专题7.3 频率与概率（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题7.3 频率与概率 教学目标 1.理解频率的稳定性现象‌：通过抛硬币、掷图钉、摸球等大量重复试验，观察某一事件发生的频率在试验次数增多时趋于稳定，形成“频率会在某个常数附近摆动并逐渐稳定”的直观感知；辨析频率与概率的区别与联系。 2.掌握用频率估计概率的基本方法‌：当试验次数足够大时，随机事件发生的频率可以作为其概率的估计值。 3.应用“用频率估计概率”的思想解决生活中的问题，如种子发芽率、产品质量检测、鱼塘鱼量估算等，提升数学建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）通过实验体会频率的稳定性，理解“频率是实验结果，概率是理论值”，并能根据频率数据推测事件的概率； （2）理解频率估计概率的条件，‌只有当试验次数足够大时，频率才可作为概率的估计值‌，避免以偏概全。 2.难点 （1）理解“频率估计概率”的合理性与局限性；合理性：大量重复试验下频率具有稳定性；局限性：试验次数少时频率波动大，不能准确反映概率； （2）用频率估计概率的思想理解与应用。 知识点01 频率的稳定性 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 2．（24-25八年级下·江苏课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 知识点02 用频率估计概率 概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量。在大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性。实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 2．（2025·山东·校考一模）如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）（多选题） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） (1)根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． (2)社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 题型01 频率与概率的关系（概念理解） 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 3．（2025·北京·校考二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 4．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 5．（24-25七年级上·成都·期末）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 题型02 频率估计概率（表格型） 1．（25-26九年级上·重庆·期末）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示： 实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C．每多抛一次，频率会更加接近0.5 D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）18世纪，法国数学家布丰提出如下问题：在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表是当，时的投针试验数据： 试验次数 200 500 1000 2000 3000 5000 10000 相交次数 51 122 249 504 759 1240 2510 相交频率 0.255 0.244 0.249 0.252 0.253 0.248 0.251 由此可以估计针与直线相交的概率为________（结果保留小数点后两位）． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 414 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格；(2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位） 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）；(2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 题型03 频率估计概率（折线图型） 1．（2025·河南·校考二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况． 图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（    ） A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次 B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48 C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5 D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在一个不透明的箱子里装入红球和黄球共10个，这些球除颜色外其余都相同，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量重复的实验，统计了“摸出红球”的频率，绘制了如上的统计图，则摸一次摸出红球的概率为______． 3．（25-26九年级上·云南·期末）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）漳州市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了如下的统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1 题型04 根据频率辨别事件 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．无法确定 2.（25-26九年级上·福建厦门·期末）一个不透明袋子中有个红球、个紫球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是__________色． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在，则该球的颜色最可能是（   ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 题型05 运用频率估计概率求面积 1．（24-25九年级上·四川巴中·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·期末）如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建莆田·期末）地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图所示的莆田市地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果），他们将若干次有效实验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为_____． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____． 题型06 运用频率估计概率求数量 1．（25-26九年级上·河北衡水·期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，已知个球中有4个红球，若将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率如图所示，则的值约为（    ） A．20 B．16 C．10 D．8 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）在一个不透明的袋子中，装有60个小球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不见球的情况下，随机多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在．则可估计袋子中白球的个数是（    ） A．18 B．24 C．28 D．36 3.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表： 检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000 甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910 甜度达标频率 0.92 0.94 0.93 0.91 0.91 0.91 根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过大量重复试验，统计摸到红球的频率，并绘制出如下图所示统计图，估计口袋中白球的个数是_____． 题型07 频率估计概率（多结论问题） 1．（25-26九年级上·北京·月考）不透明的盒子中装有红、白两色的小球共（为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断：①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.35． 所有合理推断的序号是（　　） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 2．（24-25九年级上·云南红河·期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷的次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的； ②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动；③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为． 其中正确的推断有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 题型08 频率估计概率（综合解答题） 1．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中______，______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ．(2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：(1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）．(2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数；②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；(2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）抛掷质地均匀的硬币，随着抛掷次数增多，计算正面向上的频率，下列说法正确的是（   ） A．频率大于 B．频率趋近 C．频率小于 D．频率等于 2．（25-26九年级上·福建·期末）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 4．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 5．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量反复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷20000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（    ） A．9101 B．10012 C．11012 D．12013 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数 50 100 150 300 400 500 投中次数 33 55 86 183 239 301 投中频率 0.66 0.55 0.57 0.61 0.60 0.60 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是（   ）（结果保留小数点后两位） A．0.55 B．0.60 C．0.61 D．0.66 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下： 抽取个数（个） 合格频数 合格频率 根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河南许昌·月考）用频率估计概率，抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为，是指（   ） A．连续抛掷次，一定是“正面朝上”和“反面朝上”各次 B．连续抛掷次，一定是“正面朝上”次 C．抛掷次，当越来越大时，“正面朝上”的频率会接近 D．抛掷次，“正面朝上”的次数一定是次 9．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 10．（2025·山西吕梁·一模）生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 11.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活 棵． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验结果．（注：钉尖向上的频率）下面有四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以钉尖向上的概率是0.5； ②当投掷次数是800时，计算机记录“钉尖向上”的次数是492，所以“钉尖向上”的概率是0.615； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中正确的是___________（填序号）． 13．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）在数字化浪潮席卷日常生活的当下，二维码支付凭借其便捷高效的特性，已然成为大众消费场景中不可或缺的支付方式．从街边的早餐摊、便利店，到大型商超，再到线上购物、生活缴费等场景，只需打开手机扫码，便能在几秒内完成交易．如图是小明同学的支付码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内、为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 14．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）某快递公司为了解11月快递订单准时送达情况，从11月份完成的快递订单中进行了随机抽取，获得的数据如下： 订单数/份 50 100 200 700 800 1000 准时送达的订单数/份 41 87 175 610 695 870 准时送达的订单的频率（保留小数点后三位） 0.820 0.870 0.875 0.871 0.869 0.870 若该公司11月份共完成5000份快递订单，则准时送达的订单约________份． 15．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是_____（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空） 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）自18世纪以来一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币实验”获得的数据如下表 实验者 实验次数 正面朝上的频数 正面朝上的频率 布丰 德·摩根 费勒 皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 (1)表中的______，______；(2)估计硬币正面朝上的概率．（精确到） 17．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 18．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题：(1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）；(3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 19．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 a b (1)表格中 ， ；（精确到）;(2)请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20．（2025·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 频率与概率 教学目标 1.理解频率的稳定性现象‌：通过抛硬币、掷图钉、摸球等大量重复试验，观察某一事件发生的频率在试验次数增多时趋于稳定，形成“频率会在某个常数附近摆动并逐渐稳定”的直观感知；辨析频率与概率的区别与联系。 2.掌握用频率估计概率的基本方法‌：当试验次数足够大时，随机事件发生的频率可以作为其概率的估计值。 3.应用“用频率估计概率”的思想解决生活中的问题，如种子发芽率、产品质量检测、鱼塘鱼量估算等，提升数学建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）通过实验体会频率的稳定性，理解“频率是实验结果，概率是理论值”，并能根据频率数据推测事件的概率； （2）理解频率估计概率的条件，‌只有当试验次数足够大时，频率才可作为概率的估计值‌，避免以偏概全。 2.难点 （1）理解“频率估计概率”的合理性与局限性；合理性：大量重复试验下频率具有稳定性；局限性：试验次数少时频率波动大，不能准确反映概率； （2）用频率估计概率的思想理解与应用。 知识点01 频率的稳定性 在大量重复试验中，一个随机事件发生的频率在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，我们把这种现象称为频率的稳定性，并且用这个频率的稳定值作为该随机事件的概率。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近.∴ 选项D正确. 故选：D. 2．（24-25八年级下·江苏课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析(2)不同意，见解析 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 知识点02 用频率估计概率 概率是对随机事件发生可能性大小的一种度量。在大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性。实际生活中，能够进行大量重复试验的随机事件，可以通过频率估计概率。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意．故选B． 2．（2025·山东·校考一模）如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）（多选题） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【答案】AC 【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意； 当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意；随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意．故选：AC． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为． 已知长方形面积为，因此椭圆面积为：．故选：D． 4．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 80 120 200 300 400 500 600 发芽种子数量（粒） 74 112 189 284 380 474 571 种子发芽率（精确到） (1)根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到． (2)社团成员在农场播种2000粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】(1)(2)大约能有1900粒种子发芽 【详解】（1）解：根据表中数据，当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近， 所以估计这批油麦菜种子的发芽率为； （2）解：（粒），故大约能有粒种子发芽． 题型01 频率与概率的关系（概念理解） 1．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。故选：B． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．故选：D． 3．（2025·北京·校考二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性．故选：D． 4．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 【答案】A 【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意； B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意； C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意； D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意；故选：A． 5．（24-25七年级上·成都·期末）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意．故选：D． 题型02 频率估计概率（表格型） 1．（25-26九年级上·重庆·期末）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示： 实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C．每多抛一次，频率会更加接近0.5 D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等 【答案】A 【详解】解：由上表可知，抛掷硬币试验中，正面向上的频率在0.5附近摆动，且随着n的增加，摆动幅度越来越小，可知正面向上的概率为0.5，只有A选项正确；故选A． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）18世纪，法国数学家布丰提出如下问题：在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交，下表是当，时的投针试验数据： 试验次数 200 500 1000 2000 3000 5000 10000 相交次数 51 122 249 504 759 1240 2510 相交频率 0.255 0.244 0.249 0.252 0.253 0.248 0.251 由此可以估计针与直线相交的概率为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】0.25 【详解】解：在大量的重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出针与直线相交的概率是0.25． 故答案为：0.25． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，该菜商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 414 落在“铅笔”的频率 (1)计算并完成表格；(2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是___________．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：当，时，； 当，时，；当，时，； 当，时，；完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“铅笔”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“铅笔”的频率 （2）解：由表格得，落在“铅笔”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）为配合315活动，对某批篮球的质量检验结果如下： 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 优等品的频数m 93 194 380 561 b 941 优等品的频率m/n 0.93 a 0.95 0.935 0.945 0.941 (1)此次调查方式为________（填“普查”或“抽样调查”）；(2)补全表中数据：________； (3)从这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】(1)抽样调查(2)756(3)0.94 【详解】（1）解：此调查方式为抽样调查，故答案为：抽样调查； （2），故答案为：756； （3）这批篮球中，任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值为0.94，故答案为：0.94． 题型03 频率估计概率（折线图型） 1．（2025·河南·校考二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况． 图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（    ） A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次 B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48 C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5 D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5 【答案】C 【详解】根据图象可知当抛掷的次数为300次时，正面朝上的频率为0.5， A.∴此次试验正面朝上的次数为300×0.5=150（次）<200次，故A错误； B.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故B错误； C.根据在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率，故C正确； D.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故D错误；故选C． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）在一个不透明的箱子里装入红球和黄球共10个，这些球除颜色外其余都相同，每次摸出一个记下颜色后放回，经过大量重复的实验，统计了“摸出红球”的频率，绘制了如上的统计图，则摸一次摸出红球的概率为______． 【答案】0.6 【详解】解：∵摸到红球的频率逐渐稳定于0.6，∴摸到红球的概率为0.6，故答案为：0.6． 3．（25-26九年级上·云南·期末）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近波动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．故选：B． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）漳州市林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该市这种树苗移植成活情况进行了调查统计，并绘制了如下的统计图，根据统计图提供的信息，估计该树苗成活的概率为（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1 【答案】C 【详解】解：∵根据统计数据，当移植棵数足够多时，成活频率稳定在左右， ∴估计该树苗成活的概率为．故选：C． 题型04 根据频率辨别事件 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：摸出白色球的频率为；摸出黄球的频率为； 摸出红球的频率为；由频率图可知是白球出现的频率，故选：A． 2.（25-26九年级上·福建厦门·期末）一个不透明袋子中有个红球、个紫球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是__________色． 【答案】黄 【详解】解：观察统计图可知，该球的频率稳定在左右，所以抽到该球的概率为， ∵一共有个球，抽到红球的概率为：，抽到紫球的概率为：， 抽到黄球的概率为：，抽到绿球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是黄色．故答案为：黄． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）一个不透明袋子中有20个白球、6个黑球、3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，取出某一颜色球的频率稳定在，则该球的颜色最可能是（   ） A．白色 B．红色 C．黑色 D．黄色 【答案】C 【详解】解：根据题意，该球的频率稳定在左右，所以抽到该球的概率为，总球数为， ∵抽到白球的概率为：，抽到黑球的概率为：， 抽到红球的概率为：，抽到黄球的概率为：，∴该球的颜色最有可能是黑色．故选：C． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 【答案】一正一反 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 题型05 运用频率估计概率求面积 1．（24-25九年级上·四川巴中·期末）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．丹丹帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，她在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中白色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在黑色区域的频率稳定在左右， 点落在白色区域的频率稳定在左右， 估计此二维码中白色区域的面积为．故选：B． 2．（25-26九年级上·山东·期末）如图1，在边长为8cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，投放点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．设不规则图案的面积为，则有， 解得：，即不规则图案的面积为．故选：C． 3．（25-26九年级上·福建莆田·期末）地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图所示的莆田市地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果），他们将若干次有效实验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为_____． 【答案】 【详解】解：由实验结果折线统计图可得，随着实验次数的增加，落在地形图上的频率稳定在附近， 故小球落在地形图上的概率约为， 由此估计该地形图的面积大约为，故答案为：． 4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____． 【答案】35 【详解】解：据题意可得：小球落在该地形图内的概率约为0.35， 设该地形图的面积为，则，解得：， 则估计该地形图的面积大约为，故答案为：35． 题型06 运用频率估计概率求数量 1．（25-26九年级上·河北衡水·期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，已知个球中有4个红球，若将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率如图所示，则的值约为（    ） A．20 B．16 C．10 D．8 【答案】B 【详解】解：由题意可得，解得，．经检验，是原方程的解， ∴的值约为16．故选：B． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）在一个不透明的袋子中，装有60个小球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不见球的情况下，随机多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在．则可估计袋子中白球的个数是（    ） A．18 B．24 C．28 D．36 【答案】B 【详解】解：∵随机多次摸球后，摸到白球的频率稳定在，∴可估计摸到白球的概率约为， ∵袋子中共有60个小球，∴估计袋子中白球的个数为．故选：B． 3.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）在同样条件下对一批新进草莓进行甜度检测，统计甜度达标的草莓数，获得如下频数表： 检测草莓数量n（颗） 100 200 300 500 800 1000 甜度达标频数m 92 188 279 455 728 910 甜度达标频率 0.92 0.94 0.93 0.91 0.91 0.91 根据表中数据，估计2000颗该种草莓中，甜度达标的草莓约为___颗． 【答案】1820 【详解】解：从频数表可知，当检测草莓数量较大时，甜度达标的频率均稳定在附近， 因此概率估计值为，∴对于2000颗草莓，甜度达标的数量约为颗．故答案为：1820． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过大量重复试验，统计摸到红球的频率，并绘制出如下图所示统计图，估计口袋中白球的个数是_____． 【答案】8 【详解】解：观察图中的信息，得出通过大量重复试验，统计摸到红球的频率约等于， ∵在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过大量重复试验，统计摸到红球的频率，∴球的数量是，∴，∴估计口袋中白球的个数是，故答案为：8． 题型07 频率估计概率（多结论问题） 1．（25-26九年级上·北京·月考）不透明的盒子中装有红、白两色的小球共（为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果． 下面有三个推断：①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个； ③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.35． 所有合理推断的序号是（　　） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本推理符合题意； ②可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球（个，故本推理符合题意； ③若再次进行上述摸球试验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率不一定是0.35，故本推理不符合题意．故选：． 2．（24-25九年级上·云南红河·期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确； ④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误．故选C． 3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷的次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的； ②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动；③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为． 其中正确的推断有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的，故①正确； ②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动，故②正确； ③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为，故③正确．故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确。故答案为：② 题型08 频率估计概率（综合解答题） 1．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中______，______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，(2)；(3)该厂估计要生产5000顶头盔 【详解】（1）解：，；故答案为：，． （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）．答：该厂估计要生产顶头盔． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95(2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05(3)46元 【详解】（1）解：，；故答案为：475，0.95 （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95，∴估计衬衣合格的概率为0.95， ∴估计衬衣不合格的概率为故答案为0.05． （3）解：（元），即估计要在他奖金中扣除46元材料损失费． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某园林基地，特地考察一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在 附近，估计成活概率为 （精确到0.1）． (2)该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数；②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这种花卉成活9000棵；②估计还要移植100000棵 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵），答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵），答：估计还要移植100000棵． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1)(2)(3)③④ 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近；故答案为：； （2）解：根据题意得：（个），故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在，∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近，故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为，根据题意得：，解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则，． 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）抛掷质地均匀的硬币，随着抛掷次数增多，计算正面向上的频率，下列说法正确的是（   ） A．频率大于 B．频率趋近 C．频率小于 D．频率等于 【答案】B 【详解】解：∵硬币质地均匀，∴正面向上的概率为，根据大量重复试验中频率的稳定性，当抛掷次数逐渐增多时，频率逐渐接近概率，∴频率趋近于，故选：． 2．（25-26九年级上·福建·期末）不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（    ） A．袋中红球有90个 B．第101次摸到红球的可能性较大 C．第101次会摸到红球 D．红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知；选项B正确；选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例，故选B． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）下列说法正确的是（   ） A．小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是 B．抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率一定相同 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面朝上 D．在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性 【答案】D 【详解】解：A. 小明做了4次抛瓶盖的试验，虽然有3次盖口向上，单盖口向上的概率是，故该选项不正确，不符合题意； B. 抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币，“正面朝上”的频率相近，但不一定相同，故该选项不正确，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币，不一定会有5次正面朝上，故该选项不正确，不符合题意； D. 在实验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，故该选项正确，符合题意．故选：D． 4．（25-26九年级下·广西南宁·开学考试）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 【答案】B 【详解】解：设口袋中有红球个根据题意，得解得， 经检验，是原方程的根，故口袋中大约有红球16个．故选：B． 5．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量反复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷20000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（    ） A．9101 B．10012 C．11012 D．12013 【答案】B 【详解】解：∵抛硬币正面朝上的概率稳定在附近，抛掷总次数为20000次， ∴预期正面朝上的次数为，对比四个选项，与最接近， ∴正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是，故选：B． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数 50 100 150 300 400 500 投中次数 33 55 86 183 239 301 投中频率 0.66 0.55 0.57 0.61 0.60 0.60 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是（   ）（结果保留小数点后两位） A．0.55 B．0.60 C．0.61 D．0.66 【答案】B 【详解】解∶∵观察表格数据可知，随着投篮次数不断增大，投中频率逐渐稳定在0.60附近 ∴估计这名球员投篮一次投中的概率约是0.60，故选∶B． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下： 抽取个数（个） 合格频数 合格频率 根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵由表格可知，当抽取个数逐渐增大时，合格频率稳定在附近， ∴估计合格羽毛球的概率为，∴抽取个羽毛球合格的数量大约是（个）．故选：． 8．（25-26九年级上·河南许昌·月考）用频率估计概率，抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为，是指（   ） A．连续抛掷次，一定是“正面朝上”和“反面朝上”各次 B．连续抛掷次，一定是“正面朝上”次 C．抛掷次，当越来越大时，“正面朝上”的频率会接近 D．抛掷次，“正面朝上”的次数一定是次 【答案】C 【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为表示在大量重复试验中，事件发生的频率会接近； 则选项A、B、D错误，它们都使用了“一定是”，而概率只表示可能性，不保证具体结果； 选项C正确，它符合频率稳定性的性质，故选：C． 9．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确；故选：A． 10．（2025·山西吕梁·一模）生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【答案】B 【详解】解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于，原说法错误，不符合题意； B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于，原说法正确，符合题意； C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意； D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意；故选B． 11.（25-26九年级上·湖南长沙·期中）某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活 棵． 【答案】36000 【详解】解：根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在， 故40000棵这种树苗成活数量为：（棵），故答案为：36000． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验结果．（注：钉尖向上的频率）下面有四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以钉尖向上的概率是0.5； ②当投掷次数是800时，计算机记录“钉尖向上”的次数是492，所以“钉尖向上”的概率是0.615； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620． 其中正确的是___________（填序号）． 【答案】③ 【详解】解：随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，故①②错误；故③正确； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，故④错误．故答案为：③． 13．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）在数字化浪潮席卷日常生活的当下，二维码支付凭借其便捷高效的特性，已然成为大众消费场景中不可或缺的支付方式．从街边的早餐摊、便利店，到大型商超，再到线上购物、生活缴费等场景，只需打开手机扫码，便能在几秒内完成交易．如图是小明同学的支付码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内、为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 【答案】 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， 根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的， 估计黑色部分的总面积约为，故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京朝阳·期末）某快递公司为了解11月快递订单准时送达情况，从11月份完成的快递订单中进行了随机抽取，获得的数据如下： 订单数/份 50 100 200 700 800 1000 准时送达的订单数/份 41 87 175 610 695 870 准时送达的订单的频率（保留小数点后三位） 0.820 0.870 0.875 0.871 0.869 0.870 若该公司11月份共完成5000份快递订单，则准时送达的订单约________份． 【答案】4350 【详解】解：表格显示，订单数在200份以上时，准时送达的频率介于0.869至0.875之间，且订单数为1000份时频率为0.870，表明频率已趋于稳定．故以0.870作为准时送达的概率估计值， 计算5000份订单的准时送达订单数：份．故答案为：4350． 15．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是_____（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空） 【答案】白球 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为，∴该球的颜色最有可能是白球，故答案为：白球． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）自18世纪以来一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币实验”获得的数据如下表 实验者 实验次数 正面朝上的频数 正面朝上的频率 布丰 德·摩根 费勒 皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 (1)表中的______，______；(2)估计硬币正面朝上的概率．（精确到） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， 故答案为：；． （2）由于表中硬币出现“正面向上”的频率在左右波动，估计硬币正面朝上的概率为． 17．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390(2)0.4(3)4 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4，故答案为：0.4； （3）解：（个，答：袋中有4个黑球． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题：(1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）；(3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，；(2)(3)10000颗 【详解】（1）解：根据题意得；解得：．故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ．故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ，解得，∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物30元以上就能获得1次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 a b (1)表格中 ， ；（精确到）;(2)请估计：当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近； （3）解：由题意得，转动该转盘1次，获得铅笔的概率约是； （4）解：，∴在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是。 20．（2025·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近，故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米），∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $