第八章 整式乘法（高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第八章 整式乘法 教学目标 1、掌握整式乘法的三种形式（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）的运算法则，能熟练、规范地进行整式乘法运算； 2、理解平方差公式、完全平方公式的推导过程，牢记公式结构特征（符号、系数、项数），能准确运用公式进行计算、化简； 3、能结合幂的运算性质，进行整式乘法与乘法公式的综合运算，能解决简单的化简求值问题； 4、区分整式乘法法则与乘法公式的适用场景，能根据题目特点选择合适的方法进行运算，避免混淆。 教学重难点 1. 重点 （1）整式乘法的三种运算法则的掌握与熟练运用，重点突破运算中符号、系数、同底数幂的处理； （2）平方差公式、完全平方公式的熟记与正向运用，能准确识别公式的适用条件（如平方差公式中“两个数的和与这两个数的差相乘”）； （3）整式乘法与乘法公式的基础综合运算，能规范书写运算步骤，确保结果最简。 2. 难点 （1）多项式×多项式运算中，不漏项、不重复、不错符号，尤其是含负号、括号的多项式相乘； （2）乘法公式的灵活运用：区分平方差公式与完全平方公式的结构差异，避免混淆；掌握公式的逆向运用（如因式分解、简便计算）； （3）整式乘法、乘法公式与幂的运算的综合运算，能理清运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内），处理好多层运算中的符号问题； （4）利用乘法公式解决化简求值、实际应用问题，能准确列式、化简，体现数学与实际的联系； （5）含字母系数、复杂括号的整式乘法与公式运算，培养学生的灵活解题能力和纠错能力。 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 【即时训练】 1．24-25七年级下·江苏扬州·月考）若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 知识点02 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【即时训练】 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点03 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 【即时训练】 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 知识点04 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即时训练】 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）运用完全平方公式计算： (1)； (2) 知识点05 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 【即时训练】 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请写出、、之间的等量关系：______． (2)根据（1）中的等量关系解决问题：若，，求的值； (3)求的值． 知识点06 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 【即时训练】 6．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 知识点07 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 【即时训练】 7．（24-25七年级下·江苏·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 考点01 计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级下·江苏南京·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．（24-25七年级下·江苏常州·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 考点02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 6．（24-25七年级下·江苏盐城·专题练习）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 7．（24-25七年级下·江苏镇江·专题练习）已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（24-25七年级下·江苏南京·专题练习）已知，则________，________． 9．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·专题练习）若 ，则求的值． 考点03 计算单项式乘多项式 11．（24-25七年级下·江苏连云港·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 考点04 单项式乘多项式的应用 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 17．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 19．（25-26八年级上·山西朔州·月考）8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 20．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）淇淇用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 考点05 多项式乘多项式 21．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简：． 22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 25．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点06 多项式乘多项式的化简求值 26．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 27．（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 28．（25-26八年级上·山东滨州·月考）先化简，再求值：，其中． 29．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 30．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，． 考点07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．（25-26八年级上·湖南·期末）若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 32．（25-26七年级上·重庆·期末）若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 33．已知的展开式中不含和项，则____，_____． 34．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 35．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 考点08 多项式乘多项式与图形面积 36．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 37．（25-26七年级下·全国·月考）如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 38．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 39．（25-26八年级上·广东珠海·期末）综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． 【类比应用】 （1）任务一：观察图2，完成填空：①若，，则_________． ②_________（_________）_________． 【综合应用】 （2）任务二：①由图3，可以得到等式：______________． ②若实数a，b，c满足：，；求的值． ③若实数a，b，c满足：，；求的值． 40．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 考点09 多项式乘法中的规律性问题 41．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 42．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 43．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为_______． （2）的个位数字是_______． 44．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． … 则展开式中所有项的系数和是______． 45．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）根据提供的素材完成下列问题： 素材1：我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《讲解九章算法》一书中引用了以下图表（图1），人们称之为“杨辉三角”．此图揭示了的展开式的系数规律．                                                                                                     素材2：城市街道一般都是网格布局，部分街道图抽象成一个纵横各有5条道路的图形（如图2，每个小方格都是一个正方形），某人要从处到处（只能由北向南、由西向东走），有多少种走法呢？将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来，请你观察、分析、比较和归纳． （Ⅰ）当街道是两纵两横时，从处到处只有两种走法（如图3）． （Ⅱ）当街道是三纵三横时，从处到处只有六种走法（如图4）． 根据素材1解答以下问题：                                    （1）的展开式为____________________________________________； （2） 的展开式第3项的系数为_____；的展开式中项的系数为______； （3）若，求下列式子的值： ①；      ②． 根据素材2解答以下问题：   （4）①图2五纵五横从A到B处共有_______种走法； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，从A到B处共有________种走法． 考点10 运用乘法公式进行计算 46．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 47．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 48．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 49．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 50．（24-25七年级下·江苏南京·月考）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 考点11 求完全平方式中的字母系数 51．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 52．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果关于x的多项式是一个完全平方的展开形式，那么常数k的值为（    ） A． B．6 C． D． 53．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）已知多项式可以按完全平方公式进行因式分解，则________． 54．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若关于x的多项式能写成一个二项式的完全平方，则＝__________． 55．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 考点12 通过对完全平方公式变形求值 56．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 57．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 58．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则______． 59．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 60．（24-25七年级下·江苏南京·月考）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 考点13 完全平方公式在几何图形中的应用 61．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 62．（2025八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 63．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 64．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)有最小值______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 65．（24-25七年级下·重庆·月考）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 考点14 利用乘法公式求最值 66．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 67．（2025·江苏连云港·模拟预测）若有最小值，则当_____时，它的值最小，其最小值为 _____． 68．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 69．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 70．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 考点15 乘法公式的新定义问题 71．设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①②④ 72．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）若x，y为任意实数，定义运算：，得到下列五个结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论序号是______． 73．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 74．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知：， (1)求a、b的值； (2)求的最小值． 75．（24-25八年级上·北京·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或－1时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)整式关于______对称． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式乘法 教学目标 1、掌握整式乘法的三种形式（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）的运算法则，能熟练、规范地进行整式乘法运算； 2、理解平方差公式、完全平方公式的推导过程，牢记公式结构特征（符号、系数、项数），能准确运用公式进行计算、化简； 3、能结合幂的运算性质，进行整式乘法与乘法公式的综合运算，能解决简单的化简求值问题； 4、区分整式乘法法则与乘法公式的适用场景，能根据题目特点选择合适的方法进行运算，避免混淆。 教学重难点 1. 重点 （1）整式乘法的三种运算法则的掌握与熟练运用，重点突破运算中符号、系数、同底数幂的处理； （2）平方差公式、完全平方公式的熟记与正向运用，能准确识别公式的适用条件（如平方差公式中“两个数的和与这两个数的差相乘”）； （3）整式乘法与乘法公式的基础综合运算，能规范书写运算步骤，确保结果最简。 2. 难点 （1）多项式×多项式运算中，不漏项、不重复、不错符号，尤其是含负号、括号的多项式相乘； （2）乘法公式的灵活运用：区分平方差公式与完全平方公式的结构差异，避免混淆；掌握公式的逆向运用（如因式分解、简便计算）； （3）整式乘法、乘法公式与幂的运算的综合运算，能理清运算顺序（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内），处理好多层运算中的符号问题； （4）利用乘法公式解决化简求值、实际应用问题，能准确列式、化简，体现数学与实际的联系； （5）含字母系数、复杂括号的整式乘法与公式运算，培养学生的灵活解题能力和纠错能力。 知识点01 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 【即时训练】 1．24-25七年级下·江苏扬州·月考）若单项式和的积为，则的值为（   ） A．2 B．30 C． D．15 【答案】D 【分析】本题考查单项式与单项式相乘问题，先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可． 【详解】单项式和的积为， ， ， ， ． 故选择：D． 知识点02 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【即时训练】 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 知识点03 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 【即时训练】 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，进行分类讨论是解题的关键． 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，再根据和为整数，进行分类讨论计算即可． 【详解】解：， ， 都是整数，， 或，或或， 当时，； 当时； 当时， ； 当时，； 综上所述，的值为或， 故的值不可能是， 故选：C． 知识点04 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【即时训练】 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）运用完全平方公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式：，熟记这两个公式是关键；两个小题直接利用完全平方公式展开即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； 知识点05 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 【即时训练】 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）通常用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个形状大小相同的小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)观察图②，请写出、、之间的等量关系：______． (2)根据（1）中的等量关系解决问题：若，，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方与图形面积的计算，理解图示，掌握完全平方公式的变形计算是关键． （1）根据图形面积计算即可求解； （2）根据（1）中的结论计算即可； （3）根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：图②，大正方形的面积为，大正方形的面积也可以表示为， ∴，即， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴， 当，时，原式； （3）解：． 知识点06 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 【即时训练】 6．（24-25七年级下·江苏镇江·月考）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 知识点07 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 【即时训练】 7．（24-25七年级下·江苏·期末）从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 考点01 计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可； （2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可； （4）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．（24-25七年级下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键； （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可； （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算即可； （4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式运算法则计算，最后再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·江苏南京·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据积的乘方运算法则进行计算，再根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则进行计算，再根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （3）先根据积的乘方运算法则进行计算，再根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （5）先根据积的乘方运算法则进行计算，再根据单项式乘单项式运算法则进行计算，最后合并同类项即可； （6）先根据积的乘方运算法则进行计算，再根据单项式乘单项式运算法则和同底数幂除法运算法则进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：． （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解：； 4．（24-25七年级下·江苏无锡·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，分步处理系数相乘、同底数幂相乘及符号判断，避免运算顺序或符号错误； （1）利用同底数幂相乘（底数不变，指数相加），最后确定符号（异号得负）； （2）利用同底数幂相乘计算即可； （3）利用同底数幂相乘计算即可； （4）利用同底数幂相乘计算即可； （5）先根据积的乘方和同底数幂相乘计算即可； （6）先分别根据积的乘方计算，再将两个结果相乘，利用同底数幂的乘法运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 5．（24-25七年级下·江苏常州·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查单项式的乘法及合并同类项，掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． （1）根据积的乘方及幂的乘方进行运算即可； （2）根据积的乘方及幂的乘方进行运算即可； （3）根据积的乘方及幂的乘方进行运算即可； （4）根据幂的乘方及同底数幂的乘法进行运算即可； （5）根据积的乘方及幂的乘方和同底数幂的乘法将原式化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 考点02 利用单项式乘法求字母或代数式的值 6．（24-25七年级下·江苏盐城·专题练习）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 7．（24-25七年级下·江苏镇江·专题练习）已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（24-25七年级下·江苏南京·专题练习）已知，则________，________． 【答案】 9 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则得到，再结合题中条件列方程求解． 【详解】，， ， ， 解得， 故答案为：；9． 9．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·专题练习）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点03 计算单项式乘多项式 11．（24-25七年级下·江苏连云港·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级下·江苏苏州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式与多项式的乘法法则进行计算即可； （2）先算单项式乘以多项式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算． （1）根据单项式乘多项式的法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的法则计算即可； （3）先计算幂的乘方，根据单项式乘多项式的法则计算即可； （4）先计算积的乘方，单项式乘多项式，再合并同类项即可； （5）先计算单项式乘多项式，再合并同类项即可； （6）先计算单项式乘多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．（2026七年级下·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点04 单项式乘多项式的应用 16．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算的几何背景．根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， ， 当，时，． 17．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）已知用7个完全相同的长、宽分别为，的小长方形（如图1）和两个阴影长方形，拼成1个宽为10的大长方形（如图2）． (1)大长方形的长为________，阴影长方形的面积为________；（用含，的代数式表示） (2)若，求阴影长方形与阴影长方形的周长的和． 【答案】(1)； (2)44 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，单项式乘多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）由图可知，大长方形的长为；阴影长方形的长为，宽为，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为； 阴影长方形的长为，宽为， 则阴影长方形的面积． 故答案为：  ； （2）解：由题意，知阴影长方形的长为，宽为，阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的周长为，阴影长方形的周长为， ∴阴影长方形与阴影长方形的周长的和为． ，则，即阴影长方形与阴影长方形的周长的和为44． 19．（25-26八年级上·山西朔州·月考）8月19日，中科宇航力箭一号遥十运载火箭·中国妇女号在东风商业航天创新试验区发射，7颗卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示的航天火箭模型．为了向全校同学宣传该火箭模型，该小组用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形、一个梯形和一个长方形组成的，板（阴影部分）的尺寸如图2所示． (1)用含，的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）． (2)若，，求板模型的总面积． 【答案】(1) (2)87 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，单项式乘以多项式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，代入求解即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积为： ； （2）解：当，时， 板的总面积为： ． 20．（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）淇淇用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的乘法，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 考点05 多项式乘多项式 21．（24-25八年级上·四川眉山·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 24．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则并按步骤进行计算； （1）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项即可； （3）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相减，合并同类项； （4）先分别根据多项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项； （5）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． （5）解： ． 25．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点06 多项式乘多项式的化简求值 26．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）化简并求值：已知，，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查多项式乘以多项式化简求值，利用多项式乘以多项式运算法则将原式化简为，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 27．（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 28．（25-26八年级上·山东滨州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，化简求值，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得 29．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据多项式乘以多项式的法则，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 30．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解决此题的关键是正确的计算；先根据多项式乘多项式的法和单项式乘多项式的法则把整式化简，再代入求值即可； 【详解】解： ， ， ， 把，代入原式． 考点07 已知多项式乘积不含某项求字母的值 31．（25-26八年级上·湖南·期末）若展开合并后不含的一次项，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，解题的关键是理解“不含x的一次项”意味着一次项的系数为0． 通过展开多项式、合并同类项后令一次项系数为0求解n的值． 【详解】解：∵ 又∵展开合并后不含x的一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴常数n的值为2． 故选：A． 32．（25-26七年级上·重庆·期末）若展开后的结果中不含项，则m的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，根据展开后的多项式中不含项，则展开后的多项式中项的系数为0，由此即可解答本题． 【详解】解：， ∵展开的结果中不含项， ∴，解得：， 故选：A． 33．已知的展开式中不含和项，则____，_____． 【答案】 3 9 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及多项式的相关概念，关键知识点是：多项式中不含某一项，则该项的系数为0．先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据展开式中不含和项，分别令这两项的系数为0，得到关于、的方程，解方程即可求出、的值． 【详解】解：． ∵展开式中不含和项， ∴项的系数，项的系数， 解得，； 故答案为：，． 34．（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 35．（25-26七年级上·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 考点08 多项式乘多项式与图形面积 36．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 37．（25-26七年级下·全国·月考）如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题． (1)求长方形硬纸片的长和宽； (2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积． 【答案】(1)长为20cm   宽为10cm (2)够用    【分析】本题考查了正方形面积的计算，长方形的拼接关系，正方体的体积与表面积计算，掌握正方形面积与边长的关系，正方体体积与棱长的关系，无盖几何体的表面积计算方法是解题的关键． （1）由正方形面积求出边长，根据两个长方形的拼接方式得到长与宽的倍数关系，列方程求解； （2）由正方体体积求出棱长，计算无盖笔筒所需的纸片面积，与原正方形面积比较判断是否够用，再计算剩余面积． 【详解】（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为． 由题意，得，且． ， ，， 长方形硬纸片的长为，宽为． （2）解：该硬纸片够用． 由题意可知，正方体无盖笔筒的棱长为， 共需要5张边长为8cm的小正方形硬纸片，其总面积为． ， 该硬纸片够用， 剩余的硬纸片的面积为． 38．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 39．（25-26八年级上·广东珠海·期末）综合与应用 【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． 【类比应用】 （1）任务一：观察图2，完成填空：①若，，则_________． ②_________（_________）_________． 【综合应用】 （2）任务二：①由图3，可以得到等式：______________． ②若实数a，b，c满足：，；求的值． ③若实数a，b，c满足：，；求的值． 【答案】（1）①16；②，，；（2）①；②14；③16 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积，能够利用面积相等的思想推导公式并熟练运用是解题关键． （1）①利用长方形的面积公式求解即可； ②用两种不同的方法表示图2的面积即可求解； （2）①用两种不同的方法表示图3的面积即可求解； ②将，代入①中的等式求解即可； ③首先由求出，然后得到，然后结合求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②； （2）①； ②∵，，， ∴， ∴； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点09 多项式乘法中的规律性问题 41．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，系数为1； ，系数分别为1，1； ，系数分别为1，2，1； ，系数分别为1，3，3，1； 请依据上述规律判断：若今天是星期四，则经过天后是（   ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、数字的变化规律、多项式，熟练掌握以上知识点是关键． 根据“杨辉三角”中所含规律，先求出的余数为1，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的余数为1， 若今天是星期四，则经过天后是星期五． 故选：C． 42．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（  ） A．16 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及规律探索，正确掌握整式的运算法则是解题的关键，根据题干规律将左侧化简，再利用多项式相等的条件即可得到、的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 即有 ， ，， 则的值是， 故选：B． 43．（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为_______． （2）的个位数字是_______． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【详解】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 44．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． … 则展开式中所有项的系数和是______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，观察可知的展开式中所有项的系数和为，据此规律求解即可． 【详解】解：的展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数和为， ……， 以此类推，可得的展开式中所有项的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和是， 故答案为：． 45．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）根据提供的素材完成下列问题： 素材1：我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《讲解九章算法》一书中引用了以下图表（图1），人们称之为“杨辉三角”．此图揭示了的展开式的系数规律．                                                                                                     素材2：城市街道一般都是网格布局，部分街道图抽象成一个纵横各有5条道路的图形（如图2，每个小方格都是一个正方形），某人要从处到处（只能由北向南、由西向东走），有多少种走法呢？将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来，请你观察、分析、比较和归纳． （Ⅰ）当街道是两纵两横时，从处到处只有两种走法（如图3）． （Ⅱ）当街道是三纵三横时，从处到处只有六种走法（如图4）． 根据素材1解答以下问题：                                    （1）的展开式为____________________________________________； （2） 的展开式第3项的系数为_____；的展开式中项的系数为______； （3）若，求下列式子的值： ①；      ②． 根据素材2解答以下问题：   （4）①图2五纵五横从A到B处共有_______种走法； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，从A到B处共有________种走法． 【答案】（1）；（2）10，40；（3）①63，②0；（4）①70，②35 【分析】本题考查多项式乘法的规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）先得出的展开式，即可得出的展开式第3项的系数，利用的展开式得出，其中展开式中是项的是，即可求解； （3）①求出当时，，当时，，即可求解； ②求出当时，，与相减，即可求解； （4）①观察可知可以看作杨辉三角的方法，交叉点处的走法是左边上一步走法和上边上一步走法的和，五纵五横时，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来即可求解； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）由题意知的展开式共6项， 各项系数分别为， 即， 则， 则的展开式第3项的系数为10， 则， 其中展开式中是项的是，系数是40， 故答案为：10，40； （3）①∵， 当时，， 当时，， ∴； ②当时，， 与相减， 得， ∴； （4）①观察可知可以看作杨辉三角的方法，交叉点处的走法是左边上一步走法和上边上一步走法的和， 五纵五横时，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来如下： 故五纵五横从A到B处共有70种走法； ②如果把五纵五横的街道换成如图5所示的形状，将街道图形交叉点处的走法用数字表示出来如下： 则从A到B处共有35种走法． 考点10 运用乘法公式进行计算 46．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘法公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）首先将原式变形为，然后利用平方差公式化简即可； （2）将原式变形为，然后两次应用完全平方公式展开化简即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ； 47．（2025七年级下·全国·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查乘法公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）先运用平方差公式运算，再利用平方差公式计算即可． （2）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将其化成，看成与1差的平方再应用公式运算； （3）转化成，将看成一个整体，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 48．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握乘法公式的结构特征是解题的关键； （1）利用平方差公式解答即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 49．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 50．（24-25七年级下·江苏南京·月考）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法计算问题，掌握多项式乘法公式，会巧妙利用乘法公式计算解决问题是关键． （1）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （2）用平方差公式与两数差完全平方公式展开，去括号合并同类项即可； （3）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （4）用完全平方公式展开，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 考点11 求完全平方式中的字母系数 51．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 52．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如果关于x的多项式是一个完全平方的展开形式，那么常数k的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．本题要依据完全平方公式的结构特征，把给定多项式与公式对比，从而确定的值． 【详解】解：完全平方公式为 ． 对于多项式，其中相当于，则；相当于， ∵，， ∴或 ． 当时，中间项，而中间项是， ∴或，即 ． 故选：D ． 53．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）已知多项式可以按完全平方公式进行因式分解，则________． 【答案】 或3 【分析】利用完全平方公式的结构特征，比较多项式系数求解即可；本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：多项式， 由条件得中间项为， 即或． 解得或． 故答案为：或3． 54．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若关于x的多项式能写成一个二项式的完全平方，则＝__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 将多项式配成完全平方式得，进而得出，可得答案. 【详解】解：∵， ∴， 解得. 故答案为：9. 55．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知关于x的代数式是乘法完全平方式展开的，求字母a的值． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．根据题意可得，解得的值即可． 【详解】解：关于的代数式是乘法完全平方式展开的， 解得：或． 考点12 通过对完全平方公式变形求值 56．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，则的值为（   ） A．16 B．9 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 57．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由条件推导出，得到，通过求的最小值，代入计算即可得到答案．本题考查完全平方公式的性质与应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故选：D． 58．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）已知，，则______． 【答案】/ 【分析】完全平方公式，则． 【详解】解：∵，， ∴． 59．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴． 60．（24-25七年级下·江苏南京·月考）把完全平方公式适当的变形，可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，；所以，；所以，；得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 【初步应用】 （1）若，，则___________； 【类题探究】 （2）若满足．求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，把完全平方公式适当的变形是解题的关键． （1）由可得，再代入，即可求出的值； （2）设，，则，进而得到，根据题意可得，求出的值，即可求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为． 考点13 完全平方公式在几何图形中的应用 61．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键. （1）根据面积公式计算即可； （2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可； （3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可． 【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 62．（2025八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】(1)； (2) (3)①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 【点睛】​ 63．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 【答案】(1)13 (2)①10；②22 (3)12 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）①根据即可求解； ②根据即可求解； （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据，阴影部分面积为36，得出，，即可求出，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴22 故答案为：13． （2）①已知 ∴ ∴ 故答案为：10． ②已知 ∴ ∴ 故答案为：22． （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， ∵，阴影部分面积为36， ∴， 则 ∵ ∴ 即． 64．（24-25七年级下·湖南郴州·期中）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)有最小值______． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 【答案】(1)3 (2)当，时，多项式有最小值5 (3)是等边三角形 【分析】（1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解； （3）可得，即可求解． 【详解】（1）解： ，即时，有最小值，最小值是； 故答案：． （2）解：由题意得 ， ∴当，时，多项式有最小值5； （3）解：由题意得 ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键． 65．（24-25七年级下·重庆·月考）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 考点14 利用乘法公式求最值 66．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）代数式的所有值中，最小的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解决问题的关键．根据完全平方公式将变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴原式最小值为1． 故选：C． 67．（2025·江苏连云港·模拟预测）若有最小值，则当_____时，它的值最小，其最小值为 _____． 【答案】 2 1 【分析】本题考查利用完全平方的非负性，把代数式写成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质得出答案即可． 【详解】解： ∵， ∴． 所以当时，的值最小，最小值为1， 故答案为：2，1． 68．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 69．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【答案】(1)， (2)大， (3)的最小值是． 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； （3）解：∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 70．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， ． 考点15 乘法公式的新定义问题 71．设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握新运算规则． 根据新运算规则进行化简，然后对选项逐个进行判断． 【详解】解：①，，故①符合题意； ②，，故②不符合题意； ③，，故③符合题意； ④；，故④不符合题意； 故选：A． 72．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）若x，y为任意实数，定义运算：，得到下列五个结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论序号是______． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式； 根据定义的新运算求出和，进而可判断①；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则展开，求出和，进而可判断②；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则展开，求出和，进而可判断③；根据定义的新运算求出，进而可判断④；根据定义的新运算列式，利用多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，求出和，进而可判断⑤． 【详解】解：∵， ， ∴，故①正确； ∵， ， ∴，故②错误； ∵． ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∵， ． ∴，故⑤错误． 综上，正确的结论序号是①③． 故答案为：①③． 73．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减；解决本题的关键是根据“圆满数”的定义解决问题． （1）因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以是关于的“圆满数”，，是关于的“圆满数”，据此解答； （2）因为，，所以，如果结果是，我们称是关于的“圆满数”，如果不是，不是关于的“圆满数”． 【详解】（1）解：因为，那么我们称是关于的“圆满数”， 所以， 即是关于的“圆满数”， ， 所以是关于10的“圆满数”． 故答案为：，． （2）因为，, 所以 ， 即， 所以是关于的“圆满数”． 74．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知：， (1)求a、b的值； (2)求的最小值． 【答案】(1)a、b的值分别为1，2 (2)15 【分析】（1）根据题中新运算法则列关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可求解； （2）根据（1）中结果和题中新运算法则表示出，然后根据利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， 即a、b的值分别为1，2； （2）解：由（1）知，，， ∴ ， ∴的最小值是15． 【点睛】本题考查二元一次方程组得应用、完全平方公式的应用，解答的关键是掌握新运算法则，并正确求得a、b值． 75．（24-25八年级上·北京·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或－1时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于x的多项式关于对称，求b的值； (3)整式关于______对称． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3） ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $