专题23.3 矩形、菱形与正方形（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦矩形、菱形与正方形核心知识点，系统梳理三者的定义、性质及判定定理，从边、角、对角线、对称性四个维度解析特征，构建与平行四边形的从属关系，形成完整知识体系。 资料设计“即学即练”即时巩固，题型涵盖命题辨析、折叠问题等，融入十字架、半角等几何模型，培养学生推理能力与空间观念，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升几何综合应用能力。

专题23.3 矩形、菱形与正方形 教学目标 1. 掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，能从边、角、对角线、对称性四个维度梳理其特征； 2. 理解三种图形与平行四边形的从属关系，能准确表述包含与特殊化逻辑； 3. 会运用性质与判定进行相关证明、计算（如边长、对角线、面积）及图形识别。 教学重难点 1.重点 （1）矩形、菱形、正方形的定义、核心性质与三种图形的判定定理； （2）特殊平行四边形与平行四边形的从属关系，构建知识体系。 2.难点 性质与判定的灵活综合运用. (1) 矩形 知识点01 矩形的定义 1． 定义 四个内角都是_______的四边形叫作矩形. 【即学即练】 如右图，在矩形ABCD中，∠A =∠B=∠C=∠D=90 求证：四边形ABCD是平行四边形 平行四边形 矩形 2． 矩形与平行四边形的关系 由上题可知矩形是一种特殊的平行四边形. 知识点02 矩形的性质 矩形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质， 结合矩形的定义，我们可以从边、角、对角线三个角度思考，能得 到矩形如下的一些特殊性质： 1. 定理 矩形的两条对角线_______ 2. 矩形既是中心对称又是轴对称图形 矩形的对称中心是_______，它有_______条对称轴,分别是_______. 【即学即练】 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， 且∠AOD=120，AB=4cm，求矩形的面积. 知识点03 矩形的判定 1. 根据定义四个内角______________的四边形就是矩形. 2. 判定定理1：有一个内角是_______的平行四边形是矩形. 3. 判定定理2：对角线_________的平行四边形是矩形. 平行四边形 菱形形 【即学即练】 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 点E、F、G、H分别在对角线上，且AE=BF=CG=DH， 求证：四边形EFGH是一个矩形. （2） 菱形 知识点04 菱形的定义 1． 定义 四条边都_______的四边形叫作菱形. 【即学即练】 如右图，在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD 求证：四边形ABCD是平行四边形 2． 菱形与平行四边形的关系 由上题可知菱形是一种特殊的平行四边形. 知识点05 菱形的性质 菱形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质; 结合菱形的定义，我们可以从边、角、对角线三个角度思考，能得到菱形如下的一些特殊性质： 1. 定理 菱形的两条对角线____________________. 2. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形. 菱形的对称中心是____________，它有_____条对称轴,分别是_____________________________. 3. 由菱形是轴对称图形可知，菱形的对角线不仅互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 【即学即练】 如右图，在菱形ABCD中，AB=13cm,BD=10cm， 求菱形的面积和O到AB的距离 4. 菱形的面积公式 ①菱形是一种特殊的平行四边形，所以菱形的面积等于底乘以高; ②菱形的面积等于等于对角线乘积的__________. 5. 菱形中的几何模型——含有60内角的菱形 由菱形的定义可知菱形的四条边相等，当菱形中有一个内角是60时，菱形的一条对角线把菱形分成两个等边三角形. 【即学即练】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60，P、Q分别在BC、CD上，且∠PAQ=60，求证：PA=AQ. 知识点06 菱形的判定 1. 根据定义：四条边_________的四边形就是菱形. 2. 判定定理1：有一组邻边_________的平行四边形是菱形. 3. 判定定理2：对角线_________的平行四边形是菱形. 【即学即练】 如图，▱ABCD对角线BD的垂直平分线，交AD于点E交BC 于点F，求证：四边形BFDE为菱形. （三）正方形正方 形 平行四边形 矩形 菱形 知识点07 正方形的定义 1． 定义 四个角都是_______，四条边都________的四边形叫作正方形. 2． 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系 正方形既是矩形又是菱形，更是一种特殊的平行四边形. 【即学即练】 求证：正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 知识点07正方形的性质和判定 1. 正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行 四边形的所有性质； 2. 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形. 正方形的对称中心是__________，它有_____条对称轴,分别是_________________________. 3. 要判定一个四边形是正方形可以判定它既是_______又是________. 【即学即练】 1. 能判别一个四边形是正方形的条件是（　　） A．对角线相等，对边平行且相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．一组邻边相等，对角线互相平分 2. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN,求证：四边形EFMN是一个正方形. 知识点08正方形内的几何模型 1. 十字架模型 1.基本模型（如图1）条件：正方形ABCD中，①若AE=BF，则有结论：AE⊥BF； ②若AE⊥BF，则有结论：AE=BF. 2.进阶模型（如图2）条件：正方形ABCD中，①若EF=MN，则有结论：EF⊥MN； ②若EF⊥MN，则有结论：EF=MN. 2.半角模型 基本模型：如图，在正方形中，点分别在边上，且，则之间的数量关系为EF=BE+DF； 3.飞镖模型 基本模型：如图，在正方形中，点P为对角线BD上任意一点，则有PA=PC. 题型01 相关命题的辨析 【典例1】下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等且互相平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【变式1】下列命题中，属于假命题的是（ ） A． 矩形的对角线互相平分 B． 菱形的对角线互相垂直 C． 平行四边形的邻角相等            D． 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【变式2】下列选项的命题中，是真命题的是（    ） A．有三边相等的四边形是菱形 B．四个角相等的菱形是正方形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【变式3】下列命题中，逆命题是真命题的是（    ）． A．菱形是对角线互相垂直的四边形 B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．正方形是对角线互相垂直且相等的四边形 D．平行四边形是对角线互相平分的四边形 【变式4】平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 利用矩形的性质计算和证明 【典例1】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于，若，则的长是 ． 【变式1】如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为 ． 【变式2】如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 ． 【变式3】如图，将的边延长至点E，使，连接，，交于点O． (1)求证：； (2)连接，若四边形是矩形，求证：． 【变式4】如图，矩形中，点E为边延长线上一点，若，连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 题型03 矩形的判定 【典例1】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，交于点，过作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，的面积为．求的长． 【变式2】如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 【变式3】如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 【变式4】如图所示，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形． 题型04 矩形的折叠问题 【典例1】如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为 ． 【变式1】将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2= °． 【变式2】如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【变式4】将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点A的对应点为，与交于点D，则点D的坐标为 ．    题型05 利用菱形的性质计算和证明 【典例1】如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（ ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 【变式3】如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【变式4】如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 题型06 菱形的判定 【典例1】如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E，F．与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)填空：若，，则四边形的周长为_______． 【变式1】如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【变式4】如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 题型07 菱形的面积 【典例1】如图，在菱形中，对角线与交于点，，则菱形的面积是 ． 【变式1】如图，菱形花坛的边的长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形花坛的面积． 【变式2】如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为 ． 【变式3】如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【变式4】如图，两条长边平行，宽为1的长纸条交叉叠放，若，则重叠部分的面积为 ． 题型08 菱形中的几何模型——含有60内角的菱形 【典例1】菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【变式3】尺规作图问题：如图1，菱形，点是边上一点（不包含），连接．用尺规在边上找到点，连结，使． 小明：如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． (1)如图2，请你证明小明的作法是正确的． (2)指出小丽作法中存在的问题． 【变式4】综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： 题型09 利用正方形的性质计算和证明 【典例1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF．AE与BF交于点O．猜想：AE与BF的关系，并给出证明． 【变式1】如图，已知P是正方形对角线上一点，且，则度数是 ． 【变式2】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．    (1)求证：； (2)求的度数． 【变式3】如图1，在边长为2的正方形中，点E在上，点F在射线上，作正方形，连接，连接． (1)求证：； (2)求证：； 【变式4】如图，四边形是正方形，对角线，相交于点．点是线段上一点（不与O，C重合），连接，．点在的延长线上，且． (1)请直接写出和的数量关系：____________； (2)求证：； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 题型10 正方形的判定 【典例1】．判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是（填序号） ． 【变式1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【变式2】如图，在中，，CD是的角平分线，，，垂足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形． 【变式3】 已知：如图，顺次延长正方形ABCD的各边AB、BC、CD、DA至E、F、G、H，BE＝CF＝DG＝AH．求证：四边形EFGH是正方形． 【变式4】已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 题型11 正方形中的几何模型 【典例1】如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【变式1】如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 【变式2】【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，AP的延长线交CD于Q，交BC的延长线于G，M是GQ的中点．求证：PC⊥MC． 【变式4】【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）AE与BF的数量关系是_______ 【探索发现】 (2)DG和EG的数量关系是_______，位置关系是_______； 1.下列命题是真命题是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2. 菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 5．菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 6．菱形中，，，菱形面积是（     ） A． B． C．4 D．3 7. 如图菱形，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ）． A．恒等于6 B．恒等于9 C．逐渐增加 D．先增加再减小 8．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 9. 如图，在矩形中，是对角线和的交点，是边上一点，且，若，则的长是 ． 10. 如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是 ． 11. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 13. 如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证四边形是矩形． 14. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系．      15．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． (1)求证：BF=DE； (2)当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.3 矩形、菱形与正方形 教学目标 1. 掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质及判定定理，能从边、角、对角线、对称性四个维度梳理其特征； 2. 理解三种图形与平行四边形的从属关系，能准确表述包含与特殊化逻辑； 3. 会运用性质与判定进行相关证明、计算（如边长、对角线、面积）及图形识别。 教学重难点 1.重点 （1）矩形、菱形、正方形的定义、核心性质与三种图形的判定定理； （2）特殊平行四边形与平行四边形的从属关系，构建知识体系。 2.难点 性质与判定的灵活综合运用. (1) 矩形 知识点01 矩形的定义 1． 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 【即学即练】 如右图，在矩形ABCD中，∠A =∠B=∠C=∠D=90 求证：四边形ABCD是平行四边形 【答案】见解析 【分析】由已知条件证明两组对边分别平行即可获证 【详解】证明：∵∠A =∠B=∠C=∠D=90 ∴∠A+∠B=180，∠A+∠D=180 ∴AD//BC，AB//DC ∴四边形ABCD是平行四边形 平行四边形 矩形 2． 矩形与平行四边形的关系 由上题可知矩形是一种特殊的平行四边形. 知识点02 矩形的性质 矩形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质， 结合矩形的定义，我们可以从边、角、对角线三个角度思考，能得 到矩形如下的一些特殊性质： 1. 定理 矩形的两条对角线相等. 2. 矩形既是中心对称又是轴对称图形 矩形的对称中心是对角线的交点，它有2条对称轴,分别是两组对边 的垂直平分线. 【即学即练】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， 且∠AOD=120，AB=4cm，求矩形的面积. 【答案】 【分析】由矩形的定义可知∠BAD为直角，由矩形的性质可知AC=BD，由平行四边形的性质可知AC、BD互相平分，三者相结合可知△ABD是含有30度锐角的直角三角形，从而可求解. 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90，AC=BD，AO=CO，BO=DO ∴AO=DO ∵∠AOD=120 ∴∠ODA=∠OAD=30 ∴BD=2AB=8 ∴AD= ∴ 知识点03 矩形的判定 1. 根据定义四个内角均为直角的四边形就是矩形. 2. 判定定理1：有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 3. 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 【即学即练】 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O， 点E、F、G、H分别在对角线上，且AE=BF=CG=DH， 求证：四边形EFGH是一个矩形. 【答案】 【分析】由矩形ABCD可知AO=BO=CO=DO，再由AE=BF=CG=DH可得EO=FO=GO=HO,从而获证. 【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，BO=DO ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD ∴AO=BO=CO=DO， ∵AE=BF=CG=DH ∴EO=FO=GO=HO ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵EO+GO=FO+HO ∴EG=FH ∴四边形EFGH是一个矩形. （2） 菱形 知识点04 菱形的定义 1． 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 【即学即练】平行四边形 菱形形 如右图，在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD 求证：四边形ABCD是平行四边形 【答案】见解析 【分析】由已知条件证明两组对边分别相等即可获证. 【详解】证明：∵AB=BC=CD=AD, ∴AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 2． 菱形与平行四边形的关系 由上题可知菱形是一种特殊的平行四边形. 知识点05 菱形的性质 菱形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质， 结合菱形的定义，我们可以从边、角、对角线三个角度思考，能得 到菱形如下的一些特殊性质： 1. 定理 菱形的两条对角线互相垂直（平分）. 2. 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形. 菱形的对称中心是对角线的交点，它有2条对称轴,分别是两条对角线所在的直线. 3. 由菱形是轴对称图形可知，菱形的对角线不仅互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 【即学即练】 如右图，在菱形ABCD中，AB=13cm,BD=10cm， 求菱形的面积和O到AB的距离 【答案】120c,cm 【分析】菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，已知斜边AB，若求出两条直角边，则或解。 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，BO=DO ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD ∴， 在△AOB中， ∵BD=10 ∴BO=DO=5 ∵AB=13 ∴AO= ∴=2×AO×BO=120 （2） 过点O作OH⊥AB于点H， ∵△AOB是直角三角形， 根据面积法可得OHAB=AOBO ∴OH= = 4.菱形的面积公式 ①菱形是一种特殊的平行四边形，所以菱形的面积等于底乘以高; ②由上题可知，菱形的面积等于四个直角三角形的面积，也就等于对角线乘积的一半. =2×AO×BO= 5.菱形中的几何模型——含有60内角的菱形 由菱形的定义可知菱形的四条边相等，当菱形中有一个内角是60时，菱形的一条对角线把菱形分成两个等边三角形. 【即学即练】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60，P、Q分别在BC、CD上，且∠PAQ=60，求证：PA=AQ. 证明：连接AC ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC ∵∠ABC=60 ∴AB=BC=AC，∠BCD=120 ∴∠ACB=∠BAC=60 ∴∠ACD=60 ∵∠PAQ=60 ∴∠PAB=∠CAQ=60-∠PAC ∴△BAP≌△CAQ ∴PA=AQ 知识点06 菱形的判定 1. 根据定义四条边都相等的四边形就是菱形. 2. 判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3. 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【即学即练】 如图，▱ABCD对角线BD的垂直平分线，交AD于点E交BC 于点F， 求证：四边形BFDE为菱形. 【答案】见解析 【分析】判定一个四边形是菱形可以证明其四条边都相等；或 先证其是平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. 【详解】证法一： ∵EF垂直平分BD ∴BE=DE，BF=DF ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC ∴∠EDO=∠FBO 在△EDO和△FBO中 ∠EDO=∠FOB，BO=DO，∠EDO=∠FBO ∴∠EDO∠FBO ∴ED=BF ∴BE=DE=BF=DF ∴四边形BFDE为菱形. 证法二： 由证法一得到∠EDO∠FBO ∴ED=BF ∵ED//BF ∴四边形BFDE为平行四边形. ∵EF⊥BD ∴四边形BFDE为菱形. （三）正方形 知识点07 正方形的定义正方 形 平行四边形 矩形 菱形 1． 定义 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫作正方形. 2． 正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系 正方形既是矩形又是菱形，更是一种特殊的平行四边形. 【即学即练】 求证：正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 【答案】见解析 【分析】（1）本题属于命题证明，要先画出图形写出已知、求证，再进行证明。 （2）如图，因为正方形是矩形，所以它的对角线是相等且互相平分的；因为正方形又是菱形，所以它的对角线又是垂直的，所以可以证明四个直角三角形是全等的等腰三角形. 【详解】证明：∵正方形ABCD是矩形 ∴AO=BO=CO=DO ∵正方形ABCD是菱形 ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90 ∴△AOB、△∠BOC、△COD、△AOD是全等的等腰直角三角形。 知识点07正方形的性质和判定 1. 正方形是一种特殊的平行四边形，它具有矩形、菱形、平行 四边形的所有性质； 2. 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形. 正方形的对称中心是对角线的交点，它有4条对称轴,分别是两 条对角线所在的直线和各组对边的垂直平分线. 3. 要判定一个四边形是正方形可以判定它既是矩形又是菱形. 【即学即练】 1. 能判别一个四边形是正方形的条件是（　　） A．对角线相等，对边平行且相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．一组邻边相等，对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，判断一个四边形是不是正方形，先判定它是平行四边形，再判定既是矩形也是菱形即可． 【详解】解：A选项中对边平行且相等，可得其为平行四边形，又对角线相等，可得其为矩形，但不一定是正方形，故A不符合题意； B选项中只能判定是平行四边形，故B不符合题意；； C选项对角线互相平分是平行四边形，平行四边形的对角线相等是矩形，平行四边形的对角线互相垂直是菱形，故四边形为正方形，故C符合题意； D选项对角线互相平分是平行四边形，，平行四边形的一组邻边相等是菱形，但不一定是正方形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN,求证：四边形EFMN是一个正方形. 【答案】见解析 【分析】通过三角形全等证明EF=FN=MN=EN，从而证明四边形EFMN是菱形，再证明∠ENM=90，从而证明它是正方形. 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90，AB=BC=CD=AD ∵AE=BF=CM=DN ∴AD-AE=CD-CF=BC-CM=AB-BN ∴DE=CF=BM=AN ∴△AEN≌△DFE≌△CMF≌△BNM ∴EF=FM=MN=EN ∴四边形EFMN是菱形 ∵△AEN≌△DFE ∴∠AEN=∠DFE ∵∠DEF+∠DFE=90 ∴∠AEN+∠DEF=90 ∴∠FEN=90 ∴四边形EFMN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） ∵四边形EFMN是正方形（既是矩形又是菱形的四边形是正方形） 知识点08正方形内的几何模型 1. 十字架模型 .模型一 条件：ＢE⊥AF 结论： △ABF≌△BCE AF＝BE 模型二 条件：MN⊥AF 结论：MN＝AF 模型三 条件：DP⊥PE 结论：PD＝PE 模型三 条件：PE⊥PF 结论：ＳPECF为定值 2.半角模型 基本模型：如图，在正方形中，点分别在边上，且，则之间的数量关系为EF=BE+DF； 【分析】遇半角模型，将△ADF绕点A逆时针旋转90至正方形左侧，证明△AEF≌△AME即可. 3.飞镖模型 基本模型：如图，在正方形中，点P为对角线BD上任意一点，则有PA=PC. 【分析】证明△APD≌△CPD即可. 题型01 相关命题的辨析 【典例1】下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（   ） A．菱形的对角线相等且互相平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【分析】本题考查了菱形、矩形和正方形的性质，根据菱形、矩形和正方形的性质，逐一判断各选项的正确性，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，故选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故选项不符合题意； C、菱形的四个角不一定相等，只有正方形的四个角相等，故选项不符合题意； D、正方形的对角线具有菱形和矩形的所有性质，互相垂直平分且相等，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列命题中，属于假命题的是（ ） A． 矩形的对角线互相平分 B． 菱形的对角线互相垂直 C． 平行四边形的邻角相等            D． 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的性质，包括平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线及角的关系．解题关键为区分 “邻角互补” 与 “邻角相等” 的不同．根据矩形、菱形、平行四边形、正方形的性质，判断各选项的真假． 【详解】∵选项A：矩形的对角线互相平分（平行四边形性质），∴ A真； ∵选项B：菱形的对角线互相垂直（菱形性质），∴ B真； ∵选项C：平行四边形的邻角互补，但不一定相等，∴ C假； ∵选项D：正方形的对角线具有矩形和菱形的所有性质，即互相垂直平分且相等，∴ D真． 故选：C． 【变式2】下列选项的命题中，是真命题的是（    ） A．有三边相等的四边形是菱形 B．四个角相等的菱形是正方形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，涉及正方形、菱形和矩形的判定定理．根据相关判定定理可知：对角线相等且互相平分的四边形是矩形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形．据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意； B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意； D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列命题中，逆命题是真命题的是（    ）． A．菱形是对角线互相垂直的四边形 B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．正方形是对角线互相垂直且相等的四边形 D．平行四边形是对角线互相平分的四边形 【答案】D 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，是假命题，不符合题意； B、逆命题为：既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形，错误，是假命题，不符合题意； C、逆命题为对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，是假命题，不符合题意； D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】考查了命题与特殊四边形的判定定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 【变式4】平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：平行四边形不是轴对称图形，矩形，菱形，等边三角形，正方形都是轴对称图形，因此平行四边形，矩形，菱形，等边三角形，正方形中是轴对称图形的有4个． 故选：D． 题型02 利用矩形的性质计算和证明 【典例1】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，于，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质得，，，由线段垂直平分线的性质得，即得，得到，再根据勾股定理即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，矩形中，对角线交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等边对等角求出的度数，最后根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， 在中， 故答案为：． 【变式2】如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3】如图，将的边延长至点E，使，连接，，交于点O． (1)求证：； (2)连接，若四边形是矩形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明四边形为平行四边形，得出，最后利用即可证明； （2）由平行四边形的性质可得，由矩形的性质可得，由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4】如图，矩形中，点E为边延长线上一点，若，连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)39 【分析】（1）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一性质，利用等量代换思想证明即可． （2）如图2，连接，利用勾股定理求出，，，由全等三角形的性质得到，则四边形的面积为：，代数期间即可． 本题考查了矩形的性质，三角形全等判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵ 矩形， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接， ∵ 矩形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， 则四边形的面积为：． 题型03 矩形的判定 【典例1】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1） 先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明有一个角是直角即可根据矩形的判定求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 【变式1】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，交于点，过作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，的面积为．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先利用平行四边形性质得、，结合、证四边形是平行四边形，再由推出，进而证其为矩形． （2）根据平行四边形对边相等得，由面积求出，进而得，最后在中用勾股定理求 ． 本题主要考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、勾股定理以及三角形面积的应用，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【变式2】如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 【答案】见解析． 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，证明是解题的关键． 由平行四边形的性质得，由，推导出，而，可根据“”证明，得，因为，所以，即可证明是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是矩形． 【变式4】如图所示，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由（1）所证及，得，再由及，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，矩形的判定，熟练掌握这些知识是关键． 题型04 矩形的折叠问题 【典例1】如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为 ． 【答案】6． 【详解】试题分析：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG，∴FG是AC的垂直平分线，∴AF=CF，设AF=FC=x，在Rt△ABF中，有勾股定理得：，，解得：x=5，即CF=5，BF=8﹣5=3，∴△ABF的面积为×3×4=6，故答案为6． 【变式1】将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2= °． 【答案】110 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°， ∵∠4=∠5， ∴∠4=∠5==70°， ∴∠2=110°， 故答案为110°． 【点睛】本题考查平行线及折叠的性质，掌握相关性质正确推理论证是解题关键． 【变式2】如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由折叠的性质，得．∵四边形是矩形，，，．四边形是菱形，，，，． 【变式3】如图，在矩形中，，．点是边上一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，由折叠可得，，由矩形可得，，，利用勾股定理求出，得到，设，则，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠可得，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【变式4】将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点A的对应点为，与交于点D，则点D的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键；根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，求得，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：长方形中，， ， 由折叠的性质得，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型05 利用菱形的性质计算和证明 【典例1】如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出，，平分和，再由得出，从而利用等腰三角形等边对等角得出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，平分和，即， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】如图，在周长为20的菱形中，对角线与相交于点O．已知，则的长为（ ）　 A．4 B．3 C．8 D．14 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，以及勾股定理，根据菱形性质得到，，再利用勾股定理求出，进而即可求得． 【详解】∵四边形是菱形，且菱形的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ，，， ， ∴． 故选：B． 【变式4】如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 题型06 菱形的判定 【典例1】如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E，F．与交于点O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)填空：若，，则四边形的周长为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）根据菱形特点，利用特殊角度，在直角三角形中求出的长，进而求出周长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴、互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴菱形周长为． 故答案为：． 【变式1】如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，，求证：四边形为菱形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定，直角三角形斜边中线定理及平行四边形的判定是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，根据斜边中线定理可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式2】如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键. （1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得利用菱形的判定即可证得结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后求出矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线，相交于点， ，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； (2)根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 四边形的周长是， ， 设、， 则有，，， ， 在中，， ， ， ， 整理可得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式． 【变式4】如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 题型07 菱形的面积 【典例1】如图，在菱形中，对角线与交于点，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 利用菱形的面积和勾股定理求得，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， , ∴由勾股定理得 ， ∴菱形的面积为, 故答案为：． 【变式1】如图，菱形花坛的边的长为，，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形花坛的面积． 【答案】(1)m， (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理； （1）根据菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可得出，进而根据勾股定理求得，即可得出的长； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，，． ， ， ， ，， ∴． （2）菱形花坛的面积为：()． 【变式2】如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、勾股定理、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【变式3】如图，将矩形纸片对折，使边与，与分别重合，展开并顺次连接折痕端点后得到四边形．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质，根据矩形和折叠的性质，推出四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形对折， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴四边形均为矩形， ∴，互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴四边形的面积为； 故答案为：6． 【变式4】如图，两条长边平行，宽为1的长纸条交叉叠放，若，则重叠部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 过点D作，，垂足分别为点E，F，则，先证明四边形是菱形，可得，再由直角三角形的性质以及勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为点E，F，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴， 根据题意得：， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴重合部分的面积为． 故答案为： 题型08 菱形中的几何模型——含有60内角的菱形 【典例1】菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，如图，根据题意可得是等边三角形，则，由菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故这个菱形较长的对角线长是． 故选：C． 【变式1】菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意有一个内角为的菱形，连接对角线可得出等边三角形．根据菱形有一个内角为，可得这条较短对角线与菱形的两条边构成等边三角形，由此可得出答案． 【详解】解：由题意可知，菱形的边长为， ∵菱形的一个内角是， ∴角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， ∴这个菱形较短的对角线长是． 故选：C． 【变式2】在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q， 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【变式3】尺规作图问题：如图1，菱形，点是边上一点（不包含），连接．用尺规在边上找到点，连结，使． 小明：如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． 小丽：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则． (1)如图2，请你证明小明的作法是正确的． (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见解析 (2)小丽的作法不正确，存在的问题见解析 【分析】（1）连接．证明．得到，从而可证明是等边三角形，即可得出结论． （2）根据以点为圆心，长为半径作弧，与菱形的边交于点，此时与菱形的边一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，即可作出判断． 【详解】（1）证明：如图，连接． 菱形 ∴ ， ∴ ∴． ， ． ． ， ． 是等边三角形． ． （2）解：不正确． 理由如下：如图， 以点为圆心，长为半径作弧， 与菱形的边交于点，此时与菱形的边一般会有两个交点， 只有其中一个点符合要求，所以小丽的作法不正确． 【点睛】本题考查菱形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式4】综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线． （1）【操作判断】 如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由： 【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得； （2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有； 【详解】解：（1）画出图形如解图， ∵在菱形中，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）， 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟悉菱形的性质． 题型09 利用正方形的性质计算和证明 【典例1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF．AE与BF交于点O．猜想：AE与BF的关系，并给出证明． 【答案】AE＝BF，AE⊥BF，见解析 【分析】只需要利用SAS证明即可得到对应的结论． 【详解】解：AE＝BF，AE⊥BF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴． ∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF． ∵∠ABE＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°， ∴∠BOB＝90°，即AE⊥BF． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知正方形的性质与全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【变式1】如图，已知P是正方形对角线上一点，且，则度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理．解题的关键是掌握以上知识点． 先根据正方形的性质求得，，，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得证； （2）根据等边对等角可得，，由等边三角形的性质可得，最后代入计算可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，等边对等角．掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【变式3】如图1，在边长为2的正方形中，点E在上，点F在射线上，作正方形，连接，连接． (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查狗狗股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质利用证明即可解题； （2）根据正方形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理计算即可； 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴，， 即， ∵四边形为正方形， ∴，， 即 ∴， ∴； （2）设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵四边形为正方形 ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 【变式4】如图，四边形是正方形，对角线，相交于点．点是线段上一点（不与O，C重合），连接，．点在的延长线上，且． (1)请直接写出和的数量关系：____________； (2)求证：； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； （2）证明：四边形是正方形， ． ． （3）解：，理由如下： 作于点 由（2）知 为等腰直角三角形 ． 题型10 正方形的判定 【典例1】．判断四个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直且互相平分的四边形是正方形．命题成立的是（填序号） ． 【答案】②③ 【分析】根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：①对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； ②对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； ③对角线相等的菱形是正方形，是真命题； ④对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是正方形，原命题是假命题； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．同时还考查了正方形的判定． 【变式1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【变式2】24．如图，在中，，CD是的角平分线，，，垂足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定，掌握先证矩形，再证邻边相等的判定思路是解题的关键． 先证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而得出其为正方形． 【详解】解：， ，四边形是矩形， 是角平分线，， ， 四边形是正方形． 【变式3】 已知：如图，顺次延长正方形ABCD的各边AB、BC、CD、DA至E、F、G、H，BE＝CF＝DG＝AH．求证：四边形EFGH是正方形． 【答案】见解析 【分析】证明△FBE≌△GCF≌△HDG≌△EAH即可得到结论． 【详解】证明：∵正方形ABCD ∴AB=BC=CD=DA , ∠EAH=∠EBF=∠FCG=∠GDH=90° ∵BE＝CF＝DG＝AH ∴AE=BF=CG=DH ∴△AHE≌△BEF (SAS) ∴EH=EF , ∠AEH=∠BFE 同理可证：EF=FG=GH=EH ∴四边形EFGH为菱形 ∵∠BFE +∠BEF=90° ∴∠AEH +∠BEF=90° 即：∠HEF=90° ∴四边形EFGH为正方形。 【变式4】已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 题型11 正方形中的几何模型 【典例1】如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，根据三角形外角的性质，即可求出结果． 【详解】解：过点G作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在正方形中，，分别为，边上的点，与交于点，为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质．证明后可得，，由已知及正方形的性质可求，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：正方形， ，， ，分别为，边上的点，， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 【变式2】【观察猜想】我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角． （1）如图1，在正方形中，点分别在边上，连接，并延长到点G，使，连接．若，则之间的数量关系为________； 【类比探究】（2）如图2，当点分别在线段的延长线上，且时，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形． （1）由正方形性质可得，，可证得，，即可证得结论； （2）在上截取，连接．可证得，，即可证得结论． 【详解】解：（1）， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，在上截取，连接． ∵四边形为正方形， ，， ， ， ，， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【变式3】如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，AP的延长线交CD于Q，交BC的延长线于G，M是GQ的中点．求证：PC⊥MC． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线性质，根据正方形中的飞镖模型，可得∠DAP=∠PCD，由直角三角形斜边中线性质可知MC=MQ，要证PC⊥MC只需证明∠PCD+∠MCQ=90即可. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴该图关于对角线BD对称 ∴∠DAG=∠PCD ∵∠DAG+∠G=90，∠PCD+∠PCQ=90° ∴∠G=∠PCQ ∵M是Rt△GCQ的斜边中点 ∴GM=GQ.CM=GQ(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半) ∴GM=CM ∴∠G=∠MCG ∴∠MCG=∠PCQ ∵∠MCG+∠BCM=∠BCG=90° ∴PCQ+∠BCM=90° ∴∠PCM=90° ∴PC⊥CM 【变式4】【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）AE与BF的数量关系是_______ 【探索发现】 (2)DG和EG的数量关系是_______，位置关系是_______； 【分析】（1）根据十字架模型进行猜想即可得到AE=BF； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，明，得出，，再利用，得出即可证明； 【详解】解：（1）相等； 证明：∵四边形是正方形， ∴，AD=AB ∴∠BAF+∠DAF=90 ∵AF⊥DE ∴∠DAF+∠ADE=90 ∴∠ADE=∠BAF ∴△ADE≌△BAF ∴AE=BF （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 1.下列命题是真命题是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、菱形的对角线垂直，原命题是假命题； C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，原命题是假命题； D、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2. 菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，根据菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意； B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意； C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相 D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意； 故选：D． 3. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，若矩形面积为12，则阴影部分的面积为（      ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、矩形对角线的性质是解题的关键． 根据，是矩形的对角线，则将矩形分成四个面积相等的三角形，则，根据矩形对角线互相平分的性质证得，进而求得阴影部分的面积等于即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O， ∴、， ， 在和中， ， ， ，是矩形的对角线， ， 阴影部分面积为：． 故选：A． 5．菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较长的对角线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，如图，根据题意可得是等边三角形，则，由菱形的性质得到，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故这个菱形较长的对角线长是． 故选：C． 6．菱形中，，，菱形面积是（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形面积和性质，以及勾股定理，利用可知，，连接菱形对角线和，在中利用勾股定理即可求出的长度，． 【详解】解：连接和交于点O，如图， 四边形为菱形，， 又在中，， 为等边三角形，， 在中，，， 由勾股定理可知， ，即， 菱形的面积为． 故选：． 7. 如图菱形，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（    ）． A．恒等于6 B．恒等于9 C．逐渐增加 D．先增加再减小 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，，判定是等边三角形，得到，，，由，推出，判定，得到，于是得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 9. 如图，在矩形中，是对角线和的交点，是边上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 根据矩形的性质说明是等边三角形，可得，再根据含直角三角形的性质求出，则此题可解. 【详解】解：∵是矩形， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴. 故答案为：12. 10. 如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点．当线段与正方形的某条边的夹角是时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，三角形外角的性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：①当与的夹角是时，即，利用四边形内角和求解即可；②当与的夹角是时，即，利用三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：点为对角线上一点， 线段与正方形的某条边的夹角是时，有以下两种情况： ①当与的夹角是时，即，如图所示： ， ， ， 在四边形中，， ， ； ②当与的夹角是时，即，如图3②所示： 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 11. 如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为矩形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． （2）解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 13. 如图，点，，，在同一条直线上，，，连接，，． (1)求证：； (2)当时，求证四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握这些性质定理是解题关键． （1）利用全等三角形的性质得到对应边和对应角相等，进而证明，从而得出； （2）先根据全等和角的关系证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角，进而判定为矩形． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形是矩形 14. （1）特例探究：如图①，在正方形中，E，F分别为，上的点，，探究，，之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取，连接，易证，从而得到，再由“”证明，从而得出结论：__________________________． （2）一般探究：如图②，在四边形中，，与互补，E，F分别是，上的点，且满足，探究，，之间的数量关系．      【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意已知，，，即可得到，从而可得； （2）同理，再在延长线上取一点，使，连接，证得，结合再证得，即可得出； 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，在延长线上取一点，使，连接， ，与互补， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 15．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE． (1)求证：BF=DE； (2)当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE； （2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可． 【详解】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC， ∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF（SAS）， ∴BF=DE； （2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE=AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE， 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四边形AFBE是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质． 2 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $