. 由平行四边形的判定定理2,得四边形 BCFD是一个平行四边形，所以DF//BC, 且DF=BC. 又因为DE= DF 所以DE//BC, 且DE= DF 2、 重心 问题：任意一个三角形的三条角平分线相交于一点，三条边的垂直平分线也相交于一点.试问：任意一个三角形的三条中线是否也相交于一点?它又有怎样的性质呢? 1.三角形的重心： 如图23-4-4,已知：在△ABC中 ，BD、CE 分别是边AC、AB上的中线，BD 和CE交于点O, 连接AO并延长交边BC于点F. 求证：AF是边BC上的中线. 如图23-4-5,延长 AF到点G, 使 OG= AO, 分别连接 BG 、CG. ∵ EB=EA,OG=AO, ∴ EO//BG (三角形的中位线定理). ∴ OC//BG. 同理，可得OB//CG. ∴ 四边形BGCO 是一个平行四边形. ∴ BF=FC (平行四边形的对角线互相平分), ∴ AF是边BC上的中线. 本题的结论表明：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 2.三角形重心的性质 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 定理证明 如图23-4-6,已知：在△ABC中，AF、BD、CE分别是边BC、AC、 AB 上的中线，并交于点O. 求证：AO=2OF. 如图23-4-7,延长AF到点G, 使 OG=AO, 分别连接 BG 、CG. ∵ EB=EA,OG=AO, ∴ EO//BG (三角形的中位线定理). ∴ OC//BG. 同理，可得OB//CG. ∴ 四边形BGCO是一个平行四边形. ∴ OG=2OF. 又∵OG=AO, ∴AO=2OF. 题型1：三角形中位线性质的简单应用 1．如图，在 中，D，E分别是边 的中点．若 ，则 （   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明 是 的中位线是解题的关键． 先证明 是 的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在 中，D，E分别是边 的中点． ∴ 是 的中位线， ∴ ． 故选C． 2．如图， 是 的中位线，若 ，则 的长为（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理，直接得出中位线与第三边的数量关系，进而求解．本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵ 是 的中位线， ∴ ∴ 故选：B． 3．如图，在 中， 是 的中位线， ，则 的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的性质，由三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵在 中， 是 的中位线， ， ∴ ． 故选：D． 4．如图， 、 、 分别是 的 、 、 边的中点， ，则 的度数为 ． 【答案】 /52度 【分析】本题主要考查三角形的中位线及平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线及平行四边形的性质与判定是解题的关键；由三角形中位线可知 ，则有四边形 是平行四边形，然后问题可求解． 【详解】解：∵ 、 、 分别是 的 、 、 边中点， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴ ； 故答案为 ． 题型2：根据三角形中位线性质求周长 5．如图，在 中， 分别是边 的中点．若 的周长为40，则 的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可得 ，再由三角形周长公式可得 ，据此求解即可． 【详解】解：∵在 中， 分别是边 的中点， ∴ 都是 的中位线， ∴ ， ∵ 的周长为40， ∴ ， ∴ 的周长 ， 故答案为：20． 6．如图，在 中，已知 ，点 分别是 的中点，则四边形 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理、线段中点可得 ，根据四边形 的周长为 计算求解即可． 【详解】解：在 中， ， ∵点 分别是 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 的周长为 ． 故答案为： ． 7．如图，已知在 中， ，D，E，F分别是三边的中点， ， ，则 的周长是 ．    【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质， 根据三角形中位线的性质求出 ， ，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F是 三边的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ 的周长为 ． 故答案为：17． 题型3：三角形中位线在平行四边形中的应用 8．如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，且 ．若点 是 边的中点， ，则 的长为 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用勾股定理求出 再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ， ． ， ． ， ． 故答案为： ． 9．如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点，若 的周长为 ，则 的周长为 ．    【答案】8 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出 是 的中位线是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出 ，再结合已知得出 是 的中位线，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ 是 的中点， ， 又 ∵点 是 的中点， ∴ 是 的中位线， ， ∵ 的周长 ， ∴ 的周长 ． 故答案是：8． 10．如图，点 分别是 的边 的中点，连接 ，过点 作 交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据题意可得 是 的中位线，进而可得 ，根据已知条件得出四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点 分别是 的边 的中点， ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 故答案为： ． 11．如图，在 中，对角线 相交于点 为 的四等分点， 为 的中点．若 ，则 的长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到 为 的中点，继而得到 为 的中位线， 为 的中位线，即可求解． 【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ 为 的中点， ∵点 为 的四等分点， 的中点 ， ∴点 为 的中点， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∵ 的中点 ， 为 的中点， ∴ ． 故答案为： ． 12．如图，在 中， ， ， ，点 分别平分线段 ，则 的长为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和三角形中位线定理等知识，得出 的长是解题关键．首先利用平行四边形的性质对角线互相平分得出的 和 长，再利用勾股定理得出 的长，进而利用三角形中位线定理与性质得出 的长． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 在平行四边形 中， ， ， ， ， ∴ ， ∵点 分别平分线段 ， 是 的中位线， ∴ ． 故答案为： ． 题型4：三角形中位线性质的综合应用 13．如图，在四边形 中，对角线 ， ， ，若点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ，则 的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理，取 的中点M，连接 ，根据三角形中位线的判定与性质求出 ，结合 ，求出 ，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取 的中点M，连接 ， ∵点 为 的中点，点 为 的中点， ∴ 分别是 的中位线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：5． 14．如图，在 中， ， ， 平分 ， 于点 ， 的延长线交 于点 ， 为 的中点，则 长为 ． 【答案】 /2厘米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握这两个知识点是解题的关键.由题意可证明 ，则有 ， ，从而求得 ，再由三角形中位线定理即可求得 的长． 【详解】解：∵ 平分 ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ； ∴ ； ∵ 为 的中点， ， ∴ ； 故答案为： ． 题型5：三角形的重心 15．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 16．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板 放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板 的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得 ， ∴ 为 的两条中线， ∴点 为 的重心， 故选：D． 17．如图，在 中，点E为 边中点， 于D， 平分 ，则 的重心一定在（    ） A．线段 上 B．线段 上 C．线段 上 D．线段 上 【答案】B 【分析】本题考查了重心的定义，根据定义即可求解． 【详解】解：∵中线的交点叫重心，而其中在 中，只有线段 是 的中线， ∴ 的重心一定在线段 上． 故选：B． 18．对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（   ） A．长方形的任意一个顶点处 B．长方形两条对角线的交点处 C．长方形的一条边上 D．长方形的外部 【答案】B 【分析】本题考查了重心的概念，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 匀质规则形状物体的重心在其几何中心，对于长方形，几何中心是两条对角线的交点． 【详解】解：∵长方形薄板匀质且形状规则， ∴重心位于几何中心， 又∵长方形的几何中心是两条对角线的交点， ∴重心在两条对角线的交点处， 故选：B． 题型6：三角形重心性质的应用 19．如图， 中， 是 边上的中线， 是重心，如果 ，那么线段 ． 【答案】3 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 ，根据题目条件准确画出对应图形是解题的关键．由重心的性质求解． 【详解】解： 是 边上的中线，点 是重心， ， ， ， 故答案为：3． 20．如图， 中， ，I为 重心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，掌握三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 是解题的关键． 如图：延长 交 于D，根据直角三角形斜边上的中线性质求出 ，根据重心的性质求出 的长即可． 【详解】解：如图：延长 交 于D， ∵I为 重心， ∴ 是 的中线， ，即 ∵ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 21．已知 中， ， ，若 为重心，则 【答案】 / 【分析】本题主要考查重心的性质及勾股定理，熟练掌握重心的性质及勾股定理是解题的关键；连接 并延长，交 于点D，由题意易得点D是 的中点，且 ，然后根据勾股定理可得 ，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接 并延长，交 于点D， ∵ 为重心， ∴点D是 的中点，且 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为 ． 22．直角三角形斜边长为30，则这个三角形重心到直角顶点的距离为 ． 【答案】 10 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握是解题关键． 根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，再依据三角形重心的性质，重心到顶点的距离是中线长的 即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，斜边上的中线长为 ， ∴重心到直角顶点的距离为该中线长的 ，即 ， 故答案为：10． 题型7：三角形重心性质在直角三角形的应用 23．一个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6，那么这个直角三角形的斜边长是 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用重心到顶点的距离与中线长度的关系求出中线长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质求斜边长． 【详解】解：设直角三角形的直角顶点为C，重心为G，斜边为 ．重心G到直角顶点C的距离 ． 由于重心将中线分为 的两段，其中顶点到重心的距离占中线的 ， 因此从C到斜边 的中线 的长度为 ． 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即 ， 所以斜边 ． 故答案为：18 24．如图，在等腰直角 中，中线 ， 相交于点G，若 ，则 长为 ． 【答案】 【分析】根据重心的性质可得 ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 ，进而得到 ，结合等腰三角形三线合一的性质可知 ，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵中线 、 相交于点 ∴交点 为 的重心， ∴ ， 又∵等腰直角 中， ， 为 中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 中， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的重心的概念和性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 题型8：三角形重心性质有关的面积问题 25．如图，已知：G是 的重心， ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是 的重心，得出 是 的中线，可得 ，根据重心的性质可得 ，即可得出 ． 【详解】解：∵G是 的重心， ∴ 是 的中线， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 26．如图，点G是 的重心，连接 并延长交 于点D，连接 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是 的重心，得 ，则 ， ，故 ，即可作答． 【详解】解：∵点G是 的重心， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 27．如图，点 是 的重心，若 的面积是12，则 的面积是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到 是 的中线， ，再根据 的面积是12，推出 ． 【详解】解：∵点 是 的重心， ∴ 是 的中线， ， ∵ 的面积是12， ∴ ． 故选：D． 题型9：解答证明题 28．如图，在 中， ， 分别是边 ， 的中点，过点 作 ，且 ，连接 ．求证： ．    【答案】见解析 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，先由 ， 分别是边 ， 的中点，得出 ，且 ，结合 ，且 ，得出 ，且 ，证明四边形 是平行四边形，即可作答． 【详解】证明：∵ ， 分别是边 ， 的中点， ∴ ，且 ， ∵ ，且 ， ∴ ，且 ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ． 29．如图，在 中，点 ， ， 分别是边 ， ， 的中点．求证：四边形 为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，根据中位线定理证 ， ，再根据平行四边形的定义判定即可． 【详解】证明： 点 ， 分别是 ， 的中点， ，即 ． 点 ， 分别是 ， 的中点， ，即 ． 四边形 为平行四边形． 30．如图，在 中，已知 ， 平分 ，E为 的中点． (1)求 的长； (2)求证： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是 的中点，再根据点E为 的中点可得， 是 的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ 是等腰三角形， ∵ 平分 ， ∴ 是 边上的中线， ∴点D是 的中点， 又∵点E为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ； （2）证明：由（1）可得， 是 的中位线， ∴ ． 31．如图，在 中， 、 分别是边 、 上的中线， 与 相交于点 ， 、 分别是 、 的中点，四边形 是什么四边形？ 与 的长度有什么关系？ 【答案】四边形 是平行四边形， ，见解析 【分析】本题主要考查了三角形的重心及三角形中位线定理，熟知三角形重心的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意，得出点 为三角形 的重心，据此得出 与 的长度关系，再结合三角形中位线定理得出四边形 的形状即可． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ； 、 分别是边 、 上的中线， 点 是 的重心， ， 点 ， 分别是 和 的中点， 是 的中位线， ， ， ∵ 、 分别是 、 的中点， ∴ ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 32．如图，在 中， 是一条中位线，连接 ，过点D作 的平行线交 的延长线于点F． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得 ，再由 即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到 ，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵ 是 的中位线， ∴ ， 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：∵四边形 是平行四边形， ， ∴ ， ∵ 是 的中位线， ∴ ． 33．如图，等边 的边长是4，D，E 分别为 ， 的中点，延长 至点F，使 ，连接 ， ． (1)求证： ． (2)求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理可得 ， ，再结合题意即可得证； （2）由（1）可知， ， ，则四边形 为平行四边形，得出 ，由等边三角形的性质结合勾股定理可得 ，即可得解． 【详解】（1）证明∶∵D，E为 ， 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； （2）解：由（1）可知， ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， 在等边 中，D为 中点， ， ， ， ∴ ， ． 34．如图， 是 的重心，且 ， ， ，求 中 边上的高．    【答案】 【分析】延长 到 ，使得 ，与 交于点 ，连接 ， ，延长 与 交于点 ，根据勾股定理的逆定理证明 ，继而求得 的面积，最后根据 的面积求得 边上的高即可． 【详解】解：延长 到 ，使得 ，与 交于点 ，连接 ， ，延长 与 交于点 ，如图，    是 的重心， ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 中 边上的高为 ， 则 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故 中 边上的高为 ． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 35．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板 ，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图①中， 的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题；并完成相关拓展应用． 【解决问题】 任务1： 的三条中线 ， ， 交于O点，若 的面积为m，则 的面积为 ． 任务2：在任务1的条件下，求 的值． 【拓展应用】 （1）如图②，在 中，点O是 的重心．连接 ， 并延长，分别交 ， 于点D，E．若 ， ， ，求四边形 的面积． （2）已知 的中线 ，中线 ，则 面积的最大值为 ． 【答案】解决问题 任务1：m；任务2：2 拓展应用 （1） ；（2） 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，重心的有关性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 任务1：根据重心的意义求解； 任务2：由题意可知 ，从而可得 ，于是就有 ，从而可得 ，于是可推得 与 同高，从而可得 ； 拓展应用：根据点O是 的重心，类比任务1，任务2可知 ， ，从而可得 ， ，于是可得 ，从而可求得 ； （2）根据中线的意义，可得出 ，F是 的重心，从而可求得 ，于是可得 ，从而可得当 时，求得 最大值，从而可求得 的最大值，进而求得 的最大值，再求得 的最大值． 【详解】解：解决问题 任务1：∵点O为 的重心， ∴D，E，F分别是 ， ， 边上的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：m； 任务2：由题意可知 ， ， ， ∴ 与 同高， ； 拓展应用 ∵点O是 的重心， 类比任务1，任务2可知 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ， 则 ， ∴ ； （2）∵ 的中线 ， ， ∴ ，F是 的重心， ∴ ， ， ∴ ， 作 于点H， 则 ， ∵ ， ∴当 时， 取得最大值为 ， ∴ 的最大值为 ， ∴ 的最大值为 ， ∴ 的最大值为 ． 故答案为： ． 36．【问题初探】 （1）如图1，在 中， ，且 ，点 是 的中点，点 为对角线 上的点，且 ，连接线段 ．若 ，求 的长． 【类比拓展】 （2）如图2， 中， 平分 ， 于 ， ．求证： ； 【学以致用】 （3）如图3，在 ， ， 点在 上， ， 、 分别是 、 的中点，连结 并延长，与 的延长线交于点 ，连结 ，若 ， ， ，求 的长． 【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接 ，交 于点 ，易得 ，勾股定理求出 的长，即可； （2）延长 交 的延长线于点 ，先证明 ，得到 ，取 的中点 ，连接 ，利用中位线定理，得到 ，且 ，证明 ，得到 ，即可得出结论； （3）连接 ，取 中点 ，连接 ， ，利用中位线定理，得到 是等边三角形， 是等边三角形，设 ，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 的值，进一步求解即可． 【详解】解：（1）连接 ，交 于点 ，如图， 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）证明：如图，延长 交 的延长线于点 ， 平分 ， ， ， ， 又 ， ， ， 取 的中点 ，连接 ，则有 ，且 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ； （3）如图，连接 ，取 中点 ，连接 ， ， 、 分别为 和 中点， 和 分别为 和 的中位线， 且 且 ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得， ， 解得 ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线． 一、单选题 1．如图在 中，点 点 分别是 边的中点， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，在 中，点O是三角形的重心，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，重心的概念，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 延长 到G，使 ，连接 推出 是 的中位线，利用三角形中位线定理，求得 ， ，再证明 ，推出 ，据此即可得出结论． 【详解】解：延长 到G，使 ，连接 点O是三角形的重心， 点D是 的中点， 是 的中位线， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如果等边三角形的边长为 ，那么等边三角形的中位线长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可． 【详解】解：边长为 的等边三角形的中位线长 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，是基础题，熟记定理是解题的关键． 4．在 中， ， ， ，点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，则 的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出 、 、 ，计算即可． 【详解】解：∵点D、E、F分别是边 的中点， ， ， 是三角形的中位线， , , ， 的周长 ， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可． 【详解】∵AD＝AC， ∴ 是等腰三角形， ∵AE⊥CD， ∴ ， ∴E是CD的中点， ∵F是BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴ ， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键． 6．如图，在 中， ，点 是 的重心， ，则 的长为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了重心，斜边的中线等于斜边的一半．根据在 中， ，点 是 的重心，得 ，则 ，即可作答． 【详解】解：∵在 中， ，点 是 的重心， ∴ 是 边上的中线， ， 则 ， 故选：C． 二、填空题 7．如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长为15m，则A、B两点间的距离为 【答案】30m 【分析】由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的长即可． 【详解】解：∵D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=30m． 故答案为：30m． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的运用；熟记三角形中位线定理是解决问题的关键． 8．将菱形四边中点顺次连结，形成的四边形是 ． 【答案】矩形 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、菱形的基本性质以及矩形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据题意作出图形，结合三角形中位线的性质、菱形的基本性质以及矩形的判定，即可获得答案． 【详解】解：如图，四边形 为菱形， 为对角线， 分别为 的中点，依次连接 ， ∵ 四边形 是菱形， ∴   ， ∵ 分别为 的中点， ∴ ， ， ∴ 四边形 是平行四边形 ， 又∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形； 故答案为：矩形． 9．如图，点 是 的重心， 交 于点 交 于点 ．已知 的面积为 ，则 的面积为 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的定义及性质、由中线求三角形的面积等知识，熟记三角形重心的定义及性质、三角形中线等分面积等知识是解决问题的关键． 先由点 是 的重心，得到 是 边 上的中线，且 ，进而由三角形中线等分面积得到 ，则得到 ． 【详解】解： 点 是 的重心， 是 边 上的中线，且 ， EMBED Equation.DSMT4 的面积为 ， ， ， 故答案为： ． 10．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 、 的中点，连结 、 交于点 ，则 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知 为直角三角形，根据重心的性质可知线段的比例关系，进而得出 的长度． 【详解】解：∵在 中， 、 分别是 、 的中点， ∴点 是 的重心， ∴ ， ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重心的性质，熟记重心的性质是解题的关键． 11．如图，在 与中，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，若 的面积等于 ，则 的面积为    【答案】10 【分析】根据线段的中点得出 ，依次求出 、 的面积，求出 的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是 ， ， 的中点， ， ∵ 的面积等于40， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键． 12．如图， ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ． 【答案】15 【详解】∵▱ ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB= BD=6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD． ∴OE= BC． ∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD + （BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15． 故答案是：15． 13．如图，在 中， ， 分别是 和 的中点，连接 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，若 ，则 的长为 ． 【答案】2 【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN= BC=2，MN BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2． 【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN= BC=2，MN∥BC， ∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE， ∵点E是CN的中点， ∴NE=CE， ∴△MNE≌△DCE（AAS）， ∴CD=MN=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 14．已知 为 边 延长线上一点， 为 的中点，联结 并延长交 于点 ，则 ． 【答案】 / 【分析】本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答的关键是添加合适的辅助线解决问题． 根据题意画出图形，取 的中点H，连接 ，由三角形的中位线定理得到 ，再证明 得到 ，则 ，进而可求解． 【详解】解：如图，取 的中点H，连接 ， 则 ， 又 ， ∴ 为 的中位线， ∴ ， ∴ ， ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 三、解答题 15．如图，在 中，点 分别是边 的中点， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到 ，则由平行线的性质可得到 ． 【详解】解：∵在 中，点 分别是边 的中点， ∴ 都是 的中位线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 16．如图， 中， ，点D，E分别是 的中点，点F在 的延长线上，且 ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】根据三角形中位线定理和根据平行四边形的判定和性质得出对边相等得出结论． 【详解】证明：∵ ，点D是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点E是 中点，点D是 的中点， ∴ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，熟记各性质并确定出由三角形的中位线定理得到 是解题的关键． 17．已知，如图在△ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点． 求证：（1）四边形AFDE是平行四边形； （2） 周长等于AB+AC．        【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】(1)根据三角形的中位线的性质得到DE和AF平行且相等，从而得出平行四边形； (2)根据中点的性质得出DF=EC，DE=BF，从而得出答案． 【详解】证明： (1)∵D、E分别是BC、AC的中点，F为AB的中点， ∴DE=AF，DE∥AF， ∴四边形AFDE是平行四边形； (2)、∵点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的中点， ∴DF=EC，DE=BF， ∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC． 18．如图，在 中， 是边 上的中线， ， ， 交 的延长线于点 ， ， ．    (1)求 的长； (2)求证： 垂直平分 ． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】 根据三角形的中线定义可得 ，从而利用平行线分线段成比例可得 ，进而可得 是 的中位线，然后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答； 根据平行线的性质可得 ， ，从而结合已知可得 ，进而可得 ，然后利用等量代换可得 ，从而利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解： 是边 上的中线， ， ， ， 是 的中位线， ， 的长为 ； （2）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分 ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 19．已知在 中， ， 为 中点， 为 边的中线且 ，连接 、 ．    (1)求证： ； (2)若 ，求 的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中线性质得到 ，再由等腰三角形性质、三角形外角的性质及等腰三角形性质得 ，可得结论； （2）先由中位线的判定与性质得到 ，再由 是等边三角形，确定含 的直角三角形 ，结合含 的直角三角形及勾股定理求出 三边的边长，即可得结论． 【详解】（1）证明： 为 边的中线且 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： 为 中点， 为 边的中线， 为 的中位线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 ． 【点睛】本题考查三角形的周长、等腰三角形判定与性质、等边三角形判定与性质、含 的直角三角形性质、三角形的中线、中位线、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关几何基础知识． 20．如图所示， 分别是四边形 各边中点，连接 ，则四边形 为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形 是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形 是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形 是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3） 且 ，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接 ，可以根据 分别是四边形 各边中点，得到线段 分别为 的中位线，由中位线定理可以证明四边形 为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形 为平行四边形， 理由，连接 ， 分别是四边形 各边中点， 线段 分别为 的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1） ， 理由，如图①四边形 的对角线 ， 四边形 为平行四边形，且 ， ， ， 平行四边形 为菱形， 故答案为： ； （2） ， 理由，如图②四边形 的对角线互相垂直， 分别是四边形 各边中点， 线段 分别为 的中位线， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形， 四边形 为矩形， 故答案为： ； （3） 且 ， 理由，如图③四边形 的对角线相等且互相垂直， 根据 ，由（2）可知 ， 根据 ，由（1）可知平行四边形 为菱形， 四边形 为正方形， 故答案为： 且 ． 21．如图1，在 中，点D为 的中点，连接 ，若 ，求 的取值范围时学生分析，决定延长 到E，使 ，连接 ，可得到 ，进而在 中得到 的取值范围，于是可求得 的取值范围． (1)请回答： ①如图1，连接 ，由已知和作图能得到 的理由是______． A． B． C． D． ②求得 的取值范围是______． A． B． C． D． (2)如图2， 分别是 的边 的中点，求证： ，且 ． (3)如图3，在等边三角形 中，点P为射线 位于点C右侧的一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转 得到线段 ，点C的对应点为点D，连接 ，点Q为 的中点，连接 ．若 ，当 时，直接写出 的长度． 【答案】(1)（1）①B；②C (2)见解析 (3)6或 【分析】（1）根据作图结合 ，以及三角形的三边关系进行作答即可； （2）先证明 ，进而证明四边形 是平行四边形，即可得出结论； （3）分 为 的中位线，以及 不是 的中位线，两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵点D为 的中点， ∴ ， 又 ， ∴ ； 故选B； ②∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 故选C； （2）证明：延长 到 ，使 ，连接 ， 是 的中点， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ． （3） 的长度为6或 ． ①当 为 的中位线时，如图1， ． 点Q是 的中点，点C为 的中点， ． ②如图2，当 不是 的中位线时，连接 ，取 的中点E，连接 ，过点P作 于点F，过点F作 于点N，过点Q作 于点M． 为等腰三角形， ， ， ， ． 为 的中点，Q为 的中点， 是 的中位线， ， ， ． ， ， ， ，即 ， ，即 ． 综上所述， 的长度为6或 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握倍长中线法构造全等三角形和中位线定理． 学科网（北京）股份有限公司 $