23.3 矩形、菱形与正方形-正方形随堂检测 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 23.3 矩形、菱形与正方形-正方形随堂检测 （适用沪教版（五四制）新教材数学2025-2026学年八年级下册） 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 2．下列命题中是真命题的选项是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．三条边都相等的四边形是菱形 3．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，ABE、BCF、CDG、DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（　　） A．7 B．6 C．7 D．7 5．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．则下列结论正确个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 8．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 12．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 二、填空题 13．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是_____．（只填一个条件即可） 14．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 15．（1）定义法：有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形是正方形． （2）矩形法：一组邻边相等的________是正方形 （3）菱形法：一个角为直角的________是正方形 16．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 17．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 18．如图，四边形是正方形，、分别是、边上的点，且，，，则的长度是_____________． 19．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 20．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 21．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是______． 22．如图，已知正方形的边长为，为等边三角形（点在正方形内），若是上的一个动点，的最小值是_____． 23．如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是___________． 24．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是___________． 三、解答题 25．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 26．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 27．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 28．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 29．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 30．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 31．一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 32．如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 23.3 矩形、菱形与正方形-正方形随堂检测 （适用沪教版（五四制）新教材数学2025-2026学年八年级下册） 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 2．下列命题中是真命题的选项是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．三条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； 故答案选：C． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 3．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 4．如图，ABE、BCF、CDG、DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（　　） A．7 B．6 C．7 D．7 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出BE，证明四边形EFGH为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13， 由勾股定理得，BE＝＝＝12， ∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形， ∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5， ∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7， ∴四边形EFGH为正方形， ∴EG＝＝7， 故选：A． 【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 5．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 6．正方形，按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在边上，，且，连接交于点M，有下列结论：①；②；③；④．则下列结论正确个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理和全等三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点间的联系；根据正方形的性质得到线段相等和角相等，可以判断②正确；由以上的条件也可证明三角形全等，进而可以得到①正确，运用两次勾股定理可以判断③正确，通过等量代换可以判断④正确； 【详解】解：在正方形，中 ，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴ ∴， ∴， 故①正确； 在中，， 即 在中，， ∴， 故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， 故④正确； 综上可知：①②③④都正确，共4个， 故选：D． 7．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 8．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的面积与对角线的关系，解题的关键是掌握“正方形面积等于对角线平方的一半”这一公式． 利用正方形面积与对角线的关系，代入对角线长度计算，即面积对角线． 【详解】设正方形的边长为 cm． 对角线长为 cm，且对角线 = ， ， cm． 面积 cm²． 故选A 9．如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：A． 10．如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形可得与互相垂直平分，即可证明，得到，，进而得到，再根据垂直求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵正方形的对角线，交于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 11．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质；利用全等三角形的性质得到，再根据正方形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵，，，是四个全等的直角三角形，，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 13．如图所示，菱形中，对角线相交于点O，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是_____．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件，即可． 【详解】解：添加，理由： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 14．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 【详解】解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 15．（1）定义法：有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形是正方形． （2）矩形法：一组邻边相等的________是正方形 （3）菱形法：一个角为直角的________是正方形 【答案】 相等 直角 矩形 菱形 【解析】略 16．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 17．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 18．如图，四边形是正方形，、分别是、边上的点，且，，，则的长度是_____________． 【答案】1.4/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，延长至点G，使，根据证明，得出，，然后再根据证明，得出，即可求解． 【详解】解：延长至点G，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 19．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 20．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 21．如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4， ∴正方形的面积分别为25和16， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 22．如图，已知正方形的边长为，为等边三角形（点在正方形内），若是上的一个动点，的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，找出取得最小值的条件是解题的关键． 连接，根据正方形的性质得到，判断出当点、、三点共线时，最小，再根据等边三角形的性质即可得解； 【详解】连接， 点在线段上，是正方形的一条对称轴，点与点关于直线对称， ， ， 根据“两点之间，线段最短”，当点、、三点共线时，最小，此时，， 是等边三角形，且， ， 的最小值为． 故答案是． 23．如图，以正方形的边向外作等边三角形，则的度数是___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质及等边三角形的性质可求解，再根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 24．将三个面积均为6的正方形按如图所示摆放，点是左侧正方形的中心，也是中间正方形的一个顶点，是中间正方形的中心，也是右侧正方形的一个顶点，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】3 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质．根据题意可得，是正方形的面积的，据此求解即可． 【详解】解：如图，标注图形，连接，， ∵由正方形性质可得：，，， ， ∴， ∴， ∴， 同理，右边空白四边形的面积也是， ∴图中阴影部分的面积是：． 故答案为：3． 三、解答题 25．如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，根据正方形的性质可得，根据，可得，由此即可求出，进而可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 26．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 【答案】(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 27．如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 28．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 29．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2)；36 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键． 30．如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 31．一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【答案】（1），（2），（3），验证见解析． 【分析】（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积； （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为； （3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积． 【详解】解：（1）如图（1）中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴=， ∵， ∴， ∴重叠部分的面积为： （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形， ∴边长为：， ∴面积为： （3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、， ∵是斜边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于正方形的面积， ∵正方形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 32．如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； (2)求剩余木料的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）中结论求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积为和， 两个小正方形的边长为，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知大正方形的边长为：； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 试卷第30页，共30页 试卷第1页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $