第二单元 圆柱和圆锥（知识清单）数学西南大学版六年级下册

第二单元 圆柱和圆锥 单元知识清单讲义 知识点一：圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高。 圆柱的特征：圆柱的上下底面是两个圆，它们是完全相同的；圆柱的侧面是曲面；圆柱的高有无数条，所有高的长度都相等。 沿高剪开：圆柱的侧面展开后是长方形（当圆柱底面周长=高时，展开后是正方形） 知识点二：圆柱的侧面积 把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形（或正方形），长方形 的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。所以，圆柱的侧面积=底面周长×高=直径×π×高=半径×2×π×高，用字母表示为：S 侧=C h=πd h=2πr h 逆推公式有： 圆柱的高=圆柱的侧面积÷底面周长=圆柱的侧面积÷（π×高）=圆柱的侧面积÷（半径×2×π） 用字母表示为：h=S 侧÷C 圆柱的底面周长=圆柱的侧面积÷高，用字母表示为：C =S 侧÷h 知识点三：圆柱的表面积 圆柱的表面积=圆柱的侧面积＋圆柱的底面积×2，用字母表示为：S表=S 侧+2S底 知识点四：圆柱的体积 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为：V柱=S h=πr2 h 逆推公式有： 圆柱的高=圆柱的体积÷底面积，用字母表示为：h=V柱÷S 圆柱的底面积=圆柱的体积÷高，用字母表示为：h=V柱÷S 知识点五：不规则物体的体积 1. 根据瓶内水的体积和无水部分的体积不变，将不规则图形转化成规则图形。 2.关键是瓶子正放和倒置时空余部分的容积是相等的。 知识点六：圆锥的认识 圆锥的认识：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高，把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 知识点七：圆锥的体积 1.圆锥的体积＝×底面积×高。 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：V=Sh 2.逆推公式有： 圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积，用字母表示为：h=V锥×3÷S 圆锥的底面积=圆锥的体积×3÷高，用字母表示为：S= V锥×3 ÷h 3.圆柱与圆锥等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆柱体积比圆锥体积大2倍。圆锥体积是圆柱体积的， 圆锥体积比圆柱体积小。 在体积相等高也相等的条件下，圆锥的底面积与圆柱底面积的比是3：1。 在体积相等底面积相等的条件下，圆锥的高与圆柱高的比是3：1。 题型1：圆的的认识、特征及展开 【例1-1】下面哪些是圆柱？在括号里画“√”。 （    ）                  （    ）                （    ）                    （    ） （    ）                 （    ）                 （    ）                        （    ） 【答案】（√）（    ）（√）（    ） （    ）（√）（√）（    ） 【分析】圆柱的特征： （1）圆柱上下两个底面是相等的两个圆； （2）圆柱的侧面展开图，是个长方形（也可能是正方形），这个长方形的长是圆柱的底面周长，宽是这个圆柱的高； （3）同一个圆柱两底面间的距离处处相等； （4）圆柱有无数条高。 【详解】上面一排4个图形中，从左往右第一和第三个根据圆柱的特征是圆柱形，第二个是球形，第四个是一个圆台，上下两个面不是相等的圆。 下面一排4个图形中，从左往右第二和第三个根据圆柱的特征是圆柱形，第一个的上下两个面不是相等的圆，第四个的上下两个面不是相等的圆。 （ √ ）                  （    ）             （  √  ）                       （    ） （    ）                 （  √  ）           （   √  ）                         （    ） 【例1-2】一个圆柱侧面沿高剪开后是一个正方形，则这个圆柱的底面直径和高的比是（    ）。 A．1∶π B．1∶2π C．1∶1 D．π∶1 【答案】A 【分析】根据比的意义写出圆柱的底面直径和高的比为d∶h，因为圆柱的侧面展开图是正方形，那么圆柱的高和底面周长相等，根据圆的周长公式C＝πd，用πd替换h，再化简比即可。 【详解】设圆柱的底面直径是d，高是h； 因为圆柱的侧面展开图是个正方形，所以h＝πd。 d∶h ＝d∶πd ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。 故答案为：A 【练1-1】圆柱的上、下两个面叫做( )，它们是两个相同的( )；圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做( )；两个底面之间的距离叫做( )。 【答案】 底面 圆 侧面 圆柱的高 【分析】通过观察圆柱可知，圆柱上、下各有一个面，是圆形，周围是一个曲面，3个面围成圆柱，规定圆柱的上、下两个面叫做底面，周围的曲面叫做侧面，圆柱两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高，据此解答。 【详解】圆柱的上、下两个面叫做底面，它们是两个相同的圆；圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面，两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 【练1-2】已知一块铁皮如图，配上两个（    ）可以做成圆柱。 A．＝4.5m的圆形铁皮 B．d＝4.5m的圆形铁皮 C．r＝9m的圆形铁皮 【答案】A 【分析】根据题意，这块长方形铁皮就是圆柱的侧面展开图，则做成的圆柱的底面周长是28.28m或18.84m，根据圆的周长公式C＝2πr，分别用28.26和18.84除以2π，即可求出圆柱的底面半径；据此解答。 【详解】28.26÷3.14÷2＝4.5（m） 18.84÷3.14÷2＝3（m） 则这块铁皮配上两个r＝4.5m或r＝3m的圆形铁皮可以做成圆柱。 故答案为：A 题型2：圆柱的侧面积 【例2】为了防止病虫害，“护绿天使”们要给校园里的100棵小树粉刷石灰水。如果每棵树的平均直径是0.2米，需粉刷的高度是1.6米，共需石灰水( )千克。（每平方米需要石灰水0.5千克） 【答案】50.24 【分析】每棵树干相当于一个圆柱，需粉刷的面积是底面直径为0.2米，高为1.6米的圆柱的侧面积，利用“”求出每棵树需要粉刷石灰水的面积，再乘树的棵数求出需要粉刷石灰水的总面积，需要石灰水的总质量＝需要粉刷石灰水的总面积×每平方米需要石灰水的质量，据此解答。 【详解】3.14×0.2×1.6×100×0.5 ＝0.628×1.6×100×0.5 ＝1.0048×100×0.5 ＝100.48×0.5 ＝50.24（千克） 所以，共需石灰水50.24千克。 【练2】压路机滚筒是一个圆柱体，它的底面直径是2米，轮宽2米，如果转5圈，压出路的面积是( )平方米。 【答案】62.8 【分析】压路机转1圈的压路面积是圆柱的侧面积，轮宽相当于高，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，求出侧面积，再乘5即可。 【详解】3.14×2×2×5 ＝12.56×5 ＝62.8（平方米） 如果转5圈，压出路的面积是62.8平方米。 题型3：圆柱的表面积 【例3】计算圆柱的表面积。 【答案】401.92cm2 【分析】从图中可知，圆柱的底面直径是8cm，高是12cm，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】3.14×8×12＋3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×8×12＋3.14×42×2 ＝3.14×8×12＋3.14×16×2 ＝301.44＋100.48 ＝401.92（cm2） 圆柱的表面积是401.92cm2。 【练 3】计算下面图形的表面积。                【答案】351.68平方厘米 【分析】由图可知：该图形是圆柱，已知底面周长是25.12厘米，根据圆的周长公式C＝2πr可计算出r＝C÷π÷2，根据圆的面积公式可计算出圆柱的底面积；已知高是10厘米，根据圆柱的侧面积公式可计算出圆柱的侧面积，最后根据圆柱的表面积公式可计算出圆柱的表面积。 【详解】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 2×3.14×4×10 ＝6.28×4×10 ＝25.12×10 ＝251.2（平方厘米） 251.2＋50.24×2 ＝251.2＋100.48 ＝351.68（平方厘米） 所以该图形的表面积是351.68平方厘米。 题型4：组合体的表面积（圆柱） 【例4】计算下面图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【分析】由于上面的圆柱与下面的圆柱体组合在一起，所以上面的圆柱只求侧面积，下面圆柱体求表面积，然后求和就是这个图形的表面积。根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】 图形的表面积是188.4cm2。 【练4】毕业季，美术老师教学生用卡纸自制“博士帽”（帽穗除外）。如图：上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为18厘米，高为20厘米的无盖无底的圆柱。制作1个这样的“博士帽”，至少需要卡纸多少平方厘米？ 【答案】2030.4平方厘米 【分析】看图可知，博士帽的面积＝圆柱侧面积＋正方形面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答。 【详解】3.14×18×20＋30×30 ＝1130.4＋900 ＝2030.4（平方厘米） 答：至少需要卡纸2030.4平方厘米。 题型5：圆柱的体积 【例5】将一个长5cm，宽3cm的长方形，分别以长、宽为轴旋转一周会形成不同的圆柱，旋转形成的圆柱体积最大( )cm3，最小( )cm3。 【答案】 235.5 141.3 【分析】根据题意，一个长5cm、宽3cm的长方形，分别以长、宽为轴旋转一周会形成不同的圆柱： 情况一：以长为轴旋转一周，那么形成的圆柱的高等于长5cm，底面半径等于宽3cm； 情况二：以宽为轴旋转一周，那么形成的圆柱的高等于宽3cm，底面半径等于5cm； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，分别求出两种圆柱的体积，再比较即可。 【详解】情况一：以长为轴旋转一周形成圆柱的体积： 3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝141.3（cm3） 情况二：以宽为轴旋转一周形成圆柱的体积： 3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝235.5（cm3） 235.5＞141.3 旋转形成的圆柱体积最大（235.5）cm3，最小（141.3）cm3。 【练5】把一个底面直径是8cm，高是10cm的圆柱体，切拼成一个近似的长方体（如图），长方体的体积是( )cm3，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了( )cm2。 【答案】 502.4 80 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，那么这个近似长方体的体积与圆柱的体积相等；根据圆柱的体积公式V＝h，求出圆柱的体积，也就是长方体的体积；拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了2个以圆柱的高为长、圆柱的底面半径为宽的长方形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】8÷2＝4（cm） 3.14××10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（） 10×4×2 ＝40×2 ＝80（） 所以长方体的体积是502.4，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了80。 题型6：圆柱的容积 【例6】一个药瓶，它的瓶身是圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，瓶内有25.2毫升药水，瓶子正放时，瓶内药水液面高7厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】32.4毫升 【分析】由题意可知，第一个瓶子中空气的体积等于第二瓶子中空气的体积，所以这个瓶子的容积等于高为7＋2＝9厘米的圆柱的容积，先根据圆柱的容积公式：V＝Sh，即S＝V÷h，据此求出药瓶的底面积，进而求出这个瓶子的容积。 【详解】25.2毫升＝25.2立方厘米 25.2÷7＝3.6（平方厘米） 3.6×（7＋2） ＝3.6×9 ＝32.4（立方厘米） ＝32.4（毫升） 答：这个瓶子的容积是32.4毫升。 【练6】营养学家建议：儿童每天水的摄入量约为1500毫升。要达到这个要求，明明每天用底面内直径为8厘米、高为10厘米的圆柱形水杯喝水，他喝（    ）杯水较合适。 A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出水杯容积，儿童每天水的摄入量÷水杯容积＝喝的杯数，据此列式计算，用四舍五入法保留整数即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝502.4（立方厘米） ＝502.4（毫升） 1500÷502.4≈3（杯） 他喝3杯水较合适。 故答案为：C 题型7：圆锥的认识及特征 【例7】标出下图中各部分的名称。 【答案】见详解 【分析】圆锥的尖端叫圆锥的顶点；圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此填空。 【详解】 【练7】如图，一个直角三角形，两条直角边分别是3cm和4cm。以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥。这个圆锥的底面直径是（    ）cm。 A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】看图可知，形成的圆锥的高是3cm，底面半径是4cm。将底面半径乘2，求出底面直径。 【详解】4×2＝8（cm） 所以，这个圆锥的底面直径是8cm。 故答案为：A 题型8：圆柱与圆锥的体积关系 【例8】两个大小相同的量杯里都盛有200mL的水。如图，将等底等高的圆柱与圆锥分别放入甲、乙两个量杯后，甲的水面刻度为440mL，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】80 【分析】根据题意，两个大小相同的量杯里都盛有200mL的水，甲杯中放入圆柱后，水面刻度为440mL，那么水上升部分的体积就是圆柱的体积； 乙杯中放入圆锥后，水上升部分的体积就是圆锥的体积；因为圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出圆锥的体积。注意单位的换算：1mL＝1cm3。 【详解】200mL＝200cm3，440mL＝440cm3 （440－200）× ＝240× ＝80（cm3） 圆锥的体积是80cm3。 【练8】一个透明量杯盛有250mL的水，将材质相同等底等高的圆柱形零件与圆锥形零件放入量杯中，此时量杯中水面刻度如图所示，则圆柱形零件的体积是（    ）。 A．450 B．150 C．200 D．50 【答案】B 【分析】杯中原来水的体积是250mL，放入零件后水面刻度为450mL，那么零件的总体积为450－250＝200mL，因为1mL＝1cm3，所以总体积为200cm3。因为圆柱和圆锥等底等高，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。设圆锥体积为V，则圆柱体积为3V，可得V＋3V＝200，即4V＝200，解得V＝50。那么圆柱的体积为50×3＝150cm3。 【详解】450－250＝200（mL） 200mL＝200cm3 设圆锥体积为V，则圆柱体积为3V。 V＋3V＝200 4V＝200 V＝200÷4 V＝50 50×3＝150（cm3） 圆柱形零件的体积是150cm3。 故答案为：B 题型9：圆锥的体积 【例9】计算下面圆锥的体积。 【答案】200.96cm³ 【分析】根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个圆锥的体积。 【详解】×3.14×（8÷2）2×12 ＝×3.14×42×12 ＝×3.14×16×12 ＝200.96（cm³） 圆锥的体积是200.96cm³。 【练9】一个圆锥形铁制零件，底面积是30平方厘米，高10厘米，如果每立方厘米铁重7.8克，这个零件重几克？ 【答案】780克 【分析】先根据圆锥的体积公式（V＝Sh）算出体积，再用体积乘7.8即可。 【详解】圆锥的体积： V＝Sh ＝×30×10 ＝100（立方厘米） 质量：100×7.8＝780（克） 答：这个零件重780克。 题型10：圆柱、圆锥的等积变换 【例10-1】工地上的工人师傅打算把一个底面直径为2米、高为1.2米的圆锥形沙堆，全填铺到一个长4米、宽3.14米的长方体坑里，可以铺多厚？（取3.14） 【答案】0.1米 【分析】用圆锥形沙堆，铺长方体，也就是圆锥的体积等于长方体的体积，根据圆锥体积公式：和长方体体积公式：，依次求解。 【详解】圆锥体积： （立方米） 厚度： （米） 答：可以铺0.1米厚。 【例10-2】把一个底面半径是1厘米，高是6厘米的圆柱形钢材，熔铸成一个圆锥，这个圆锥的底面积是12平方厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】4.71厘米 【分析】把圆柱形钢材熔铸成一个圆锥，体积不变，即圆柱和圆锥的体积相等，根据公式：圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，求出圆柱的体积，即圆锥的体积，再根据公式：圆锥的高＝体积÷÷底面积，代入数据计算，即可求出圆锥的高，据此解答。 【详解】3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（立方厘米） 18.84÷÷12 ＝18.84×3÷12 ＝56.52÷12 ＝4.71（厘米） 答：它的高是4.71厘米。 【练10】一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8厘米，高10厘米里装了一些水，把一个底面直径是4厘米的圆锥形铁块（完全淹没），水面上升了0.5厘米，圆锥的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】根据题意，圆锥形铁块的体积＝上升的水的体积，而上升的水的形状是底面直径8厘米，高0.5厘米的圆柱。根据圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，代入数据求出上升的水的体积，即圆锥的体积。圆的面积＝πr2，据此求出圆锥的底面积。根据圆锥的体积＝πr2h，用求得的圆锥的体积除以和它的底面积，即可求出圆锥的高。 【详解】3.14×（8÷2）2×0.5 ＝3.14×42×0.5 ＝3.14×16×0.5 ＝25.12（立方厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 25.12÷÷12.56 ＝25.12×3÷12.56 ＝75.36÷12.56 ＝6（厘米） 答：圆锥的高是6厘米。 题型11：立体图形的切拼（圆柱、圆锥） 【例11-1】把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块（如图），表面积增加了240平方厘米。整个圆柱形木块的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．376.8 C．628 D．942 【答案】D 【分析】将圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块，表面积增加的是两个长方形切面的面积，其中长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面直径，长方形面积＝长×宽，则长＝长方形面积÷宽。又知表面积增加了240平方厘米，则每个长方形的面积＝240÷2＝120平方厘米，又知：圆柱的底面直径是10厘米，则圆柱的高为：120÷10＝12厘米。再根据圆柱形木块的体积＝，代入数据计算即可。 【详解】圆柱的半径：10÷2＝5（厘米） 圆柱的高：240÷2÷10＝120÷10＝12（厘米） 圆柱的体积： （立方厘米） 故答案为：D 【例11-2】如图，将底面半径是6厘米，高8厘米的圆锥，沿底面直径切成大小完全相同的两块后，表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【答案】96 【分析】根据题意，圆锥沿底面直径切成大小完全相同的两块后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】直径：6×2＝12（厘米） 增加的面积：12×8÷2×2＝96（平方厘米） 表面积之和比原来增加96平方厘米。 【练11-1】一根圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积增加了312cm2，这根木料的横截面面积是（    ）。 A．52 B．78 C．104 D．156 【答案】B 【分析】根据题意可知，圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积增加了312cm2，增加了4个横截面的面积，用增加的面积÷4，即可求出横截面的面积，据此解答。 【详解】312÷4＝78（cm2） 一根圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积增加了312cm2，这根木料的横截面面积是78cm2。 故答案为：B 【练11-2】将一棱长为3dm的正方体木块削成一个最大的圆锥，此圆锥的体积是（    ）。 A．7.065dm3 B．21.195dm3 C．25.12dm3 【答案】A 【分析】把一个正方体削成最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，则题中的最大圆锥的底面直径和高都是3dm。根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据计算即可解答。 【详解】3.14×（3÷2）2×3× ＝3.14×1.52×3× ＝3.14×2.25 ＝7.065（dm3） 则此圆锥的体积是7.065dm3。 故答案为：A 题型12：组合体的体积 【例12】计算下面图形的体积。（单位：分米） 【答案】87.92立方分米 【分析】由图可知，这个组合体由圆柱和圆锥两部分组成，它们的底面都是以4分米为直径的圆，圆柱的高是5分米，圆锥的高是6分米，“”“”把数据代入公式求出这个组合体的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝28×3.14 ＝87.92（立方分米） 所以，该图形的体积是87.92立方分米。 【练12】计算下面图形的体积。（单位：dm） （1）     （2） 【答案】（1）3416.32dm3 （2）219.8dm3 【分析】（1）体积＝底面直径是16dm，高是15dm的圆柱的体积＋底面直径是16dm，高是6dm圆锥的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答； （2）体积＝底面直径是6dm，高是14dm的圆柱的体积－底面直径是4dm，高是14dm的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】（1）3.14×（16÷2）2×15＋3.14×（16÷2）2×6× ＝3.14×82×15＋3.14×82×6× ＝3.14×64×15＋3.14×64×6× ＝200.96×15＋200.96×6× ＝3014.4＋1205.76× ＝3014.4＋401.92 ＝3416.32（dm3） 体积是3416.32dm3。 （2）3.14×（6÷2）2×14－3.14×（4÷2）2×14 ＝3.14×32×14－3.14×22×14 ＝3.14×9×14－3.14×4×14 ＝28.26×14－12.56×14 ＝395.64－175.84 ＝219.8（dm3） 体积是219.8dm3。 1．一个圆锥的底面半径是2dm，高是6dm，它的体积是( )。 【答案】25.12 【分析】根据题意，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。 【详解】 ＝2×3.14×4 ＝25.12（） 所以它的体积是25.12。 2．一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少( )%（百分号前面保留一位小数），把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 66.7 200 【分析】当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，先求出圆柱的体积，圆锥的体积比圆柱的体积少的百分率＝（圆柱的体积－圆锥的体积）÷圆柱的体积×100%，把圆锥形铁块熔成一个正方体，铁块的形状发生变化，但是铁块的体积不变，据此解答。 【详解】圆柱的体积：200×3＝600（立方厘米） （600－200）÷600×100% ＝400÷600×100% ≈0.667×100% ＝66.7% 所以，一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少66.7%，把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是200立方厘米。 3．一个圆柱形木块的底面直径是6cm，高是5cm，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )cm。 【答案】94.2 【分析】把圆柱削成最大的圆锥，说明圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱体积的，削去部分的体积是圆柱的，用直径除以2得到半径，再根据圆柱的体积公式，代入数据计算圆柱的体积再乘，即可得解。 【详解】 （cm3） 一个圆柱形木块的底面直径是6cm，高是5cm，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是94.2cm。 4．一台压路机的滚筒宽2米，直径为1.5米．如果它滚动100周，压路的面积是 平方米？ 【答案】942 【分析】用底面周长乘滚筒的宽求出滚筒的侧面积，用侧面积乘100即可求出压路的总面积. 【详解】3.14×1.5×2×100 =3.14×300 =942(平方米) 故答案为942 5．一个底面半径为2cm，高为4cm的圆柱，侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【答案】 50.24cm² 62.8cm² 50.24cm³ 【解析】略 6．一根圆木的底面周长是12.56dm，高是10dm，把它横截成三个大小不等的小圆柱，其表面积增加了( )dm2。 【答案】50.24 【解析】底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米）横切2次，增加了4个底面圆的面积：4×3.14×=50.24dm2 7．把一张边长为5.5厘米的正方形白纸，围成一个圆柱形纸筒，这个纸筒的侧面积是( )平方厘米。 【答案】30.25 【解析】5.5×5.5=30.25(平方厘米） 8．圆锥体的底面积和高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的（   ）倍。 A．4 B．8 C．16 【答案】A 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，当圆锥的底面积和高都扩大到原来的a倍，则体积扩大到原来的a2倍，据此列式解答。 【详解】圆锥的底面积和高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的：2×2＝4倍。 故答案为：A 9．与圆锥体积相等的是（    ）。（单位：厘米） A．A B．B C．C 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出圆锥的体积和圆柱的体积，进而解答。 【详解】圆锥体积： 3.14×（9÷2）2×12× ＝3.14×4.52×12× ＝3.14×20.25×12× ＝63.585×12× ＝763.02× ＝254.34（立方厘米） A的体积： 3.14×（9÷2）2×12 ＝3.14×4.52×12 ＝3.14×20.25×12 ＝63.585×12 ＝763.02（立方厘米） B的体积： 3.14×（3÷2）2×12 ＝3.14×1.52×12 ＝3.14×2.25×12 ＝7.065×12 ＝84.78（立方厘米） C的体积： 3.14×（9÷2）2×4 ＝3.14×4.52×4 ＝3.14×20.25×4 ＝63.585×4 ＝254.34（立方厘米） 与圆锥体积相等的是C。 故答案为：C 10．把一个底面半径是5cm、高8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体（如图），圆柱的表面积比长方体的表面积，（    ）cm2。 A．多40 B．多80 C．少40 D．少80 【答案】D 【分析】看图可知，圆柱的底面积和近似长方体的底面积相等，圆柱的侧面积和近似长方体的前面、后面的面积和相等，近似长方体的表面积比圆柱表面积多了左、右两面的面积。近似长方体的宽是圆柱的底面半径，高和圆柱的高相等。用“宽×高”求出左面的面积，再乘2，即可求出长方体表面积比圆柱的表面积多多少。 【详解】5×8×2＝80（cm2） 所以，长方体的表面积比圆柱的表面积多80cm2，即圆柱的表面积比长方体的表面积少80cm2。 故答案为：D 11．如图所示，把一个底面积是24dm2，高是8dm的圆柱，削成两个完全一样的圆锥，并且每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的一半。削去部分的体积是（    ）。 A．32dm3 B．64dm3 C．96dm3 D．128dm3 【答案】D 【分析】已知圆柱的底面积是24dm2，高是8dm，根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出圆柱的体积； 把圆柱削成两个完全一样的圆锥，并且每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的一半，所以两个这样的圆锥可以组合成一个与圆柱等底等高的圆锥； 当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的；把圆柱的体积看作单位“1”，两个圆锥的体积之和是圆柱体积的，则削去部分的体积是圆柱体积的（1－）；单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），求出削去部分的体积。 【详解】圆柱的体积：24×8＝192（dm3） 削去部分的体积： 192×（1－） ＝192× ＝128（dm3） 削去部分的体积是128dm3。 故答案为：D 12．有三个木块，①号是正方体，②号是圆柱，③号是圆锥，它们的底面积相等，高也相等。关于它们的体积，下面说法正确的是（    ）。 A．②号＞①号 B．③号＝①号× C．②号＝③号 D．无法比较 【答案】B 【分析】正方体体积＝底面积×高，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。因为三个木块底面积相等，高也相等，所以可以根据公式来比较它们的体积关系。 【详解】正方体体积＝底面积×高，圆柱体积＝底面积×高，因为它们的底面积相等，高也相等，所以正方体体积＝圆柱体积；因为圆柱与圆锥的底面积和高都相等，所以圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的。根据正方体体积＝圆柱体积，由此可得正方体体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是正方体体积的。 A．因为正方体体积＝圆柱体积，所以②号＝①号，因此A选项错误； B．因为圆锥体积是正方体体积的，所以③号＝①号×，因此B选项正确； C．因为圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的，所以②号≠③号，因此C选项错误； D．由前面分析可知，可以进行比较的，因此D选项错误。 故答案为：B 13．计算下面圆柱的表面积。 【答案】635.85平方厘米 【分析】已知圆柱的底面周长C＝28.26厘米，根据底面周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），可得r＝C÷（2π）。代入数据计算得半径为28.26÷（2×3.14）＝28.26÷6.28＝4.5厘米。圆柱表面积公式为S＝2πr2＋2πrh（其中S是表面积，r是底面半径，h是高），已知圆柱的半径为4.5厘米，高为18厘米，π取3.14，把数据代入公式计算即可解答。 【详解】28.26÷（2×3.14） ＝28.26÷6.28 ＝4.5（厘米） 2×3.14×4.52＋2×3.14×4.5×18 ＝2×3.14×20.25＋2×3.14×4.5×18 ＝127.17＋508.68 ＝635.85（平方厘米） 该圆柱的表面积是635.85平方厘米。 14．为了防止玻璃杯烫手，通常会在杯身外侧增加一圈硅胶。如图，李老师的玻璃杯底面直径6厘米，高16厘米，隔热硅胶宽7厘米。 （1）隔热硅胶的面积是多少？ （2）这个玻璃杯最多能装多少毫升水？（玻璃杯厚度忽略不计） 【答案】（1）131.88平方厘米（2）452.16毫升 【分析】（1）求隔热硅胶的面积，实际就是求底面直径是6厘米、高是7厘米的圆柱的侧面积，通过圆柱侧面积公式计算即可。 （2）求玻璃杯最多能装多少水，即求圆柱形玻璃杯的容积，因为玻璃杯厚度忽略不计，所以可通过圆柱体积公式来计算。 【详解】（1） （平方厘米） 答：隔热硅胶的面积是131.88平方厘米。 （2） （立方厘米） 452.16立方厘米＝452.16毫升 答：这个玻璃杯最多能装452.16毫升。 15．煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是50.24平方米，高是2.1米。现准备用一辆车厢容积为6立方米的车来运，至少需要运多少次才能运完？ 【答案】6次 【分析】根据圆锥的体积＝×底面积×高，代入数值计算出这堆煤的总体积；用这堆煤的总体积除以每次可以运的量，所得结果用“进一法”保留整数。 【详解】 （次） 答：至少需要6次才能运完。 16．一个稻谷囤上面是圆锥形的，下面是圆柱形的（如图所示），圆柱形部分的底面周长是9.42米，高是2米；圆锥形部分的高是1米。如果每立方米的稻谷重550千克，那么这个稻谷囤装满稻谷后，囤里的稻谷重多少千克？（稻谷囤厚度忽略不计） 【答案】9066.75千克 【分析】分析题目，这个稻谷囤是由一个圆柱和一个圆锥组成的，先根据r＝C÷π÷2求出圆柱和圆锥的底面半径，再根据圆柱的体积＝πr2h和圆锥的体积＝πr2h代入数据列式求出稻谷囤的体积；最后用稻谷囤的体积乘550即可求出稻谷的重量。 【详解】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（米）   3.14×1.52×2＋3.14×1.52×1× ＝3.14×2.25×2＋3.14×2.25×1× ＝7.065×2＋7.065×1× ＝14.13＋2.355 ＝16.485（立方米） 16.485×550＝9066.75（千克） 答：这个稻谷囤装满稻谷后，囤里的稻谷重9066.75千克。 17．工地上有一堆近似圆锥体的河沙，底面积约是108平方米，高是4.5米。把这堆河沙均匀地铺在一条2米宽的乡村小路上，如果按5厘米厚来铺，可以铺多少米长？ 【答案】1620米 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，先求出这堆河沙的体积，铺在小路上的形状是长方体，厚相当于长方体的高，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，即可求出铺的长度。注意统一单位。 【详解】5厘米＝0.05米 108×4.5÷3÷2÷0.05 ＝162÷2÷0.05 ＝1620（米） 答：可以铺1620米长。 18．小强先在一个圆柱形玻璃容器中倒入一些水，如图一所示；再将一个底面半径4厘米圆锥形铁块浸入水中，如图二所示。 （1）圆柱形容器中的水有多少毫升？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）942毫升 （2）9.375厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可； （2）由题意可知，圆锥的体积等于上升的水的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即h＝3V÷πr2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×52×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） ＝942（毫升） 答：圆柱形容器中的水有942毫升。 （2）3.14×（10÷2）2×（14－12） ＝3.14×52×2 ＝78.5×2 ＝157（立方厘米） 157×3÷（3.14×42） ＝471÷50.24 ＝9.375（厘米） 答：圆锥形铁块的高是9.375厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥 单元知识清单讲义 知识点一：圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高。 圆柱的特征：圆柱的上下底面是两个圆，它们是完全相同的；圆柱的侧面是曲面；圆柱的高有无数条，所有高的长度都相等。 沿高剪开：圆柱的侧面展开后是长方形（当圆柱底面周长=高时，展开后是正方形） 知识点二：圆柱的侧面积 把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形（或正方形），长方形 的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。所以，圆柱的侧面积=底面周长×高=直径×π×高=半径×2×π×高，用字母表示为：S 侧=C h=πd h=2πr h 逆推公式有： 圆柱的高=圆柱的侧面积÷底面周长=圆柱的侧面积÷（π×高）=圆柱的侧面积÷（半径×2×π） 用字母表示为：h=S 侧÷C 圆柱的底面周长=圆柱的侧面积÷高，用字母表示为：C =S 侧÷h 知识点三：圆柱的表面积 圆柱的表面积=圆柱的侧面积＋圆柱的底面积×2，用字母表示为：S表=S 侧+2S底 知识点四：圆柱的体积 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为：V柱=S h=πr2 h 逆推公式有： 圆柱的高=圆柱的体积÷底面积，用字母表示为：h=V柱÷S 圆柱的底面积=圆柱的体积÷高，用字母表示为：h=V柱÷S 知识点五：不规则物体的体积 1. 根据瓶内水的体积和无水部分的体积不变，将不规则图形转化成规则图形。 2.关键是瓶子正放和倒置时空余部分的容积是相等的。 知识点六：圆锥的认识 圆锥的认识：圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高，把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 知识点七：圆锥的体积 1.圆锥的体积＝×底面积×高。 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：V=Sh 2.逆推公式有： 圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积，用字母表示为：h=V锥×3÷S 圆锥的底面积=圆锥的体积×3÷高，用字母表示为：S= V锥×3 ÷h 3.圆柱与圆锥等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆柱体积比圆锥体积大2倍。圆锥体积是圆柱体积的， 圆锥体积比圆柱体积小。 在体积相等高也相等的条件下，圆锥的底面积与圆柱底面积的比是3：1。 在体积相等底面积相等的条件下，圆锥的高与圆柱高的比是3：1。 题型1：圆的的认识、特征及展开 【例1-1】下面哪些是圆柱？在括号里画“√”。 （    ）                  （    ）                （    ）                    （    ） （    ）                 （    ）                 （    ）                        （    ） 【例1-2】一个圆柱侧面沿高剪开后是一个正方形，则这个圆柱的底面直径和高的比是（    ）。 A．1∶π B．1∶2π C．1∶1 D．π∶1 【练1-1】圆柱的上、下两个面叫做( )，它们是两个相同的( )；圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做( )；两个底面之间的距离叫做( )。 【练1-2】已知一块铁皮如图，配上两个（    ）可以做成圆柱。 A．＝4.5m的圆形铁皮 B．d＝4.5m的圆形铁皮 C．r＝9m的圆形铁皮 题型2：圆柱的侧面积 【例2】为了防止病虫害，“护绿天使”们要给校园里的100棵小树粉刷石灰水。如果每棵树的平均直径是0.2米，需粉刷的高度是1.6米，共需石灰水( )千克。（每平方米需要石灰水0.5千克） 【练2】压路机滚筒是一个圆柱体，它的底面直径是2米，轮宽2米，如果转5圈，压出路的面积是( )平方米。 题型3：圆柱的表面积 【例3】计算圆柱的表面积。 【练 3】计算下面图形的表面积。                题型4：组合体的表面积（圆柱） 【例4】计算下面图形的表面积。 【练4】毕业季，美术老师教学生用卡纸自制“博士帽”（帽穗除外）。如图：上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为18厘米，高为20厘米的无盖无底的圆柱。制作1个这样的“博士帽”，至少需要卡纸多少平方厘米？ 题型5：圆柱的体积 【例5】将一个长5cm，宽3cm的长方形，分别以长、宽为轴旋转一周会形成不同的圆柱，旋转形成的圆柱体积最大( )cm3，最小( )cm3。 【练5】把一个底面直径是8cm，高是10cm的圆柱体，切拼成一个近似的长方体（如图），长方体的体积是( )cm3，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了( )cm2。 题型6：圆柱的容积 【例6】一个药瓶，它的瓶身是圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，瓶内有25.2毫升药水，瓶子正放时，瓶内药水液面高7厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，这个瓶子的容积是多少毫升？ 【练6】营养学家建议：儿童每天水的摄入量约为1500毫升。要达到这个要求，明明每天用底面内直径为8厘米、高为10厘米的圆柱形水杯喝水，他喝（    ）杯水较合适。 A．1 B．2 C．3 D．7 题型7：圆锥的认识及特征 【例7】标出下图中各部分的名称。 【练7】如图，一个直角三角形，两条直角边分别是3cm和4cm。以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥。这个圆锥的底面直径是（    ）cm。 A．8 B．6 C．4 D．3 题型8：圆柱与圆锥的体积关系 【例8】两个大小相同的量杯里都盛有200mL的水。如图，将等底等高的圆柱与圆锥分别放入甲、乙两个量杯后，甲的水面刻度为440mL，圆锥的体积是( )cm3。 【练8】一个透明量杯盛有250mL的水，将材质相同等底等高的圆柱形零件与圆锥形零件放入量杯中，此时量杯中水面刻度如图所示，则圆柱形零件的体积是（    ）。 A．450 B．150 C．200 D．50 题型9：圆锥的体积 【例9】计算下面圆锥的体积。 【练9】一个圆锥形铁制零件，底面积是30平方厘米，高10厘米，如果每立方厘米铁重7.8克，这个零件重几克？ 题型10：圆柱、圆锥的等积变换 【例10-1】工地上的工人师傅打算把一个底面直径为2米、高为1.2米的圆锥形沙堆，全填铺到一个长4米、宽3.14米的长方体坑里，可以铺多厚？（取3.14） 【例10-2】把一个底面半径是1厘米，高是6厘米的圆柱形钢材，熔铸成一个圆锥，这个圆锥的底面积是12平方厘米，它的高是多少厘米？ 【练10】一个圆柱形玻璃水杯，从里面量底面直径8厘米，高10厘米里装了一些水，把一个底面直径是4厘米的圆锥形铁块（完全淹没），水面上升了0.5厘米，圆锥的高是多少？ 题型11：立体图形的切拼（圆柱、圆锥） 【例11-1】把底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径竖直切成相同的两块（如图），表面积增加了240平方厘米。整个圆柱形木块的体积是（    ）立方厘米。 A．314 B．376.8 C．628 D．942 【例11-2】如图，将底面半径是6厘米，高8厘米的圆锥，沿底面直径切成大小完全相同的两块后，表面积之和比原来增加( )平方厘米。 【练11-1】一根圆柱形木料截成3段小圆柱后，表面积增加了312cm2，这根木料的横截面面积是（    ）。 A．52 B．78 C．104 D．156 【练11-2】将一棱长为3dm的正方体木块削成一个最大的圆锥，此圆锥的体积是（    ）。 A．7.065dm3 B．21.195dm3 C．25.12dm3 题型12：组合体的体积 【例12】计算下面图形的体积。（单位：分米） 【练12】计算下面图形的体积。（单位：dm） （1）     （2） 1．一个圆锥的底面半径是2dm，高是6dm，它的体积是( )。 2．一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少( )%（百分号前面保留一位小数），把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 3．一个圆柱形木块的底面直径是6cm，高是5cm，把它削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是( )cm。 4．一台压路机的滚筒宽2米，直径为1.5米．如果它滚动100周，压路的面积是 平方米？ 5．一个底面半径为2cm，高为4cm的圆柱，侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 6．一根圆木的底面周长是12.56dm，高是10dm，把它横截成三个大小不等的小圆柱，其表面积增加了( )dm2。 7．把一张边长为5.5厘米的正方形白纸，围成一个圆柱形纸筒，这个纸筒的侧面积是( )平方厘米。 8．圆锥体的底面积和高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的（   ）倍。 A．4 B．8 C．16 9．与圆锥体积相等的是（    ）。（单位：厘米） A．A B．B C．C 10．把一个底面半径是5cm、高8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体（如图），圆柱的表面积比长方体的表面积，（    ）cm2。 A．多40 B．多80 C．少40 D．少80 11．如图所示，把一个底面积是24dm2，高是8dm的圆柱，削成两个完全一样的圆锥，并且每个圆锥的底面积与圆柱的底面积相等，圆锥的高是圆柱高的一半。削去部分的体积是（    ）。 A．32dm3 B．64dm3 C．96dm3 D．128dm3 12．有三个木块，①号是正方体，②号是圆柱，③号是圆锥，它们的底面积相等，高也相等。关于它们的体积，下面说法正确的是（    ）。 A．②号＞①号 B．③号＝①号× C．②号＝③号 D．无法比较 13．计算下面圆柱的表面积。 14．为了防止玻璃杯烫手，通常会在杯身外侧增加一圈硅胶。如图，李老师的玻璃杯底面直径6厘米，高16厘米，隔热硅胶宽7厘米。 （1）隔热硅胶的面积是多少？ （2）这个玻璃杯最多能装多少毫升水？（玻璃杯厚度忽略不计） 15．煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是50.24平方米，高是2.1米。现准备用一辆车厢容积为6立方米的车来运，至少需要运多少次才能运完？ 16．一个稻谷囤上面是圆锥形的，下面是圆柱形的（如图所示），圆柱形部分的底面周长是9.42米，高是2米；圆锥形部分的高是1米。如果每立方米的稻谷重550千克，那么这个稻谷囤装满稻谷后，囤里的稻谷重多少千克？（稻谷囤厚度忽略不计） 17．工地上有一堆近似圆锥体的河沙，底面积约是108平方米，高是4.5米。把这堆河沙均匀地铺在一条2米宽的乡村小路上，如果按5厘米厚来铺，可以铺多少米长？ 18．小强先在一个圆柱形玻璃容器中倒入一些水，如图一所示；再将一个底面半径4厘米圆锥形铁块浸入水中，如图二所示。 （1）圆柱形容器中的水有多少毫升？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $