精品解析：江西省南昌市赣江新区金太阳实验中学等校2026届高三下学期开学素养训练数学试题

高三年级下学期数学学科开学素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z虚部为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 3i 3. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则=（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数对任意，恒成立，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 8. 在高为5正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组数据为5，8，7，9，11，7，7，10，则正确的命题有（ ） A. 这组数据的众数为7 B. 这组数据的平均数为8.5 C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的60%分位数为8 10. 若函数在上恰有3个零点，则的值可能为（ ） A. 32 B. 34 C. 40 D. 45 11. 若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则＝______，＝______． 13. 已知圆的半径为5，且圆心与抛物线的焦点关于的准线对称，直线与相交于两点，则______． 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． （1）证明：平面． （2）求直线BD与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）求的通项公式． （3）已知求数列的前2n项和． 17. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． （1）求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． （2）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限. ①若，求直线方程； ②求面积的取值范围. 19. 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）． （1）当，时，求曲线在处的切线方程． （2）当，时，函数g（x）＝有两个零点． （i）设，证明：． （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级下学期数学学科开学素养训练 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式确定集合，再根据交集的概念求. 【详解】由， 所以． 故选：A 2. 若，则z的虚部为（ ） A. －3 B. 3 C. －1 D. 3i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求得复数z，即可得到其虚部. 【详解】依题意得，所以z的虚部为3. 故选：B. 3. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义求出，由勾股定理求出焦距，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆定义知，则. 设焦距为， 由题可知，，即，解得. 所以椭圆的离心率为. 4. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，通过正弦定理化简，求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B 5. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 6. 若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解． 【详解】因为，所以， 又，解得，所以． 故选：B． 7. 已知函数对任意的，恒成立，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法及奇偶函数的定义判断即可. 【详解】B：令，则，所以，故B错误. A：令，，则，即，所以，故A错误. C：令，则，即， 所以，显然，所以不是偶函数，故C错误. D：令，则 ， 所以为奇函数，故D正确. 8. 在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系并标出点，分别求平面、平面、平面的法向量，根据线面关系求点的坐标，再结合台体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为，则， 设的重心分别为， 可知为正三棱台的高，即， 则三棱台的体积. 取的中点，过点与平行的直线与交于点， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 可得，，， 因为分别为侧棱，的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设，则，， 由题意可得：，解得， 即，则三棱锥的体积； 所以三棱台与三棱锥的体积之差为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 现有一组数据为5，8，7，9，11，7，7，10，则正确的命题有（ ） A. 这组数据的众数为7 B. 这组数据的平均数为8.5 C. 这组数据的方差为 D. 这组数据的60%分位数为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数，平均数，方差及百分位数的定义计算判断各个选项即可. 【详解】这组数据中的7出现了3次，次数最多，故众数为7，A正确； 这组数据的平均数为，B错误； 这组数据的方差，C正确； 这组数据从小到大为5，7，7，7，8，9，10，11，由，得这组数据的60%分位数为8，D正确． 10. 若函数在上恰有3个零点，则的值可能为（ ） A 32 B. 34 C. 40 D. 45 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据的范围，求的范围，再根据正弦函数图象的零点，确定右端点的范围，即可求解. 【详解】由及＞0，得， 因为在上恰有3个零点，所以，解得． 选项中满足条件的有. 11. 若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：当时，可得，则可构造函数，得到，再利用导数研究函数的单调性，即可得解；对B：举出反例，如时，即可得解；对C：结合A中所得，结合作差法构造函数计算即可得；对D：找出符合条件的例子，如假设，结合A中所得，结合零点存在性定理，证明函数在上存在零点即可得. 【详解】对A：由且，则可化为， 令，则有， ， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则时，， 即恒成立，故在、上单调递增， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，即， 则当时，，当时，， 由，则，又，则，故， 又因为在上单调递增，故，故A正确； 对B：若，则，， 故当时，可为，故B错误； 对C：由A知，当时，，且， 则， 令，， 则， 故在上单调递增，即有， 即，故C正确； 对D：要使得，只需， 即，取， 假设，由A知，，且， 则只需使得， 令，， ，则在上单调递减， 又，， 故存在，使得， 即，使得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量满足，则＝______，＝______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为可得， 又＝6，得． 因为＝9，所以，即， 解得． 13. 已知圆的半径为5，且圆心与抛物线的焦点关于的准线对称，直线与相交于两点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标和准线方程，通过点关于线的对称求得圆心坐标，再结合直线与圆相交弦长公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标，准线方程：， 易知点关于的对称点坐标为， 所以圆的方程为， 圆心到直线的距离， 所以 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 【答案】1080 【解析】 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． （1）证明：平面． （2）求直线BD与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，进而利用空间向量求解即可. 小问1详解】 证明：因为是正三棱柱，D是AC的中点， 所以，易得平面ABC，平面ABC， 所以，因为平面， 所以平面． 【小问2详解】 取BC的中点O，的中点M，连接AO，OM， 易得，而平面ABC，则平面ABC，而， 以O为坐标原点，以OB，OM，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线BD与平面所成的角为， 则， 故直线BD与平面所成角的正弦值为． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）求的通项公式． （3）已知求数列的前2n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明即可； （2）由（1）得出数列的通项公式； （3）利用分组求和以及等差数列和等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 证明：当时，，解得＝6， 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可知，即． 【小问3详解】 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 故 ． 17. 某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量（数量匹配工作量，避免不足或闲置），保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表： 日借阅总量/本 日启用推车数量/辆 4 8 14 20 26 往期统计数据显示，该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95． （1）求该图书馆一个工作日的日启用推车数量的期望． （2）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05，如概率降低后，日借阅总量不高于300本的概率为0.10，据此求解以下问题： （i）求未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率．（，结果精确到0.01） （ii）该图书馆拟调整推车启用方案：日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车．若每辆推车单日运维成本相同，该调整方案能否降低日均运维成本？请说明理由． 【答案】（1）13.4 （2）（i）0.85（ii）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出每一段的概率，再利用期望公式求解； （2）（i）利用二项分布分析求解即可；（ii）分别求出方案中日启用推车数量的数学期望分析比较即可得结论. 【小问1详解】 题意得， ， 故. 【小问2详解】 （i）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于600本的概率降低0.05，得， 设未来10个工作日中，日借阅总量不高于600本的天数为，则， 所以， 故未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率约为0.85． （ii）该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后， 日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05， 得， ， 此时日启用推车数量的数学期望为： ， 若日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车，日借阅总量高于1200本时，统一启用26辆推车， 则此时日启用推车数量的数学期望为： 因为，所以调整方案能降低日均运维成本． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5. （1）求双曲线标准方程. （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限. ①若，求直线的方程； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据实轴长求出，根据的最小值是5求出，从而得到双曲线的方程. （2）①分别考虑直线的斜率不存在和存在时，联立直线与双曲线渐近线方程求得坐标，然后根据已知条件列出等式求出直线的斜率，进而得到直线的方程；②分别考虑直线的斜率不存在和存在时，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理将面积的表达式列出来并进行化简，然后根据基本不等式的性质求出范围即可. 【小问1详解】 因为双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为， 所以，所以. 的最小值是5即当三点共线时，取最小值为. 因为，所以，解得. 所以，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知， 当直线的斜率不存在时，其方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，联立直线与渐近线方程得， 所以，因为双曲线的焦点坐标为， 所以，此时不满足题意，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为， 与双曲线的渐近线方程联立得和， 解得和，所以. 因为，所以即，解得. 所以直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，其方程为，代入双曲线方程中得. 所以，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线方程联立得. 判别式，. 设，则. 由于，所以或. 所以 ， 令， 由于，所以. 所以， 所以. 综上，所以面积的取值范围为. 19. 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）． （1）当，时，求曲线在处的切线方程． （2）当，时，函数g（x）＝有两个零点． （i）设，证明：． （ii）证明：． 【答案】（1）y＝3x （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数  的导函数 ，计算  和  的值，再利用点斜式方程求出曲线在  处的切线方程. （2）（i）由零点的定义可得，变形可得，由此证明结论， （ii）由（i）是方程的两个根，利用导数研究函数的单调性确定的范围，再构造函数  进行不等式放缩，最后通过推导得出 . 【小问1详解】 依题意，， 所以. 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）当，时，， 故， 因为为函数的零点，所以， 则，即， 所以， （ii）因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，由（i）， 所以，即，同理可得， 所以是方程的两个根， 令函数， 则，令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 不妨设，则， 令函数，则， 所以在上单调递减. 因为，所以当时，； 当时，. 所以，即， 所以由有两个不相等的正根，且， 得，则， ，则，即， 所以， 因为，所以. 【点睛】本题第二问解决的关键在于通过同构变形结合函数的单调性将条件转化为是方程的两个根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $