20.4 一次函数的应用（第2课时）（教学课件）数学新教材冀教版八年级下册

20.4 一次函数的应用 （第2课时） 第二十章一次函数 【新教材】冀教版·八年级下册 章节导读 20.1常量与变量 20.2 一次函数图像和性质 20.3用待定系数法确定一次函数表达式 20.4一次函数的应用 正比例函数 一次函数 一次函数的图像 待定系数法求解析式 一次函数表示数量关系 结合图像解决问题 一次函数的性质 建立模型解双函数应用 20.5一次函数与二元一次方程的关系 一次函数与二元一次方程的关系 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数图像中关键点、斜率、截距的实际意义，并能运用待定系数法求出函数解析式 能够利用一次函数的图像或解析式，解决生活中的求值、比较和方案选择等实际问题 体会 “数形结合” 的数学思想，感受数学与生活的紧密联系，增强应用数学的意识 知识回顾 建立一次函数实际模型的步骤 1.审清题意，识别变量： 找出问题中涉及的 和 。 2.分析关系，设出模型： 分析变量关系，设出一次函数的一般形式： 。 3.寻找条件，确定参数： 从题目中找出能够确定 k 和 b 的 。 将这两组对应值代入所设的函数关系式 中，得到一个关于 k 和 b 的 。求出 k 和 b 的具体值。 4.写出解析式，确定定义域： 得到 ，根据实际问题的意义，确定 ，确保其符合实际情况。 5.应用模型，解决问题： 利用建立好的一次函数解析式，根据题目要求进行计算或分析，解决实际问题。 检验结果是否符合实际意义。 变量 常量 两组对应值 二元一次方程组 具体的一次函数解析式 自变量 x 的取值范围 情景导入 问题探究一：行李托运费用 某航班托运行李的费用y(元)与托运行李的质量x(kg)之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)依据(1)中求得的函数关系式,确定该航班可以免费携带行李的质量最多是多少千克 图像中可以看出，函数图像是一条不经过原点的直线，所以是一次函数，且过点(40,400),(50,600) 解：(1)设 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： (2)根据题意，把代入到中，得： 解得： 答：该航班可以免费携带行李的质量最多是20kg 新知探究 利用一次函数解决实际问题 利用函数方法解决实际问题， 关键是分析题中的等量关系，联系实际生活及以前学过的内容， 将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模， 再利用一次函数的性质解决问题. 一次函数的应用主要有两种类型： (1)给出了一次函数表达式，直接应用一次函数的性质解决问题； (2)只用语言叙述或用表格、图像提供一次函数的情境式，进而利用一次函数的性质解决问题． 典例分析 例1 一森林警察驾驶警车沿森林公路巡逻,在公路旁的某加油站加满油后,以40km/h的速度匀速行驶.已知警车加满油后,油箱中的余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的函数关系图象是如图所示的直线l的一部分. (1)求直线l的函数表达式. 图像中可以看出，函数图像是一条不经过原点的直线，所以是一次函数，且过点(1,56),(4,44) 解：(1)设直线l的函数表达式为 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： 典例分析 例1 (2)警车加满油时,油箱中的油量是多少升? (3)已知警车往返的耗油量相同.若要求警车按原路返回加油站时油箱中的余油量不少于10L,则其巡逻的最远路程是多少千米? 解：(2)在函数中,因为时,,所以警车加满油时,油箱中的油量是60L 实际问题中，加满油是初始状态，即时，求y的值 (3)若警车返回加油站时油箱中的余油量为10L,则警车往返的耗油量为50L, 单程行驶的耗油量为(L). 警车行驶至最远时,油箱中的余油量为. 将代入,得 解得： 而. 所以,警车巡逻的最远路程是. 通过 “剩余油量限制” → 推导出 “总耗油量上限” → 推导出 “单程耗油量上限” → 推导出 “最远点剩余油量” → 代入函数求出 “行驶时间” → 最终求出 “最远距离” 新知探究 大家谈谈 1.例1中的函数图象与x 轴是否相交? 说说理由. 解：从函数表达式分析： 例 1 中的函数表达式为 。 当函数图象与 x 轴相交时，交点的纵坐标 。 令，则有方程： 解这个方程可得：。 这说明当时，，函数图象经过点 ，该点在x轴上。因此，函数图象与x轴相交。 从实际意义分析： 函数表示油箱中的余油量 y (L) 与行驶时间 x (h) 的关系。 图象与 x 轴相交意味着余油量，即油箱中的油被耗尽。从实际情况来看，警车的油量总会随着行驶时间的增加而耗尽，因此图象必然会与x轴相交。 新知探究 大家谈谈 2.设一次函数的图象与x轴、y轴的交点依次为 .请用表示这两点的坐标,并指出这两点的坐标具有什么特点. 解：与 x 轴的交点 P 的纵坐标为 。 将 代入一次函数 中，得到： 解关于 的方程： → 。 因此，交点 P 的坐标为 。 与 y 轴的交点 Q 的横坐标为 。 将 代入一次函数 中，得到： → 。 因此，交点 Q 的坐标为 Q(0, b)。 两点坐标的特点： 交点 P(与 x 轴的交点)的纵坐标恒为 0，横坐标为 。 交点 Q(与 y 轴的交点)的横坐标恒为 0，纵坐标为 b（即一次函数的截距）。 新知探究 一次函数图像各元素的实际意义 1.坐标轴 (x 轴，y 轴)： x 轴 (横轴)：通常表示自变量，如时间、数量、里程、工作时间等。 y 轴 (纵轴)：通常表示因变量，如距离、费用、产量、工作量等。 关键点：明确坐标轴上的单位和刻度。 2.图像上的点： 图像上的任意一个点 都对应着实际问题中一对变量的具体数值。 3.图像的斜率 (k)： 一次函数 的图像是一条直线，其斜率 k 表示因变量 y 随自变量 x 变化的速率。 实际意义：在行程问题中，k 表示速度。在费用问题中，k 表示单价或单位时间费用。在工程问题中，k 表示工作效率。 图像的截距 (b)： 截距 b 是图像与 y 轴交点的纵坐标，即当 时的 y 值。 实际意义：通常表示初始状态或固定值。 即学即练 方法技巧 1.核心方法是待定系数法 关键：从图像中准确找到两个已知点的坐标 2.根据实际问题的意义来确定 x 的取值范围，确保其符合现实逻辑 3.解题过程要始终将图像的直观信息与函数的代数表达式结合起来，做到 “看图识关系，用式解问题” 1.某海岸线上有 A,B两个港口,一艘轮船从 A港口出发,沿海岸线匀速前往B港口.设该轮船行驶的时间为x(h),距B港口的路程为y(km). y与x 之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. (2)求轮船行驶1.5h时与B港口之间的路程. 解：(1)函数表达式为 将，代入，得 ， 解得 函数关系式为： (2)根据题意，把代入到中，得： 解得： 答：轮船行驶1.5h时与B港口之间的路程为100km 即学即练 2.某市出租车的计费方法如图所示,x(km)表示出租车行驶的里程, y(元)表示打车的费用. (1)若某乘客的乘车里程为2.5km,则他需付的打车费是多少元? (2)当时,求y与x 之间的函数关系式. (3)若某乘客一次打车付费36元,求这位乘客的乘车里程. 解：(1)从图像中可以看出，当行驶里程km时，打车费用y是一个固定值，为8元。 因为乘客的乘车里程 ，所以他需付的打车费是8元。 (2)从图像中可以看出，当行驶里程km时，y与x之间的函数关系为一次函数， 过点(3,8),(5,12) 设函数表达式为 将，代入，得 ，解得 所以函数关系式为： (3)根据题意，把代入到中，得 解得： 答：这位乘客的乘车里程为17km 课堂练习 1. 某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为sm，力对物体所做的功 W（J）与s（m）的对应关系如图所示.下列结论中，正确的是（　C　） A. W＝ s B. W＝20s C. W＝8s D. s＝ C 解：根据图像可知W与s之间的函数关系式正比例函数，过(20,160)设 将，代入，得 解得 故，选择C项 课堂练习 2. 自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y(元)与用水量x(吨) 之间的函数关系如图所示.琪琪家5月用水14吨，应收水费（　C　） A. 22元 B. 33元 C. 39元 D. 42元 C 解：由图可知，当时，y与x之间为一次函数关系，过点 设 将两点坐标代入，易得 把代入得 故选C项 课堂练习 3. 某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系.已知1千克苹果的成本是5元，若某天该合作社的苹果销售单价为8元/千克，则这天销售苹果的利润是 元. 6 600　 解：根据图中信息可知，y与x之间为一次函数关系，过点 设, 将两点坐标代入求得 当时， 利润为(元) 课堂练习 4.某书店以读书日为契机，决定购进甲、乙两种图书，供消费者选择.经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y（元）与购进甲种图书的数量x（本）之间的函数关系如图所示. （1） 求当0≤x≤120和x＞120时，y与x之间的函数表达式. 解：（1） 当0≤x≤120时，设y＝kx.把(120，3000)代入，得3000＝120x， 解得k＝25. y＝25x. 当x＞120时，设y＝mx＋b，把(120，3 000)，(150，3 660)代入， 得 解得 y＝22x＋360. y与x之间的函数表达式为y＝ 课堂练习 （2） 若该书店准备购进甲、乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，该书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使该书店所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(2) 设利润为w元.由题意，得x≥120，300－x≥120， 120≤x≤180.当120≤x≤180时， w＝30x－(22x＋360)＋(25－20)(300－x)＝3x＋1140. 3＞0， w随x的增大而增大. 当x＝180时，w有最大值，最大值＝3×180＋1140＝1 680， 此时购进乙种图书300－180＝120(本). 购进甲种图书180本，乙种图书120本， 才能使该书店所获利润最大，最大利润是1680元 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 数形结合 函数建模 感谢聆听! 【新教材】冀教版·八年级下册 $