专题11.3 二次根式的加减（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题11.3 二次根式的加减 教学 目标 1.理解同类二次根式的概念，能准确辨别同类二次根式。 2.掌握二次根式加减运算法则：先化简，再合并同类二次根式。 3.熟练进行二次根式的加减运算，能解决基础计算与简单实际问题。 4.类比整式合并同类项，迁移学习同类二次根式合并，体会类比思想。 教学 重难点 1.重点 （1）同类二次根式的识别，合并与计算； （2）二次根式加减运算的基本步骤：化成最简二次根式→合并同类二次根式。 2.难点 （1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； （2）必须先化为最简二次根式，才能判断是否为同类二次根式（学生易直接看根号判断）。 知识点01 二次根式的加减 1）同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 注意：几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：，，是同类二次根式。 2）二次根式的加减：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。 【口诀】一化、二找、三合并。 【即学即练】 1．（2026·山西长治·一模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 知识点02 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。 注意：进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和正式运算的法则、公式和运算律。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·北京·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 3．（25-26八年级下·江苏·月考）计算： (1)．(2)； (3)已知，，求下列各式的值：①；②． 题型01 同类二次根式的判断 1．（25-26八年级下·河南安阳·月考）下列各式不可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据同类二次根式求参数 1．（25-26八年级下·广东江门·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（25-26八年级下·广东云浮·月考）已知是最简二次根式且能和合并，则x的值是______． 3．（25-26八年级上·广东河源·期末）最简二次根式与可以合并，则________． 4．（25-26八年级下·江西上饶·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为_____． 题型03 二次根式的加减运算 1．（25-26八年级下·吉林四平·月考）计算：． 2．（25-26八年级下·河南信阳·月考）计算：(1)；(2) 3．（24-25八年级下·江苏·期中）计算：(1)；(2)． 4．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算：(1)；(2)；(3)． 题型04 二次根式的混合运算 1．（22-23八年级下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 3．（25-26八年级下·山东临沂·月考）计算：(1)；(2) (3)；(4) 4．（25-26八年级下·江苏·月考）计算 (1)；(2)；(3) 题型05 已知字母的值，化简求值 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值： (1)________，________；(2)求的值． 2．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）已知，求下列各式的值 (1) ；(2) 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，，求的值． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）先化简，再求值，已知：，求的值． 题型06 已知条件式，化简求值 1．（25-26八年级下·河北唐山·月考）已知，，求的值． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）已知，，求的值． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 题型07 比较二次根式的大小 1．（25-26八年级下·云南昭通·月考）比较大小：______．（选填“>”“<”或“=”） 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题：(1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：．，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 题型08 二次根式的实际应用 1．（25-26八年级下·江西赣州·月考）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)求图①中阴影部分的周长；(2)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 4．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为． (1)分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）．(2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）最简二次根式与是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．0 D．4 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（25-26八年级上·广东河源·月考）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 8．（25-26九年级下·贵州安顺·月考）计算：_______． 9．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则=______． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知，，则的值为______． 11．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 12．（25-26七年级下·福建南平·月考）计算：(1)；(2)； 13．（24-25八年级上·山东·期中）计算与化简 (1)；(2)；(3)； 14．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)；(2) (3)；(4)（，） 15．（25-26八年级上·安徽六安·月考）求当，时，下列代数式的值． (1)；(2)． 16．（25-26八年级下·云南玉溪·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小；(2)比较与的大小． 18．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）为进一步研究高空抛物的危害，小晨请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)已知小晨家所住楼层的高度是，若一个物品从小晨家坠落，该物品落地时的速度________；（结果保留根号）；(2)小轩说他家所住楼层的高度是小晨家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小晨家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小晨家坠落的物品速度的2倍．小轩的说法对吗？请说明理由． 19．（25-26八年级下·江西赣州·月考）阅读材料：若，则我们称与是关于的调匀数．例如，3与是关于的调匀数． (1)5与______是关于1的调匀数；与_____是关于的调匀数； (2)若，且与是关于的调匀数，求的值； (3)若与是关于的调匀数，同时，与是关于的调匀数，求的值． 20．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）【综合与实践】 【问题情境】：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 【实践探究】(1)在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为_____． 【继续探究】“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中，，我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． (2)①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是_______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是_______． (3)“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示_______．②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 二次根式的加减 教学 目标 1.理解同类二次根式的概念，能准确辨别同类二次根式。 2.掌握二次根式加减运算法则：先化简，再合并同类二次根式。 3.熟练进行二次根式的加减运算，能解决基础计算与简单实际问题。 4.类比整式合并同类项，迁移学习同类二次根式合并，体会类比思想。 教学 重难点 1.重点 （1）同类二次根式的识别，合并与计算； （2）二次根式加减运算的基本步骤：化成最简二次根式→合并同类二次根式。 2.难点 （1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同； （2）必须先化为最简二次根式，才能判断是否为同类二次根式（学生易直接看根号判断）。 知识点01 二次根式的加减 1）同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 注意：几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：，，是同类二次根式。 2）二次根式的加减：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。 【口诀】一化、二找、三合并。 【即学即练】 1．（2026·山西长治·一模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式； C．，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式； D．是最简二次根式，被开方数为，与不同，不是同类二次根式． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：∵ ，是最简二次根式且二者可以合并， ∴ 二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相等，∴ ，解得，因此选A． 3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原计算错误，故此选项不符合题意； B．和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C．，计算正确，故此选项符合题意； D．和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 知识点02 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。 注意：进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和正式运算的法则、公式和运算律。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·北京·月考）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 （4）解：原式． 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·江苏·月考）计算： (1)．(2)； (3)已知，，求下列各式的值：①；②． 【答案】(1)(2)(3)①；②4 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵，， ∴， ①； ②． 题型01 同类二次根式的判断 1．（25-26八年级下·河南安阳·月考）下列各式不可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． B．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． C．，化简后被开方数为，与不是同类二次根式，不可以与合并． D．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式， ∴、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 同类二次根式可以合并，先化简各选项的二次根式： ，化简后被开方数为3，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为2，不是同类二次根式； ，化简后被开方数为2，不是同类二次根式； ，化简后被开方数为7，不是同类二次根式． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误； B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确； C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误； D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误． 题型02 根据同类二次根式求参数 1．（25-26八年级下·广东江门·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 二者是同类二次根式，被开方数相等，∴，解得：． 2．（25-26八年级下·广东云浮·月考）已知是最简二次根式且能和合并，则x的值是______． 【答案】3 【详解】解：化简得：， 是最简二次根式，且能与合并，与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得：，解此一元一次方程得：． 3．（25-26八年级上·广东河源·期末）最简二次根式与可以合并，则________． 【答案】 【详解】解：将化为最简二次根式，得， 最简二次根式与可以合并，与是同类二次根式，∴． 4．（25-26八年级下·江西上饶·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：，是最简二次根式且二者可以合并， 二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相等，∴，解得． 题型03 二次根式的加减运算 1．（25-26八年级下·吉林四平·月考）计算：． 【答案】 【详解】解： 2．（25-26八年级下·河南信阳·月考）计算：(1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 3．（24-25八年级下·江苏·期中）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： （2） （3） 题型04 二次根式的混合运算 1．（22-23八年级下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 2．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)0 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（25-26八年级下·山东临沂·月考）计算： (1)；(2) (3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（25-26八年级下·江苏·月考）计算 (1)；(2)；(3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 题型05 已知字母的值，化简求值 1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值： (1)________，________；(2)求的值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）已知，求下列各式的值 (1) ；(2) 【答案】(1)12(2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，，求的值． 【答案】15 【详解】解：根据题意得： ， ， 则． 4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）先化简，再求值，已知：，求的值． 【答案】；4 【详解】解： ， ∵，∴原式． 题型06 已知条件式，化简求值 1．（25-26八年级下·河北唐山·月考）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∴． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，即代数式的值等于． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，． (1)求的值；(2)求的值；(3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，， ，，； （3）解：，，，，， 由知：，则，原式； 题型07 比较二次根式的大小 1．（25-26八年级下·云南昭通·月考）比较大小：______．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【详解】解：∵，，，， 又∵，∴，∴． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题：(1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【答案】(1)＞；(2)①见解析；②见解析． 【详解】（1）解：∵，∴．故答案为：>． （2）解：①证明：∵，，而， ∴，∴． ②如图，，，． ∵，∴． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：．，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 【答案】 【详解】解：． ，，，，． 4．（25-26八年级上·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，，，． 请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较，的大小，________（填写“”“”或“”）． (2)猜想和之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下： ，，，． (3)根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，∴，， ∵，∴∵，，∴； （2）∵，， ∴， ， ∵∴，即：， ∵，，∴； （3）∵，， 又∵，∴，∴． 题型08 二次根式的实际应用 1．（25-26八年级下·江西赣州·月考）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．(1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；(2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为(2)整个电视背景墙需要花费元 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积，∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 2．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)求图①中阴影部分的周长；(2)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)(2)不能裁出，见解析 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；正方形纸片B的边长为， 则阴影部分的宽为，长为， ∴图①中阴影部分的周长为：； （2）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为，原长方形纸片的长为 则，∴不能在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）现有一块长为、宽为的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截取两个面积分别是和的正方形木板？ 【答案】能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板 【详解】解：，由于，可知，， 答：能够在这块木板上截取两个分别是和的正方形木板． 4．（25-26八年级下·江西上饶·月考）如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为． (1)分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）．(2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】(1)长为，宽为(2) ∴设该长方形铁皮的长为，宽为．由题意得， 解得或（不合题意，舍去）， ，，∴该长方形铁皮的长为，宽为． （2）解： ，∴长方体铁皮盒子的体积为． 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）最简二次根式与是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】A 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 两个二次根式的被开方数相等，可得方程，解得． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、是最简二次根式，，，与是同类二次根式的是． 3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴． 4．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，， ． 5．（2026九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：， ∵，∴，∴. 6．（25-26八年级上·广东河源·月考）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形面积为，∴； ∵正方形面积为，∴．∴， ∴ ． 故选：B ． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）整数满足，且二次根式与是同类二次根式，则 ______． 【答案】或 【详解】解：二次根式与是同类二次根式， 令（为正整数），即， 当时，，；当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，；当时，，（不合题意，是整数）； 当时，，（不合题意，）．故答案为：或． 8．（25-26九年级下·贵州安顺·月考）计算：_______． 【答案】 【详解】解： 9．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则=______． 【答案】 【详解】解：∵，∴a、b均为负数， ∴． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知，，则的值为______． 【答案】3 【详解】解：根据题意，，∴，整理得，， ∴，化简得，∴． 11．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴；故答案为：． 12．（25-26七年级下·福建南平·月考）计算：(1)；(2)； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级上·山东·期中）计算与化简 (1)；(2)；(3)； 【答案】(1)(2)(3)17 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 14．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)；(2) (3)；(4)（，） 【答案】(1)(2)(3)5(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（25-26八年级上·安徽六安·月考）求当，时，下列代数式的值． (1)；(2)． 【答案】(1)33(2) 【详解】（1）解：当，时，，， ∴ ； （2）解：∵，∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 16．（25-26八年级下·云南玉溪·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3)2026 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a、b，如果，那么，”然后讲解了下面一道例题： 比较和的大小． 方法：， 因为8＜12，所以，即 方法二：， 因为，所以 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小；(2)比较与的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， ，，． （2）解：， ， ，，． 18．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）为进一步研究高空抛物的危害，小晨请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)已知小晨家所住楼层的高度是，若一个物品从小晨家坠落，该物品落地时的速度________；（结果保留根号）；(2)小轩说他家所住楼层的高度是小晨家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小晨家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小晨家坠落的物品速度的2倍．小轩的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)(2)小轩的说法不正确，见解析 【详解】（1）解：把，， 代入得：，∴该楼层落地时的速度为； （2）解：不正确，理由如下： ∵小轩家高度是小晨家2倍，∴， 将的值代入公式中得：v小轩，∴， 即小轩家坠落的物品落地时的速度是小晨家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小轩的说法不正确． 19．（25-26八年级下·江西赣州·月考）阅读材料：若，则我们称与是关于的调匀数．例如，3与是关于的调匀数． (1)5与______是关于1的调匀数；与_____是关于的调匀数； (2)若，且与是关于的调匀数，求的值； (3)若与是关于的调匀数，同时，与是关于的调匀数，求的值． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：，， ∴5与是关于1的调匀数；与是关于的调匀数； （2）解：∵与是关于的调匀数，∴，∴， ∵，∴； （3）解：根据题意，可得，解得，∴． 20．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）【综合与实践】 【问题情境】：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点C、A，他们借助此图求出了的面积． 【实践探究】(1)在图1中，所画的的三边长分别是，，，的面积为_____． 【继续探究】“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦（，约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中，，我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式． (2)①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是_______． ②一个三角形边长依次为，，，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是_______． (3)“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积．如图2，在中，，，，求的面积．给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． ①作于D，设，用含x的代数式表示_______．②根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；③利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 【答案】(1)(2)①；②(3)①；②见解析，；③见解析，84 【详解】（1）解：的面积； （2）解：①，； ②三边长依次为，，的三角形的面积； （3）解：①，，， ②，，，，解得； ③由②得：，． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $