精品解析：黑龙江省哈尔滨市爱建学校2025-2026学年下学期九年级数学阶段测试题

数学寒假学习反馈 一、单选题 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2016 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、是轴对称图形而不是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、既是轴对称图形也是中心对称图形； 【点睛】要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示一个数的形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．用科学记数法表示时，需要把小数点向左移动位，所以的指数是． 【详解】解：． 故选：D． 4. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．根据从正面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：该几何体的主视图是 故选：C 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程的两边同乘，得 ， 解得， 检验：把代入， 所以原方程的解为：． 故选：D 6. 下列二次函数其图像的顶点坐标为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为进行解答即可． 【详解】解：A、的顶点坐标为，符合题意； B、的顶点坐标为，不符合题意； C、的顶点坐标为，不符合题意； D、的顶点坐标为，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式的顶点坐标为是解本题的关键． 7. 观察下列图形，它们是按一定规律排列的．依照此规律，第个图形中五角星的个数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何图形类找规律，根据题意归纳出规律是解题关键． 根据前三个图可推断出规律为，第个图形有个五角星． 【详解】解：第1个图形中五角星个数为1，第2个图形中五角星个数为，第3个图形中五角星个数为，…… ∴第个图形中五角星个数为， ∴第个图形中五角星的个数为个． 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则AE的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝2，AB＝5，AC＝10， ∴， ∴AE＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是解题的关键． 9. 如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据作图痕迹得到平分，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，再利用勾股定理求得，再根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹得到平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查基本作图作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到平分且垂直平分是解答的关键． 10. 如图，平面直角坐标系中等腰的斜边在x轴上，且．将直线从y轴出发向右平移，在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的应用．过点A作轴于点D，设直线交x轴于点E，则，分两种情况，当直线在点A的左侧时，当直线在点A的右侧时，结合等腰直角三角形的性质列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，设直线交x轴于点E，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， 当直线在点A的左侧时，如图，设直线交于点G，则是等腰直角三角形，此时， ∴， ∴； 当直线在点A右侧时，如图，设直线交于点F，则是等腰直角三角形，此时， ∴， ∴； 综上所述，当时，图象应为开口向上的二次函数图象；当时，图象应为开口向下的二次函数图象． 故选：B 二、填空题 11. 在函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． ∴自变量的取值范围是． 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 13. 不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 14. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，熟练掌握求不等式组的解集的基本步骤是解题的关键． 解出不等式①和②，取解集的公共部分即可求解． 【详解】解∶， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为， 故答案为∶. 15. 已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：扇形的弧长是． ∴ 故答案是：． 16. 已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得反比例函数关系式，求得时，，再利用反比例函数的增减性质，可求得答案． 【详解】解：设，代入， ， ， ， I随的增大而减小， 当时，， 其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 17. 定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 18. 如图，为的内接三角形，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】如图，设与交于点，连接，． 为的切线， ． ． ． ， ． 四边形为的内接四边形， ． ． 故答案为：． 19. 矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分点在上和上两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时， ∵， ∴ 如图所示，当点在上时， ∵， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键． 20. 如图，矩形，，顶点在轴上，顶点在轴上，当与反比例函数相交于点、时，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，则有①；②三角形的面积与四边形面积相等；③当时，直线的解析式为；④当时，的最大值是；其中结论正确的序号是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和，记与交于点，连接，证得，得到，推出，得到，证得四边形和四边形都是平行四边形，即可说明①正确；②由反比例函数的几何意义即可说明②正确；③过点作轴的垂线，垂足为点，记与交于点，根据对称性得到，，设点的坐标为，利用勾股定理求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可说明③正确；④利用动静互换，得到点在以为直径的上，则当点、、共线时，取得最大值，据此计算即可得到④错误． 【详解】解：过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和，记与交于点，连接， ∴轴，轴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴，①正确； 由题意得， ∴，②正确； 过点作轴的垂线，垂足为点，记与交于点， ∵双曲线是轴对称图形，等边三角形也是轴对称图形，且对称轴都是， ∴，， 设点的坐标为且，则点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴，整理得， ∴，，即，， 解得，， 即点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，③正确； ∵矩形，， ∴矩形大小不变，利用动静互换，即点为定点，点为动点， ∵， ∴点在以为直径的上， ∴当点、、共线时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最大值是，④错误； 综上，正确的是①②③． 三、解答题 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角函数． 先计算括号里的，将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，根据三角函数求出x的值，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为6，且一个角的正切值为； （2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段的长为______． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）在方格纸中作，使其正切值为，由三角形的面积，确定点和点的位置即可； （2）由矩形的性质，可得点，结合等腰三角形的判定和性质，可得，根据勾股定理，结合三角形的面积公式，可得线段的长． 【小问1详解】 解：如图，的面积为6，的正切值为． ， ； 【小问2详解】 解：如图，是以为底边的等腰三角形，为边上的高． ∵，， ∴是以为底边的等腰三角形， 由矩形的性质可得为的中点， ∴， ∴是边上的高， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 某中学开展了以“我最喜欢的家乡景点”为主题的调查活动，围绕“在太阳岛、防洪纪念塔、中央大街、索菲亚教堂四个景点中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢太阳岛的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有1800名学生，请你估计该中学最喜欢中央大街的学生共有多少名． 【答案】（1）在这次调查中，一共抽取了80名学生 （2）补全图形见解析 （3）估计该中学最喜欢中央大街的学生共有630名 【解析】 【分析】（1）利用最喜欢太阳岛的学生人数除以其所占的百分比求解即可； （2）利用总人数减去最喜欢其他景点人数求解即可； （3）利用总人数乘以最喜欢中央大街的人数在调查人数中所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 答：在这次调查中，一共抽取了80名学生． 【小问2详解】 解：（名） 补全条形图如下； 【小问3详解】 解：（名） 答：估计该中学最喜欢中央大街的学生共有630名． 【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，理解题意，正确从统计图中获取有用信息是解答的关键． 24. 定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线． （1）如图1，在四边形中，，为的中点，平分．求证：四边形是对等四边形． （2）如图2，在的方格纸中，在格点上，当格点使四边形是对等四边形，且是对等线时，请写出满足条件的对等四边形的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2）或 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质及等面积法列等式即可得证； （2）根据题意及对等四边形分情况作出满足条件的图形，在网格中求四边形面积即可． 【小问1详解】 证明：过点作、，如图所示： 平分， ， 为的中点， 是边上的中线， 则， ， ， 即， ， ， 是四边形的一组对边、是四边形的一条对角线， 四边形是对等四边形； 【小问2详解】 解：分两种情况： ①作的垂直平分线，与方格纸上的格点的交点为点，再以点为圆心、以长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点，连接，则，如图2﹣1所示： 则，， ，即是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， 对等四边形的面积为； 对等四边形的面积为； ②以点为圆心、以长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点，再以点为圆心、以长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点，连接，则，如图2﹣2所示： 对等四边形的面积为； 对等四边形的面积为； 对等四边形的面积为； 综上所述，满足条件的对等四边形的面积为或． 【点睛】由角平分线的性质作出辅助线，运用等面积法求证关键；第二问中由对等四边形定义，结合等腰三角形的作法作出图形是难点． 25. 春季为预防流行性感冒，松南学校七年级积极进行校园环境消毒，若用80元购进甲种消毒液4瓶，乙种消毒液2瓶；也可用50元购进甲种消毒液3瓶，乙种消毒液1瓶． （1）求甲、乙两种消毒液每瓶各多少元？ （2）若学校此次购买这两种消毒液，乙种消毒液的瓶数比甲种瓶数的2倍还多1瓶，且所需费用不超过170元，求甲种消毒液最多能购买多少瓶？ 【答案】（1）甲种消毒液每瓶10元，乙种消毒液每瓶20元． （2）甲种消毒液最多能再购买3瓶 【解析】 【分析】考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式． （1）设甲种消毒液每瓶x元，乙种消毒液每瓶y元，根据用80元购进甲种消毒液4瓶，乙种消毒液2瓶；也可用50元购进甲种消毒液3瓶，乙种消毒液1瓶，列出方程组求解即可； （2）设甲种消毒液能购买z瓶，则乙种消毒液能购买瓶，根据“甲消毒液总价钱加上乙消毒液总价钱”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种消毒液每瓶x元，乙种消毒液每瓶y元， 依题意得，解得． 答：甲种消毒液每瓶10元，乙种消毒液每瓶20元． 【小问2详解】 解：设甲种消毒液能购买z瓶，则乙种消毒液能购买瓶． 依题意得：， 解得：． 答：甲种消毒液最多能购买3瓶． 26. 在圆O中，直径交弦于E，连接和，点B是弧的中点． （1）如图1，和的数量关系是：______； （2）如图2，在（1）的条件下，点H在弧上，连接并延长，交圆O于点G，连接，交于点F，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，则线段的长为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点B是弧的中点及是直径，可得，再根据圆周角与弧的关系，即可得到结论； （2）连接，过点E作于点M，于点N，先证明及四边形是正方形，，即可进一步求得结果； （3）连接，，，，设的半径为r，，先根据勾股定理得到，可列出第一个方程，再证明，求出，可列出第二个方程，再联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：是弧的中点， ， 是直径， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，过点E作于点M，于点N， ， 是直径， ， 四边形是矩形， ， 是弧的中点， ， ， ， ， 又， ， ， ， 矩形是正方形， ， ； 【小问3详解】 解：连接，，，， 设的半径为r，，则， ， 由（2）知，， ， ， ， 化简得， ，， ， ， ， 直径， ， ， ， ， ， 化简得， 解方程组， 得或(不合题意,舍去)， ，， ， ． . 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的解析式______； （2）在（1）的条件下，点D是第四象限内抛物线上一点，连接交y轴于点E，过C作轴交抛物线于点F，连接，设四边形的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数解析式； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象与坐标轴的交点，求点E的坐标是关键． （1）设，得抛物线的解析式为，再比较系数求解即可； （2）过点D作轴于点T，先求出直线的解析式，得到，再根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， 抛物线的解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：过点D作轴于点T， 由（1）得，，，， 抛物线的对称轴为， ， 点D的横坐标为t， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学寒假学习反馈 一、单选题 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2016 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次函数其图像的顶点坐标为的是（ ）． A. B. C. D. 7. 观察下列图形，它们是按一定规律排列的．依照此规律，第个图形中五角星的个数为（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，AB＝5，AC＝10，则AE的长为（　　） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 如图，平面直角坐标系中等腰的斜边在x轴上，且．将直线从y轴出发向右平移，在该直线左侧的阴影部分的面积记为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 在函数中，自变量取值范围是_________． 12. 因式分解：______． 13. 不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为______． 14. 不等式组的解集为______． 15. 已知扇形的半径为，扇形的弧长为，则此扇形的圆心角是______． 16. 已知某蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则用电器可变电阻的电阻R的取值范围是___________． 17. 定义一种新运算：．例如：，则的结果是______． 18. 如图，为的内接三角形，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为__________ 19. 矩形对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则_________． 20. 如图，矩形，，顶点在轴上，顶点在轴上，当与反比例函数相交于点、时，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，则有①；②三角形的面积与四边形面积相等；③当时，直线的解析式为；④当时，的最大值是；其中结论正确的序号是______．（填序号） 三、解答题 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，，都是格点，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出以为一边的（点为格点），使其面积为6，且一个角的正切值为； （2）在图2中，画出以为底边的等腰（点为格点），且，再作出边上的高（保留作图痕迹，体现作图过程）．此时，线段的长为______． 23. 某中学开展了以“我最喜欢的家乡景点”为主题的调查活动，围绕“在太阳岛、防洪纪念塔、中央大街、索菲亚教堂四个景点中，你最喜欢哪一个？（必选且只选一个）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢太阳岛的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该中学共有1800名学生，请你估计该中学最喜欢中央大街的学生共有多少名． 24. 定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线． （1）如图1，在四边形中，，为的中点，平分．求证：四边形是对等四边形． （2）如图2，在的方格纸中，在格点上，当格点使四边形是对等四边形，且是对等线时，请写出满足条件的对等四边形的面积． 25. 春季为预防流行性感冒，松南学校七年级积极进行校园环境消毒，若用80元购进甲种消毒液4瓶，乙种消毒液2瓶；也可用50元购进甲种消毒液3瓶，乙种消毒液1瓶． （1）求甲、乙两种消毒液每瓶各多少元？ （2）若学校此次购买这两种消毒液，乙种消毒液的瓶数比甲种瓶数的2倍还多1瓶，且所需费用不超过170元，求甲种消毒液最多能购买多少瓶？ 26. 在圆O中，直径交弦于E，连接和，点B是弧的中点． （1）如图1，和的数量关系是：______； （2）如图2，在（1）的条件下，点H在弧上，连接并延长，交圆O于点G，连接，交于点F，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，，则线段的长为______． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，． （1）直接写出抛物线解析式______； （2）在（1）的条件下，点D是第四象限内抛物线上一点，连接交y轴于点E，过C作轴交抛物线于点F，连接，设四边形的面积为S，点D的横坐标为t，求S与t的函数解析式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $