精品解析：江西省上犹中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题

2025-2026学年高二下学期开学检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知直线经过点，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线的斜率为1 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量为 D. 直线在y轴上的截距为2 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式求得斜率，得到直线方程，再结合倾斜角、方向向量和截距的概念逐项判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为 由斜率公式得，故A错误； ，故B错误； 由斜率可得方向向量为，是直线方向向量，所以C正确． 直线方程为：，令得，即直线在轴上截距为，D错误. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线的一般形式化为标准形式，即可确定焦点坐标. 【详解】抛物线整理为标准形式，故焦点在轴上， 又的焦点坐标为， 由得，，所以此抛物线的焦点坐标为. 故选：A. 3. 如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加法和减法运算化简即可. 【详解】因为为中点，所以， 因为为中点，所以， 则. 故选：D 4. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ） A. 60 B. 108 C. 132 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可. 【详解】先排3个奇数，有种排法， 排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法， 但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有. 故选：B 5. 点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的长度和圆的方程可得点P的轨迹，再分析与圆的位置关系进而即得. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由P是弦AB的中点，且，则， 所以， 故点P在以为圆心，以为半径的圆上． 又在圆上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得，即， 解得或． 则实数m的取值范围为． 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 6. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对二项式展开式中的赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特定系数和，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 【答案】0.28 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可 【详解】由题可得：; 故答案为： 8. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：， 线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过过三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得. 故答案为：． 9. 诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算6人前往3个景点（每个景点至少有1人）的总情况数，再结合丙固定去阳明湖、甲乙不同景点的条件分类计算满足要求的情况数，最终得出概率. 【详解】一方面，6人前往3个景点，每个景点至少有1人，可分为三类： ①各景点人数分别为1，2，3：先将6人分为三组（1人，2人，3人），再分配到3个景点，方法数为种； ②各景点人数均为2：先将6人平均分为三组（2人，2人，2人），再分配到3个景点，方法数为种； ③各景点人数分别为1，1，4：先将6人分为三组（1人，1人，4人），再分配到3个景点，方法数为种；所以共有种方法． 另一方面：要满足每个景点至少有1人，甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹可分为三类：①甲乙去了上犹和崇义各一人，这里种情况； 再对除甲乙丙外的3人使用间接法：除甲乙丙外的3人先不作要求任其随意选择，有种，再减去不合题意的，即大余没有人前往的情况，有种， 由分步乘法原理，得第①情形共有种； ②甲乙去了上犹和大余各一人，这种情形与①相同，也是38种： ③甲乙去了崇义和大余各一人，这里种情况； 由于此时每个景点都至少有一人了，所以除甲乙丙外的3人可以随意安排景点，有种，由分步乘法原理，可得第③情形有种； 最后由分类加法原理，可得三种情形共有种： 综上，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖"旅游的概率为， 故答案为： 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10. 在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切 （1）求圆O的方程； （2）若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据圆与直线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即可求得半径，可得答案； （2）判断切线斜率存在，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径可求得切线斜率，即得答案. 【小问1详解】 由题意知以原点O为圆心的圆与直线相切， 故圆的半径为， 故圆的方程为. 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，为与圆不相切； 故过点作圆O的切线，斜率一定存在，设方程为， 即，则，解得或， 故切线方程为或． 11. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】 Ⅰ∵四边形ABCD是菱形， ∴O为中点 又， ∴， 又， ∴底面 ⅡⅢ. 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ) 由题意可得，从而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角．Ⅲ根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M满足条件，并设且，求得点点M坐标后，根据与平面BDF的法向量垂直可得，从而得到符合题意的点M存在． 试题解析： Ⅰ略 Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知． 建立如图所示的空间直角坐标系． 由是边长为2的等边三角形，，可得． 所以 ∴． 由已知可得， 设平面BDF的法向量为， 由，可得， 令，则． 设直线CP与平面BDF所成的角为， 则， 又， ∴． ∴直线CP与平面BDF所成角的大小为． Ⅲ解：假设存在点M满足条件，且， 则. 若使平面BDF，需且仅需且平面BDF， 由，解得符合题意． ∴在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期开学检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知直线经过点，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线的斜率为1 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量为 D. 直线在y轴上的截距为2 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知三棱锥，为中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ） A. 60 B. 108 C. 132 D. 144 5. 点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 6. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 C. 奇数项的系数和为 D. 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 8. 已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与轴相切，则的离心率为______． 9. 诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱．现有甲、乙、丙等6人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为________． 四、解答题.本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10. 在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线相切 （1）求圆O的方程； （2）若已知点，过点P作圆O的切线，求切线的方程． 11. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $