第05讲 正方形（知识点+13考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第05讲 正方形 1.理解菱形的概念及菱形的对称性. 2.掌握“菱形的四条边都相等”和“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”的性质定理. 3.掌握“四条边相等的四边形是菱形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理. 4.会综合运用菱形的判定及性质解决简单的几何问题. 知识点1 正方形的定义（☆☆） 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 有一个角是直角的平行四边形是 ；有一组邻边相等的平行四边形是 ；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是 . 知识点2 正方形的判定（☆） 1.定义判定 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 2.从边的角度判定 有一组邻边相等的矩形是正方形。 3.从角的角度判定 有一个角是直角的菱形是正方形。 4.从对角线的角度判定 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 判定一个四边形是正方形的三种方法 (1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等 (3)先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直. 如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 知识点3 正方形的性质（☆） 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． 如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线，等边三角形和正方形在它们之间，点A，C在上，点D，E在上，点B为公共顶点，则的度数为 ． 知识点4 平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别（☆） 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 考点1： 正方形的性质理解 例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【变式1】菱形、矩形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角 【变式2】如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 考点2：根据正方形的性质求角度 例2 如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，联结DG，那么∠BGD＝ 度． 【变式1】如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 【变式2】如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考点3： 根据正方形的性质求线段长 例3 如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为 厘米． 【变式1】如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ． 【变式2】如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 【变式3】如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ． 考点4： 根据正方形的性质求面积 例4 若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 【变式1】正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为 ． 【变式2】如图，两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是 平方厘米． 【变式3】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG边上．连接AF，H是AF的中点，若CH＝，正方形ABCD的面积为1，则正方形CEFG的面积为 ． 考点5：正方形折叠问题 例5 如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是 ． 【变式1】如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为 ．    【变式2】如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    【变式3】如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 考点6： 根据正方形的性质证明 例6 如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则 ．    【变式1】如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为 ．    【变式2】如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，如果时，则的长为 ． 【变式3】如图，边长为1的正方形绕点向逆时针方向旋转（图中），旋转后的正方形与原正方形公共部分（即四边形）的面积为 ． 考点7： 正方形的判定定理理解 例7 以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【变式1】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【变式2】如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 考点8： 添一个条件使四边形是正方形 例8 如图，在中，，垂直平分，．当满足条件 时，四边形是正方形． 【变式1】已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【变式2】如图，在矩形中，添加一个条件： ，可使四边形是正方形． 考点9： 证明四边形是正方形 在证明一个四边形是正方形时，应首先考虑这个四边形是平行四边形、矩形还是菱形，然后选择相应的判定方法，再寻找判定正方形所需的条件. 例9 如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【变式1】已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【变式2】如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【变式3】如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 考点10： 根据正方形的性质与判定求角度 例10 如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于 ． 【变式1】如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 考点11： 根据正方形的性质与判定求线段长 例11 如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【变式2】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【变式2】如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 考点12： 根据正方形的性质与判定求面积 例12 如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【变式1】如图是的高，，若，则的面积是 ． 【变式2】如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式2】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 考点13： 根据正方形的性质与判定证明 例13 已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【变式1】如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 【变式2】如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 1．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 2．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 3．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 5．四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 6．如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为 ． 7．如图，在四边形中，，过点作的垂线交于点，，，，，则的长为 ． 8．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 1．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 2．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 3．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为 ． 5．在等腰直角中，，，将直角边绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．若为等腰三角形，则此时线段的长为 ． 6．（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $定义：四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形 定义 提示：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 判定方法： 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 正方形的判定（重点) 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直 方法总结： 先证它是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等 正方形 先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直 是中心对称图形，对称中心是它的中心 对称性： 是轴对称图形，有四条对称轴 对边平行：AB‖CD,AD‖BC 正方形具有平 边： 行四边形、矩 四条边相等：AB=BC=CD=DA 形和菱形的所 有性质 角： 一四个角都是直角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90 对角线相等且互相垂直平分：AC=BD,AC⊥BD,OA=OB=OC=OD 正方形的性质（重点) 对角线： 每条对角线平分一组对角：例如∠BAC=∠DAC=∠DCA=∠BCA 正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 提示： 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 若正方形边长为a,则对角线长为√2a,面积为a2定义：四个内角都是 定义 提示：正方形既是特 正方形的判定（重点) 正方形 正方形的性质（重点） 直角、四条边都相等的四边形叫作正方形 殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 判定方法： 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直 方法总结： 先证它是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等 先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直 是中心对称图形，对称中心是它的中心 对称性： 是轴对称图形，有四条对称轴 对边平行：AB‖CD,AD‖BC 正方形具有平 边： 行四边形、矩 四条边相等：AB=BC=CD=DA 形和菱形的所 有性质 角： 四个角都是直角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 对角线相等且互相垂直平分：AC=BD,AC⊥BD,OA=OB=OC=OD 对角线： 每条对角线平分一组对角：例如∠BAC=∠DAC=∠DCA=∠BCA 正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 提示： 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 若正方形边长为a,则对角线长为√2a,面积为a2 寒假预习第05讲 正方形 1.理解菱形的概念及菱形的对称性. 2.掌握“菱形的四条边都相等”和“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”的性质定理. 3.掌握“四条边相等的四边形是菱形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理. 4.会综合运用菱形的判定及性质解决简单的几何问题. 知识点1 正方形的定义（★☆☆） 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 有一个角是直角的平行四边形是 ；有一组邻边相等的平行四边形是 ；四条边都相等，四个角都是直角的四边形是 . 【答案】 矩形 菱形 正方形 【分析】根据矩形、菱形和正方形的判定进行分析即可. 【详解】有一个角是直角的平行四边形是矩形； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 故答案为：矩形，菱形，正方形 【点睛】考核知识点：矩形，菱形，正方形的判定.熟记性质是关键. 知识点2 正方形的判定（★★☆） 1.定义判定 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 2.从边的角度判定 有一组邻边相等的矩形是正方形。 3.从角的角度判定 有一个角是直角的菱形是正方形。 4.从对角线的角度判定 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 判定一个四边形是正方形的三种方法 (1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等 (3)先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直. 如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件 ，使矩形成为正方形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是正方形的判定．有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，再根据正方形的判定方法分析即可． 【详解】解：根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”， 可添加：； 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”， 可添加：； 故答案为：（答案不唯一） 知识点3 正方形的性质（★★☆） 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． 如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 6．如图，直线，等边三角形和正方形在它们之间，点A，C在上，点D，E在上，点B为公共顶点，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形性质，两直线平行同旁内角互补，先根据正方形的性质说明，再根据等边三角形的性质可得，最后根据平行线的性质得出答案. 【详解】解：∵正方形， ∴. ∵， ∴. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴. 故答案为：. 知识点4 平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别（★★☆） 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 考点1： 正方形的性质理解 例1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【知识点】正方形性质理解 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 【变式1】菱形、矩形、正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角 【答案】C 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明、正方形性质理解 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【知识点】正方形性质理解、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 考点2：根据正方形的性质求角度 例2 如图，点G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，联结DG，那么∠BGD＝ 度． 【答案】135． 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角 【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°-∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数． 【详解】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°． ∵AB＝AG，∠AGB＝70°， ∴∠BAG＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠DAG＝90°﹣∠BAG＝50°， ∴∠AGD＝（180°﹣∠DAG）＝65°， ∴∠BGD＝∠AGB+∠AGD＝135°． 故答案为135． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键． 【变式1】如图，已知四边形是正方形，点是边延长线上的一点，如果，那么 度． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查利用正方形的性质求角度，涉及对角线平分对角、等腰三角形的性质，熟记这些基本的几何图形判定及性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质得，由，得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形和等边三角形的性质可得，即，进而求得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 则， 则， ∴， 故选：C． 考点3： 根据正方形的性质求线段长 例3 如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为 厘米． 【答案】2 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，先根据正方形的性质求出，再结合勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米， ∴ ∴ 即 则正方形的对角线的长（厘米）， 故答案为：2 【变式1】如图，正方形的边长为2，对角线、交于点，为边上一点，如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键． 由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解． 【详解】解：正方形的边长为， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，正方形和正方形中，、、三点共线，点在上，，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，延长、相交于M，根据正方形的性质可得出，，，，证明四边形是矩形，得出，，，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 连接，根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接交于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得和，的长度，从而求得，因为的中点，可得和，再由正方形的性质可得和 ，在中，求解即可． 【详解】解：如下图，连接，连接与交于点M ∵四边形和四边形是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： ∴ 又∵P是的中点，M是的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= 故答案为： 考点4： 根据正方形的性质求面积 例4 若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4， ∴这个正方形的面积=×4²=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 【变式1】正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】证明，得到，从而将四边形的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：在正方形中， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质证明全等，将所求面积进行转化． 【变式2】如图，两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是 平方厘米． 【答案】2254.5// 【知识点】等腰三角形的定义、根据正方形的性质求面积 【分析】设正方形EFNM的边长为2a，根据正方形EFNM的面积，求出等腰直角三角形ABC的腰长，第二个图形中正方形ADQG的边长为等腰直角三角形腰长的一半，进而可得出右图中正方形的面积． 【详解】解：设正方形EFNM的边长为2a， ∵OE＝a，AE＝a，BE＝EM＝2a， ∴AB＝3a， ∵正方形EFNP的面积为2004， 即（2a）2＝2004， ∴a2＝501， ∵AG＝GQ＝AB， ∴正方形ADQG的面积为：GQ2＝（AB）2＝AB2＝×（3a）2＝a2＝×501＝2254.5， ∴正方形的面积为2254.5平方厘米． 故答案为2254.5． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，正方形及面积，解答本题的关键是要熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质及正方形面积的计算方法． 【变式3】如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG边上．连接AF，H是AF的中点，若CH＝，正方形ABCD的面积为1，则正方形CEFG的面积为 ． 【答案】9 【知识点】根据正方形的性质求面积、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，则∠ACF=90°，根据正方形ABCD的面积为1得到BC，根据直角三角形斜边上的中线求出AF，利用勾股定理求出CF，可得CE，即可得到正方形CEFG的面积． 【详解】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴∠ACD=45°，∠FCG=45°， ∴∠ACF=45°+45°=90°， ∵正方形ABCD的面积为1， ∴AB=BC=CD=1， ∴AC=BC=，CF=CE， ∵H是AF的中点，CH＝， ∴AF=2CH=， ∴CF==， ∴CE==3， ∴四边形CEFG的面积为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线． 考点5：正方形折叠问题 例5 如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，分母有理化．由折叠的性质知，利用等积法列式计算即可求解． 【详解】解：设点的对应点为点，连接， ∵正方形边长为1， ∴， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，将正方形纸片折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、正方形折叠问题 【分析】先由正方形的性质得到，再由折叠的性质可得，则可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式2】如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可证明，可得，，利用等积法求出，然后计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 【变式3】如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 考点6： 根据正方形的性质证明 例6 如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则 ．    【答案】/105度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质可得，可得，则是等边三角形，，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质及等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解本题的关键． 【变式1】如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为 ．    【答案】13 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2】如图，已知正方形的边长为，、分别是、边上的点，且，如果时，则的长为 ． 【答案】20 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】如图，延长到，使，连接，先证得，，再证≌得，从而得，，，在中，由勾股定理即可得解． 【详解】如图，延长到，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【变式3】如图，边长为1的正方形绕点向逆时针方向旋转（图中），旋转后的正方形与原正方形公共部分（即四边形）的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】 连接，先根据旋转的性质，利用证明，则所求四边形的面积等于面积的2倍，然后在中根据勾股定理求出的长，进而求出面积． 【详解】 解：连接． 根据旋转的性质得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴AH=2DH， 由勾股定理可得， ∴． ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的面积．利用证明出，从而将所求四边形的面积转化为面积的2倍是解题的关键． 考点7： 正方形的判定定理理解 例7 以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【答案】⑥ 【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法进行判断． 【详解】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意； ④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意； ⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意； 故答案为：⑥． 【点睛】本题综合考查了对平行四边形及特殊平行四边形判定的运用，综合性较强．熟悉四边形及特殊四边形的判定方法是关键． 【变式1】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 ． 【答案】①②③ 【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 【变式2】如图中，阴影部分表示的四边形是 ． 【答案】正方形 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 考点8： 添一个条件使四边形是正方形 例8 如图，在中，，垂直平分，．当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、证明四边形是矩形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定方法和正方形的判定方法，解题的关键是可从四边形是正方形推出满足的条件． 由已知条件，垂直平分，，判定四边形为矩形，根据邻边相等的矩形为正方形可知时四边形是正方形． 【详解】解：添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵，垂直平分，， ，， 四边形为矩形， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】已知菱形中对角线、相交于点，添加条件 可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用菱形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 【变式2】如图，在矩形中，添加一个条件： ，可使四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，由正方形的判定方法直接求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， 四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 考点9： 证明四边形是正方形 在证明一个四边形是正方形时，应首先考虑这个四边形是平行四边形、矩形还是菱形，然后选择相应的判定方法，再寻找判定正方形所需的条件. 例9 如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【变式1】已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、矩形性质理解、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【变式2】如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】（1）连接，先证明，即有，，根据，可得，问题随之得证； （2）过E点作，交于点M，交于点N，证明，即可． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行的性质等知识，灵活运用菱形的性质，是解答本题的关键． 【变式3】如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、根据菱形的性质与判定求线段长、证明四边形是正方形 【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据平行线的性质可证，结合题意可证四边形为菱形，即得出，再结合，即得出； （2）由（1）可知四边形为平行四边形，即得出，，．再结合题意即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 考点10： 根据正方形的性质与判定求角度 例10 如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于 ． 【答案】22．5° 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度 【分析】根据等边对等角的性质可得∠E＝∠ACE，由正方形的性质得出∠BAC＝45，再由三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵AC＝AE， ∴∠E＝∠ACE， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠BAD＝90，∠BAC＝45， ∴∠E+∠ACE＝45， ∴∠ACE＝×45＝22．5， 故答案为：22．5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形的外角性质和正方形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，点为正方形内一点，，，连结，那么的度数是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度 【分析】由正方形的性质得到AD=CD，根据等腰三角形的性质得到∠DAE=∠AED=70°，求得∠ADE=180°-70°-70°=40°，得到∠EDC=50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论. 【详解】解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 故选． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键. 【变式2】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 考点11： 根据正方形的性质与判定求线段长 例11 如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【变式1】小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求角度、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 【变式2】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式2】如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 考点12： 根据正方形的性质与判定求面积 例12 如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【答案】25 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 【变式1】如图是的高，，若，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，以为边作正方形，可得，设，用含x的式子表示出的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作正方形，在上取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， 即， 解得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【知识点】全等三角形综合问题、求正方形重叠部分面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 考点13： 根据正方形的性质与判定证明 例13 已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据菱形的性质可知，，，可得，再结合即可变换为，得到即可证得四边形是正方形； （2）根据正方形的性质易得，，再根据，可得，结合即可得到，证得，从而得到． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线与相交于点O，   ，，， ， ，   ， ，   ，   四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形 ； ，，，，   ，，   ，垂足为， ，，   ， ，   在和， ， ， ． 【变式1】如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，，从而可得，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的面积为4， ∴，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，菱形的判定，求算术平方根，勾股定理． 【变式2】如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 1．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 【答案】B 【知识点】判断命题真假、正方形性质理解、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法正确； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法正确； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法正确． 故选：B． 2．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 【答案】B 【知识点】正方形性质理解 【分析】本题考查正方形的周长计算．根据正方形的四条边长度相等，周长等于边长的4倍求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的每条边均为3， 所以，周长为， 故选：B． 3．如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求角度 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解． 本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 正方形 的对角线. ， ∵四边形是菱形， ， 故选：D ． 4．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 5．四边形是菱形，只须补充条件 （用字母表示）就可以判定四边形是正方形． 【答案】（答案不唯一，如：或或或） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定方法即可求解． 【详解】解：由于四边形是菱形，则添加或或或或就可以判定四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一，如：或或或）． 6．如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或3 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， 故答案为：6或3． 7．如图，在四边形中，，过点作的垂线交于点，，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】如图所示，过点A作于G，过点A作交延长线于T，连接，则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则，如图所示，在上取一点H，使得，连接，可证明，推出，则，；设，导角可证明，则，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于G，过点A作交延长线于T，连接， ∵， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 如图所示，在上取一点H，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．如图， 正方形的对角线相交于点O，作，交于点E，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，由正方形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明四边形是正方形． 【详解】证明：∵正方形的对角线相交于点O， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 1．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，连接，根据正方形的性质得出直角和相等的边，证明和，得出相等的边，假设，表示出相关的边长，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 假设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴, 故选：A． 2．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，，求出，由正方形的性质可得，，从而可得，再分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得； 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得：， 综上所述，当与全等时，t的值为或； 故选：D． 3．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和HL综合（HL）、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质，结合已知，可证明，可得，连接，可得，可证明，对应角相等，可得，由三角形外角的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵点是的中点，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余． 4．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 5．在等腰直角中，，，将直角边绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．若为等腰三角形，则此时线段的长为 ． 【答案】2或或 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，分三种情况讨论：当时；当时，过P作于E，过C作于F， 根据三线合一的性质求出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可；当时，证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：在等腰直角中，，， ∴， 当时，如图， ； 当时，如图，过P作于E，过C作于F， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 当时，如图， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， 综上，的长为2或或， 故答案为：2或或． 6．（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得出四边形是矩形，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证明四边形为正方形； （2）根据矩形与正方形的性质，推出，，根据折叠的性质，得出，，根据勾股定理计算，由计算出的长，设，则，根据勾股定理，，列出方程求解，由，计算得出答案即可． 【详解】解：（1）证明：∵在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形为正方形； （2）∵四边形是矩形，，，由（1）得四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、运用勾股定理计算求解是解题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $